拉格朗日中值定理

一、拉格朗日中值定理第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)拉格朗日中值定理二、洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則

定理1（拉格朗日中值定理）如果函數(shù)

y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)

x

(a,b)，使得一、拉格朗日中值定理（證略）)()(--abafbf拉格朗日中值定理的幾何意義(如圖3-1)：滿足定理?xiàng)l件的曲線y=f(x)是[a,b]上的一條連續(xù)曲線,在弧AB上除端點(diǎn)外的每一點(diǎn)都有不垂直于x軸的切線,則弧上除端點(diǎn)外至少存在一點(diǎn)P,y=f(x)bxayxOlAB在這點(diǎn)處曲線的切線l平行于弦AB.P圖3-1若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,則切線l的斜率為f

(x).因?yàn)?/p>

l∥AB,而AB的斜率為)()(--abafbf,所以)()(--abafbf成立.這個(gè)等式也寫(xiě)成f(b)-

f(a)=(b

-

a).

例1

若函數(shù)

y=f(x)

在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且f(a)

=f(b).求證:在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x,使f(x)=0.

解

由于f(x)在[a,b]上連續(xù),(a,b)內(nèi)可導(dǎo),所以它滿足定理?xiàng)l件,例1是拉格朗日中值定理的特殊情況,稱為羅爾中值定理.由于f(a)=f(b),所以得故在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x,

使得)()(--abafbf

f(x)=0.由f(x)=x2–1,故x2–1=0.解此方程得x=±1,

例2

對(duì)函數(shù)f(x)=在區(qū)間上驗(yàn)證拉格朗日中值定理的正確性.

解

函數(shù)f(x)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且取x=1,這說(shuō)明在內(nèi)有x=±1,使二、洛必達(dá)法則當(dāng)

x

x0(或x

)時(shí),若f(x)、j(x)都趨于零或無(wú)窮大,其極限可能存在也可能不存在.因此,通常把這種極限稱為不定式,并分別記為型和型.1.

型不定式

定理2(洛必達(dá)法則1)

設(shè)函數(shù)

f(x)、j(x)

在點(diǎn)x0

的左右近旁有定義，若有（1）j(x)0；（2）f(x)、j(x)在點(diǎn)

x0

的左右近旁可導(dǎo)，且則（3）(或無(wú)窮大),(或無(wú)窮大).例3定理

2

中

x

x0換為

x

時(shí),結(jié)論也成立.解這是型不定式,應(yīng)用洛必達(dá)法則得2.

型不定式

定理3(洛必達(dá)法則2)

設(shè)函數(shù)

f

(x)、j

(x)

在點(diǎn)x0

的左右近旁有定義，若有（1）j(x)0；（2）f(x)、j(x)在點(diǎn)

x0

的左右近旁可導(dǎo)，且則（3）(或無(wú)窮大),(或無(wú)窮大).例

4求解例5表明:在求不定式極限時(shí),只要分子分母滿足洛必達(dá)法則條件,就可以多次重復(fù)使用法則.定理

3

中

x

x0換為

x

時(shí),結(jié)論也成立.例

5求解3.其它類型的不定式不定式除型和型外,還有、、、、等類型.一般地,對(duì)這些類型的不定式,通過(guò)變形總可以化為型或型的不定式,再用洛必達(dá)法則求極限.例6解

0.例7求解例8求解因?yàn)樗栽?例9求解因?yàn)樗栽?例10求解因?yàn)樗栽?==0，不存在，故不能用洛必達(dá)法則求這極限，例11求但是因?yàn)榻?/p>

這是型不定式，