2022-2023學(xué)年福建福州格致中學(xué)高一年級(jí)上冊(cè)學(xué)期月考（二）數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年福建福州格致中學(xué)高一上學(xué)期月考（二）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，求出函數(shù)，的值域，得到集合，取交集得答案.【詳解】因?yàn)椋?，故選：B.2．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】根據(jù)單調(diào)性與區(qū)間端點(diǎn)的符號(hào)判斷即可.【詳解】易得為減函數(shù),又,.故在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題,根據(jù)單調(diào)性與區(qū)間端點(diǎn)的正負(fù)分析即可.屬于基礎(chǔ)題型.3．已知，則大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將分別與中間量進(jìn)行比較，即可得出.【詳解】因?yàn)椋?；，即；由，所以，?綜上：.故選：A4．命題“?x∈R，f(x)·g(x)≠0”的否定是（

）A．?x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0 B．?x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0C．?x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0 D．?x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0【答案】D【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定的知識(shí)確定正確選項(xiàng).【詳解】原命題是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，注意到要否定結(jié)論，所以ABC選項(xiàng)不符合，D選項(xiàng)符合.故選：D5．某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)濾后排放，過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物含量P（單位：）與時(shí)間t（單位：h）間的關(guān)系為，其中，k是常數(shù)．已知當(dāng)時(shí)，污染物含量降為過(guò)濾前的，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意列出指數(shù)式方程，利用指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算公式求出的值.【詳解】由題意得：，即，兩邊取對(duì)數(shù)，，解得：.故選：C6．已知，，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用平方關(guān)系求得，再根據(jù)結(jié)合兩角和的余弦公式即可得解.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，所?故選：D.7．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的定義域，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)為奇函數(shù)且為單調(diào)遞減函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)有意義，則滿足，即，解得，又由，所以函數(shù)為奇函數(shù)，令，可得函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)為定義域上的單調(diào)遞減函數(shù)，因?yàn)?，即，則滿足，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】求解函數(shù)不等式的方法：1、解函數(shù)不等式的依據(jù)是函數(shù)的單調(diào)性的定義，具體步驟：①將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為的形式；②根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉對(duì)應(yīng)法則“”轉(zhuǎn)化為形如：“”或“”的常規(guī)不等式，從而得解.2、利用函數(shù)的圖象研究不等式，當(dāng)不等式問(wèn)題不能用代數(shù)法求解但其與函數(shù)有關(guān)時(shí)，常將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象上、下關(guān)系問(wèn)題，從而利用數(shù)形結(jié)合求解.8．已知函數(shù)滿足，若在區(qū)間上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，依題意恒成立，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可.【詳解】解：因?yàn)榍?，又單調(diào)遞減，在定義域上單調(diào)遞增，所以在定義域上單調(diào)遞減，因?yàn)樵趨^(qū)間上恒成立，所以恒成立，所以，解得，即；故選：C二、多選題9．已知函數(shù)，則（

）A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù)C．關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱 D．關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱【答案】BD【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，利用余弦函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，故函?shù)為偶函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱中心坐標(biāo)為，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱.故選：BD.10．下列結(jié)論中正確的結(jié)論是（

）A．時(shí)，最小值是2B．的最小值為C．正數(shù)，滿足，則的最大值為D．，，，則的最小值為2【答案】CD【分析】運(yùn)用基本不等式求解.對(duì)于正數(shù)，，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，也可變形成.在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要注意“一正、二定、三相等”這三個(gè)方面.【詳解】A.

時(shí)，，有最大值，無(wú)最小值.故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B.

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即.而，故無(wú)解，即該式無(wú)法取得等號(hào).故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；C.對(duì)于正數(shù)，，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)，即.故選項(xiàng)C正確；D.，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)，則.故選項(xiàng)D正確.故選：CD11．若存在函數(shù)滿足，則可以是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】應(yīng)用換元法，令結(jié)合各選項(xiàng)的函數(shù)求t關(guān)于x的函數(shù)式，進(jìn)而化為關(guān)于t的函數(shù)，判斷是否滿足函數(shù)關(guān)系即可.【詳解】A：令，則，故，滿足函數(shù)關(guān)系；B：令，則，故，不滿足函數(shù)關(guān)系；C：令，則，故，滿足函數(shù)關(guān)系；D：令，則，故，滿足函數(shù)關(guān)系.故選：ACD.12．已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，下列說(shuō)法中正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，恒有B．若當(dāng)時(shí)，的最小值為，則m的取值范圍為C．不存在實(shí)數(shù)k，使函數(shù)有5個(gè)不相等的零點(diǎn)D．若關(guān)于x的方程所有實(shí)數(shù)根之和為0，則【答案】BC【解析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及時(shí)的解析式作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可判斷AB選項(xiàng)，聯(lián)立與可判斷相切時(shí)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，當(dāng)，時(shí)最多一個(gè)交點(diǎn)，可判斷C，根據(jù)函數(shù)奇偶性與對(duì)稱性判斷D．【詳解】當(dāng)時(shí)，且為R上的奇函數(shù)，作函數(shù)f（x）的圖象如圖：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）不是單調(diào)遞減函數(shù)，則f（x1）＞f（x2）不成立，故A不正確；對(duì)于B，令，解得，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，的最小值為，則，故B正確；對(duì)于C，聯(lián)立，得，△＝（k+1）2﹣4＝k2+2k﹣3=0，存在，使得△=0，此時(shí),可知最多有3個(gè)不同的交點(diǎn)，∴不存在實(shí)數(shù)k，使關(guān)于x的方程f（x）＝kx有5個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故C正確；對(duì)于D，由可得或，∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，若關(guān)于x的兩個(gè)方程與所有根的和為0，∴函數(shù)的根與根關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，但x＞0時(shí)，方程有2個(gè)根，分別為，兩根之和為，若關(guān)于x的兩個(gè)方程與所有根的和為0，則的根為，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用奇函數(shù)的對(duì)稱性得出函數(shù)的圖象是解決本題的關(guān)鍵所在，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)值的變換，函數(shù)圖象的交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題，屬于難題.三、填空題13．函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)_____．【答案】【分析】首先根據(jù)題意得到，再求其單調(diào)減區(qū)間即可.【詳解】函數(shù)，令，解得，令得，所以函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為．故答案為：14．若函數(shù)的值域是，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________．【答案】【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)的知識(shí)求得正確答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，而的值域?yàn)?，所以，解得，所以的取值范圍?故答案為：15．已知是在定義域上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意都滿足：，則滿足不等式的的取值范圍是________.【答案】【分析】由換元法求出的解析式，再解原不等式【詳解】由題意得為正常數(shù)，令，則，且，解得，原不等式為，可得，解得，故答案為：四、雙空題16．角的終邊與單位圓的交點(diǎn)位于第一象限，其橫坐標(biāo)為，則______，若點(diǎn)沿單位圓順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為，則的縱坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】

【分析】利用三角函數(shù)的定義求出的值，再利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可求得，由三角函數(shù)的定義可知點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，根據(jù)誘導(dǎo)公式即可求解．【詳解】由三角函數(shù)的定義可得，由已知可知為第一象限角，則，將點(diǎn)沿單位圓順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．故答案為：；．五、解答題17．（1）化簡(jiǎn)；（2）已知關(guān)于的方程的兩根為和，.求實(shí)數(shù)以及的值.【答案】（1）；（2），【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可；（2）利用韋達(dá)定理得到，，再將兩邊平方即可求出，最后由求出.【詳解】解：（1），即.（2）因?yàn)殛P(guān)于的方程的兩根為和，所以，，所以，所以，因?yàn)?，所以，且，所以?8．函數(shù)的部分圖象如圖所示．(1)寫(xiě)出的最小正周期及圖中、的值；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】(1)周期為，，(2)最大值是3，最小值是【分析】（1）根據(jù)周期公式求周期，結(jié)合圖象求；（2）首先求的范圍，再求函數(shù)的最值.【詳解】（1）,令，，解得：，由圖可知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)取得最大值；（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)所以函數(shù)的最大值是3，最小值是19．已知是偶函數(shù)．（1）求的值；（2）若函數(shù)的圖象與直線有公共點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由偶函數(shù)的定義結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求出實(shí)數(shù)的值；（2）利用參變量分離法得出關(guān)于的方程有解，然后利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)的函數(shù)的基本性質(zhì)求出的取值范圍，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）是偶函數(shù)，，，化簡(jiǎn)得，即，，，即對(duì)任意的都成立，；（2）由題意知，方程有解，亦即，即有解，有解，由，得，，故，即的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，同時(shí)也考查了利用函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)，涉及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，靈活利用參變量分離法能簡(jiǎn)化計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.20．函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，若，求實(shí)數(shù)n的值．(2)若的解集是或，求實(shí)數(shù)的值．(3)當(dāng)時(shí)，若，求的解集【答案】(1)；(2)；(3)當(dāng)時(shí)，不等式解集為R；當(dāng)時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為.【分析】（1）由題可得，進(jìn)而即得；（2）根據(jù)二次不等式的解法及韋達(dá)定理即得；（3）由題可得，然后分類討論結(jié)合二次不等式的解法即得.【詳解】（1）由題可得，所以，得，∴；（2）因?yàn)榈慕饧腔?，所以且，∴；?）因?yàn)?，∴，即，所以，∵，∴，?dāng)時(shí)，即，不等式恒成立，所以，當(dāng)時(shí)，即，解得或，當(dāng)時(shí)，即，解得或，綜上：當(dāng)時(shí)，不等式解集為R；當(dāng)時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為.21．如圖，圓O的半徑為2，l為圓O外一條直線，圓心O到直線l的距離．為圓周上一點(diǎn)，且．點(diǎn)從處開(kāi)始以2秒一周的速度繞點(diǎn)O在圓周上按逆時(shí)針?lè)较蜃鲃蛩賵A周運(yùn)動(dòng)（這里的角均指逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角）．(1)求秒鐘后，點(diǎn)到直線的距離用的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，求的值【答案】(1)(2)或.【分析】（1）根據(jù)題意求出旋轉(zhuǎn)角即可得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可求出解析式；（2）可得當(dāng)時(shí)，，即可求出.【詳解】（1）由題意可得周期為，則秒鐘后，旋轉(zhuǎn)角為，此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以點(diǎn)到直線的距離為；（2）當(dāng)時(shí)，，可得旋轉(zhuǎn)了或，解得或.22．已知函數(shù)，，．(1)求函數(shù)的值域；(2)若對(duì)任意的，都有恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若對(duì)任意的，都存在四個(gè)不同的實(shí)數(shù)，，，，使得，其中，2，3，4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）