2022-2023學(xué)年福建省南靖縣、蘭水中學(xué)高二年級上冊學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年福建省南靖縣第一中學(xué)、蘭水中學(xué)高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，則的值為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】D【分析】由等差中項的性質(zhì)進行計算【詳解】由題意得：，所以，故故選：D2．“”是“直線與直線平行的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】求出當(dāng)時實數(shù)的值，再利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【詳解】當(dāng)時，，即，解得或.當(dāng)時，直線的方程為，直線的方程為，此時；當(dāng)時，直線的方程為，直線的方程為，此時.因為，因此，“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件.故選：A.3．圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離【答案】B【分析】根據(jù)圓與圓位置關(guān)系的判斷，計算兩圓圓心距離，與半徑之和和差比較大小即可判斷.【詳解】解：圓的圓心為：，半徑圓的圓心為：，半徑所以，則所以兩圓相交.故選：B.4．記為等比數(shù)列的前項和．若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列前項和公式，即可求解.【詳解】解：由題可知，公比不為1，等比數(shù)列的首項為，公比為，則，解得：，所以，所以，故選：A.5．在平面直角坐標系中，已知△ABC頂點和，頂點B在橢圓上，則的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．不確定【答案】C【分析】由正弦定理的邊角關(guān)系及橢圓的定義、性質(zhì)，即可求目標式的值.【詳解】由題設(shè)知：是橢圓的兩個焦點，又B在橢圓上，所以，而，，故.故選：C6．直線與曲線恰有兩個交點，則實數(shù)m的值可能是（

）A． B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】由曲線表示圓在軸的上半部分，利用直線與圓相切求出的值，結(jié)合圖形即可得答案.【詳解】曲線表示圓在軸的上半部分，當(dāng)直線與圓相切時，，解得，當(dāng)點在直線上時，，所以由圖可知實數(shù)m的取值范圍為，故選：C.7．已知是橢圓的右焦點，為橢圓上一點，為橢圓外一點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)橢圓的左焦點為，由已知條件推導(dǎo)出，當(dāng)點在的延長線上時，得的最大值．【詳解】解：點為橢圓的右焦點，，點為橢圓上任意一點，點A的坐標為，點A在橢圓外，設(shè)橢圓的左焦點為，，，，當(dāng)點在的延長線上時取等號，，則的最大值為．故選：．8．已知橢圓（），橢圓的左、右焦點分別為，，P是橢圓C上的任意一點，且滿足，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，則，由，得，根據(jù)表示橢圓上的點到原點的距離的平方，可得選項【詳解】解：由已知得，，設(shè)，則，，因為，所以，即，即，因為點P是橢圓上的任意一點，所以表示橢圓上的點到原點的距離的平方，因為，所以，所以，即，所以，故選：B．二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．已知直線與直線垂直，則實數(shù)a的值是B．直線必過定點C．直線在y軸上的截距為D．經(jīng)過點且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為【答案】BC【分析】根據(jù)直線垂直關(guān)系列方程求，判斷選項A；將直線方程化為點斜式即可判斷選項B；根據(jù)截距的定義判斷選項C，根據(jù)條件求出滿足要求的直線方程，判斷選項D.【詳解】解：對A：因為直線與直線垂直，則，解得或，A不正確；對B：直線可變?yōu)?，因此直線必過定點，即B正確；對C：由直線方程取，得，所以直線在y軸上的截距為，所以C正確．對D：經(jīng)過點且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為或，所以D不正確；故選：BC．10．已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，，，，則

A． B．，C． D．當(dāng)時，有最大值【答案】BD【分析】由等差數(shù)列前n項和公式即可判斷A；由等差數(shù)列的單調(diào)性可判斷B；由可判斷C；由等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)可判斷D.【詳解】，，故選項A錯誤；，，，，故選項B正確；，且，，故選項C錯誤；由，知，當(dāng)時，有最大值，故選項D正確；故選：BD．11．設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，，則下列說法中正確的有（

）A．離心率B．過點的直線與橢圓交于，兩點，則的周長為C．若是橢圓上的一點，則面積的最大值為2D．若是橢圓上的一點，且，則面積為【答案】BD【分析】由橢圓標準方程確定，結(jié)合各選項中的問題，逐一分析計算即可判斷作答.【詳解】由橢圓得：長半軸長，短半軸長，半焦距，對于A，橢圓的離心率，A錯誤；對于B，因弦AB過焦點F1，則的周長為，B正確；對于C，令點P的縱坐標為，于是得△面積，當(dāng)且僅當(dāng)點P為短軸端點時取“=”，C錯誤；對于D，由余弦定理得：，即，解得，因此，△面積為，D正確.故選：BD【點睛】關(guān)鍵點睛：運用余弦定理是解題的關(guān)鍵.12．以下四個命題表述正確的是（

）A．橢圓上的點到直線的最大距離為B．已知圓C：，點P為直線上一動點，過點P向圓C引兩條切線PA、PB，AB為切點，直線AB經(jīng)過定點C．曲線：與曲線：恰有三條公切線，則m＝4D．圓上存在4個點到直線l：的距離都等于1【答案】ABC【分析】對于A:斜率為且與橢圓相切的直線到直線的距離為到橢圓的最大值或者最小值.對于B:根據(jù)AB為切點，得出，，由此判斷AB在以為直徑的圓上，以此求出公共弦AB的直線方程，找到定點.對于C:兩圓三條公切線，說明兩圓外切，兩圓心距離應(yīng)該等于兩圓半徑之和.對于D:判斷直線與圓上各點距離兩個方向的最遠距離，兩值大于1則有四個滿足條件的點.【詳解】對于A:設(shè)直線與橢圓相切，聯(lián)立方程得：，因為直線與橢圓相切，所以，得當(dāng)時，直線與距離最大，最大距離為故A正確.對于B:設(shè)點，因為AB為切點，所以，，連接，根據(jù)圓周角與圓直徑關(guān)系可知，AB兩點在以為直徑的圓上，圓的方程為，兩圓公共弦AB所在直線方程為，聯(lián)立方程得，令，則故B正確.對于C:曲線：，曲線:，因為兩圓有三條公切線，所以兩圓外切，故，得故C正確.對于D:直線與圓相切，且與距離為1，因此圓上存在3個點到直線l：的距離都等于1故D錯誤.故選:ABC【點睛】圓錐曲線與相交直線的最遠距離求法：1.設(shè)一條與相交直線平行的直線;2.假設(shè)直線與曲線相切并聯(lián)立方程，求出直線方程;3.根據(jù)平行線距離公式求出兩直線距離，即是圓錐曲線與相交直線的最遠距離.三、填空題13．已知等差數(shù)列滿足，公差，則當(dāng)?shù)那皀項和最大時，___________．【答案】3【分析】根據(jù)公式求出前n項和，再利用二次函數(shù)的性質(zhì).【詳解】因為等差數(shù)列，，所以，當(dāng)時，取到最大值.故答案為：3.14．已知過點的直線與圓C：相切，且與直線垂直，則實數(shù)a的值為___________.【答案】【分析】先根據(jù)直線與圓的相切關(guān)系求出過點的直線的斜率，再根據(jù)垂直關(guān)系求出實數(shù)a的值.【詳解】當(dāng)過點的直線斜率不存在時，直線方程為，此時圓心到直線的距離為，不相切，舍去當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線為，則由，解得：，又與直線垂直，所以，解得：故答案為：15．一動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，則動圓圓心的軌跡方程為___________.【答案】【分析】先根據(jù)兩圓位置關(guān)系得動圓圓心到兩已知圓心距離和為定值，再由橢圓的定義求解，【詳解】圓的圓心為，，圓的圓心為，，設(shè)動圓的圓心為，半徑為，由題意得，，則，，由橢圓定義得的軌跡方程為，故答案為：16．設(shè)是橢圓上的任一點，為圓的任一條直徑，則的最大值為___________.【答案】【分析】由題設(shè)，且關(guān)于對稱，設(shè)，，利用向量數(shù)量積的坐標表示及在圓、橢圓上得到關(guān)于的二次函數(shù)，結(jié)合橢圓的有界性求范圍即可.【詳解】由題設(shè)，且關(guān)于對稱，若，則，設(shè)，則，，∴，又，∴的最大值為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：設(shè)點，利用圓的對稱性、向量數(shù)量積的坐標表示求關(guān)于的函數(shù)，再由橢圓的有界性求范圍.四、解答題17．已知公差不為0的等差數(shù)列滿足．若，，成等比數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)等比中項的性質(zhì)可得出，再代入等差數(shù)列的通項公式即可求出公差；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，利用分組求和即可解決【詳解】（1）假設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為成等比數(shù)列，所以，所以，即，因為，所以，所以的通項公式為；（2）因為，所以18．已知圓過兩定點，且圓心在直線上；(1)求圓的方程；(2)過點的直線交圓于兩點，若，求直線的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）設(shè)圓的標準方程為，建立關(guān)于的方程，求解即可得圓的方程；（2）根據(jù)直線與圓相交得弦長公式，確定圓心到直線的距離，討論直線方程即可求得.【詳解】（1）解：設(shè)圓的方程為∵圓心在直線上，則又∵圓過點兩點，則，又，聯(lián)立解得：則圓的方程為；（2）解：當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為，此時圓心到直線得距離弦長符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，則，∵，∴圓心到直線的距離為，解得，則直線的方程為，綜上，直線的方程為或19．已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為且過點，(1)求橢圓的標準方程；(2)傾斜角為45°的直線過橢圓的右焦點交橢圓于?兩點，求【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率公式，結(jié)合代入法、橢圓中的關(guān)系進行求解即可；（2）根據(jù)橢圓弦長公式進行求解即可.【詳解】（1）因為橢圓的中心在原點，焦點在軸上，所以設(shè)橢圓的標準方程為：，因為橢圓的離心率為且過點，所以，所以橢圓的標準方程為：；（2）由（1）可知：，所以直線的方程為：，代入橢圓方程中，得，設(shè)，所以，因此.20．已知圓，圓，直線過點.(1)求圓的圓心和半徑；(2)若直線與圓相切，求直線的方程；(3)求圓和圓的公共弦長.【答案】(1)圓心坐標為，半徑；(2)或(3)【分析】（1）根據(jù)題意將圓的方程化成標準方程，直接求出圓心坐標和半徑；（2）根據(jù)題意可知：直線的斜率可能不存在，直接寫出方程，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其方程，利用圓心到直線的距離等于半徑即可求解；（3）將兩圓方程聯(lián)立可得出公共弦所在直線方程，然后求出其中一個圓心到直線的距離，再利用垂徑定理即可求出公共弦長.【詳解】（1）因為圓可化為，所以圓的圓心坐標為，半徑.（2）因為過點的直線與圓相切，所以分兩種情況：若直線的斜率不存在時，則直線的方程為；若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，也即，由點到直線的距離公式可得：，解得：，此時直線的方程為，所以直線的方程為或.（3）因為圓的圓心坐標,半徑，則，所以兩圓相交，兩圓方程聯(lián)立可得公共弦所在直線方程為：，圓的圓心到公共弦的距離，由垂徑定理可得公共弦長為，所以圓和圓的公共弦長為.【點睛】1.過一定點，求圓的切線時，首先判斷點與圓的位置關(guān)系．若點在圓外，有兩個結(jié)果，若只求出一個，應(yīng)該考慮切線斜率不存在的情況.2.圓的弦長的常用求法：(1)幾何法：求圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為l，則；(2)代數(shù)方法：運用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式：.21．在①，②，③這三個條件中任選一個，填在下面的橫線上，并解答問題．已知數(shù)列的前n項和為，，且____________．(1)求的通項公式；(2)若是的等比中項，求數(shù)列的前n項和．注：如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)條件選擇見解析，；(2).【分析】（1）選①，利用與的關(guān)系求解作答；選②，構(gòu)造等差數(shù)列求出求解作答；選③，構(gòu)造常數(shù)列計算作答；（2）由（1）求出，再利用裂項相消法求解作答.【詳解】（1）選①，，由，得，則，即，而，因此是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列，，所以的通項公式為．選②，由，得，即數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，則，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，滿足上式，所以的通項公式為．選③，由，得，因此數(shù)列是常數(shù)列，則有，即，所以的通項公式為．（2）由（1）知，，依題意，，則所以，所以數(shù)列的前n項和．22．已知橢圓的長軸長是6，離心率是.(1)求橢圓E的標準方程；(2)設(shè)O為坐標原點，過點的直線l與橢圓E交于A，B兩點，判斷是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)；(2)存在，.【分析】(1)根據(jù)給定條件求出橢圓長短半軸長即可代入計算作答.(2)當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)出直線l的方程，與橢圓E的方程聯(lián)