2022-2023學(xué)年河北省定州市高一年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河北省定州市高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列說法中正確的是（

）①某高級(jí)中學(xué)高一年級(jí)所有高個(gè)子男生能組成一個(gè)集合②③不等式的解集為④在平面直角坐標(biāo)系中，第二、四象限內(nèi)的點(diǎn)構(gòu)成的集合可表示為A．①② B．②④ C．②③④ D．①③④【答案】B【分析】結(jié)合集合的定義即可判斷①、②；通過解一元二次不等式即可判斷③；對(duì)二、四象限的點(diǎn)進(jìn)行分析即可判斷④.【詳解】對(duì)于①，“高個(gè)子男生”無法作為元素被確定，因此不能組成一個(gè)集合，故①不正確；對(duì)于②，由，即，即恒成立，故②正確；對(duì)于③，不等式的解集應(yīng)為或，故③不正確；對(duì)于④，平面直角坐標(biāo)系中，第二、四象限內(nèi)的點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)異號(hào)，所以第二、四象限內(nèi)的點(diǎn)構(gòu)成的集合可表示為，故④正確.故選：B.2．設(shè)，集合，集合，則圖中陰影部分表示的集合的真子集個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】結(jié)合圖，得出陰影部分表示的集合，再根據(jù)集合中元素個(gè)數(shù)確定其真子集個(gè)數(shù)即可.【詳解】圖中陰影部分表示的集合是由屬于集合，但不屬于集合的元素組成，則陰影部分表示的集合為：，所以其真子集個(gè)數(shù)為：.故選：C.3．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A．3 B． C．9 D．【答案】B【分析】根據(jù)題意設(shè)冪函數(shù)，求出的值，寫出函數(shù)解析式，再計(jì)算的值．【詳解】設(shè)冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則，，，．故選：B．4．下列選項(xiàng)中能表示同一個(gè)函數(shù)的是（

）A．與B．與C．與D．與【答案】C【分析】比較兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則，結(jié)合選項(xiàng)可得答案.【詳解】對(duì)于A，的定義域?yàn)?，而的定義域?yàn)?，所以不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于B，的定義域?yàn)?，而的定義域?yàn)?，所以不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于D，的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，所以不是同一個(gè)函數(shù)；故選：C.5．若函數(shù)滿足，且，，那么（

）A．18 B．12 C．11 D．7【答案】B【分析】根據(jù)逐步分解可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)?，，所?故選：B.6．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，說明分母不為零，對(duì)討論，結(jié)合二次方程的知識(shí)可求答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，顯然符合題意；當(dāng)時(shí)，，即，綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.7．若定義在上的偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，則滿足的的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分、兩種情況，分別根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性求解不等式可得答案．【詳解】因?yàn)槎x在上的偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且.當(dāng)時(shí)，由可得，即，所以，，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，由可得，即，所以，，解得或，此時(shí).綜上所述，滿足不等式的的取值范圍是.故選：D.8．已知，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件得，代入式子化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式即可求得最小值.【詳解】因?yàn)?，所以即，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以故選:D.二、多選題9．已知，則下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)直接判斷ABD，利用均值不等式及不等式性質(zhì)判斷C，即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，即成立，故A正確；因?yàn)?，則，，故成立，故B正確；因?yàn)?，則（等號(hào)不成立），即，兩邊同乘以，所以，故C正確；因?yàn)?，兩邊同乘以，可得，故D錯(cuò)誤.故選：ABC10．下列選項(xiàng)中說法錯(cuò)誤的是（

）A．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)锽．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是C．設(shè)，，則“”是“”的充要條件D．函數(shù)的最小值為【答案】BCD【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域的求法判斷A，由特殊值法判斷BC，根據(jù)均值不等式成立的條件判斷D.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，所以由解得，即函?shù)的定義域?yàn)?，故A正確；取時(shí)，，故在上不是增函數(shù)，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，由推不出，所以“”不是“”的充要條件，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，顯然取不到等號(hào)，故不是最小值，故D錯(cuò)誤.故選：BCD11．一般地，若函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，則稱為的“倍跟隨區(qū)間”；特別地，若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域也為，則稱為的“跟隨區(qū)間”.下列結(jié)論正確的是（

）A．若為的跟隨區(qū)間，則B．函數(shù)不存在跟隨區(qū)間C．是函數(shù)的一個(gè)跟隨區(qū)間D．二次函數(shù)存在“倍跟隨區(qū)間”【答案】BCD【分析】A選項(xiàng)中，由二次函數(shù)單調(diào)性可知值域?yàn)?，由跟隨區(qū)間定義可構(gòu)造方程求得，知A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)中，假設(shè)存在跟隨區(qū)間，由單調(diào)性可知為的兩根，根據(jù)方程無解可知B正確；C選項(xiàng)中，根據(jù)在上的值域?yàn)榭芍狢正確；D選項(xiàng)中，在時(shí)，根據(jù)單調(diào)性可知是方程的兩根，解方程求得，知D正確.【詳解】對(duì)于A，在上單調(diào)遞增，的值域?yàn)?，，解得：（舍）或，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在，上單調(diào)遞增，若存在跟隨區(qū)間，則，即為方程的兩根，即，無解，不存在跟隨區(qū)間，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，；又，，，在上的值域?yàn)?，即是的一個(gè)跟隨區(qū)間，C正確；對(duì)于D，若存在“倍跟隨區(qū)間”，則其值域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，則是方程的兩根，解得：或，即，，是的一個(gè)“倍跟隨區(qū)間”，D正確.故選：BCD.12．已知正實(shí)數(shù)，滿足，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【答案】BC【分析】將，的相應(yīng)值代入，結(jié)合基本不等式及相關(guān)結(jié)論分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，，，則，，，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由題意，，，，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；對(duì)于C，，，由題意，，即，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于D，，時(shí)，，，，，即，即，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題13．已知命題，使得，則為_______【答案】，.【分析】存在量詞命題（特稱命題）的否定，改為，對(duì)結(jié)論否定.【詳解】由題意，，使得，則，.故答案為：，.14．若集合，，則________【答案】或【分析】先解兩個(gè)集合中的不等式，再利用集合基本運(yùn)算求解.【詳解】或，或，或.故答案為：或.15．符號(hào)表示不超過的最大整數(shù)，如，，關(guān)于函數(shù)有下列結(jié)論：①；②函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)棰郏?；④函?shù)是增函數(shù)也是奇函數(shù).其中正確結(jié)論的序號(hào)是_______________.【答案】①③【分析】根據(jù)函數(shù)解析式及的定義求判斷①，根據(jù)的定義求函數(shù)定義域、值域判斷②，根據(jù)的定義知，據(jù)此可判斷③，取特殊值判斷④.【詳解】，①正確；，，即定義域?yàn)?，由符?hào)表示不超過的最大整數(shù)，可知，即值域?yàn)椋阱e(cuò)誤；，③正確；取，則，故不是增函數(shù)，取，則，，即，所以函數(shù)不是奇函數(shù)，④錯(cuò)誤.故答案為：①③四、解答題16．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)榧?，集合?1)求函數(shù)的定義域；(2)若：，：，且是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）只要二次根式的被開方數(shù)非負(fù)和分式的分母不為零，列不等式組可求得答案；（2）由題意可得，然后分和兩種情況求解即可.【詳解】（1）要使得函數(shù)有意義，只需要解得，所以集合（2）因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，所以，當(dāng)時(shí)，，且，解得，當(dāng)時(shí)，且，解得，

綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.17．已知函數(shù)，點(diǎn)，是圖象上的兩點(diǎn).(1)求函數(shù)的解析式；(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并說明理由；(3)定義：區(qū)間的長(zhǎng)度為，問是否存在區(qū)間，使得時(shí)，的值域?yàn)?，若存在，求出此區(qū)間長(zhǎng)度的最大值.【答案】(1)；(2)在上單調(diào)遞增，理由見解析；(3)3.【分析】（1）代入兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出即可得解；（2）根據(jù)單調(diào)性的定義證明即可；（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求出的最小值6，再求出，即可得解.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)，是圖象上的兩點(diǎn)，所以，解得，則函數(shù)的解析式為.（2），，且，則，因?yàn)椋?，且，所以，，，則，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.（3）存在，證明如下：由（2）易得在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，因?yàn)樵趨^(qū)間上，的值域?yàn)椋?18．已知正實(shí)數(shù)，滿足.求(1)的最小值；(2)的最小值；(3)的最小值.【答案】(1)；(2)25；(3).【分析】（1）根據(jù)得出然后展開，利用均值不等式求解即可；（2）轉(zhuǎn)化為，然后利用基本不等式即可得出結(jié)果；（3）根據(jù)，利用，由基本不等式即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，是正?shù)，，所以，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為；（2）由可得，即，所以，，又，因?yàn)?，，所以?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為．（3）由可得，所以，所以，，所以當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.19．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈＝{x|x≠0}，且滿足對(duì)任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，求x的取值范圍．【答案】（1）0；（2）見解析；（3）【詳解】試題分析：（1）抽象函數(shù)求具體指，用賦值法；（2）根據(jù)定義求證函數(shù)的奇偶性找f(－x)和f(x)的關(guān)系；（3）先利用f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2得到f(x－1)<2?f(|x－1|)<f(16).再根據(jù)單調(diào)性列出不等式求解即可.(1)∵對(duì)于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)．(3)依題設(shè)有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函數(shù)，∴f(x－1)<2?f(|x－1|)<f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．∴0<|x－1|<16，解之得－15<x<17且x≠1.∴x的取值范圍是{x|－15<x<17且x≠1}．20．已知某電子公司生產(chǎn)某款手機(jī)的年固定成本為40萬美元，每生產(chǎn)1萬部還需另投入16萬美元，設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機(jī)萬部并全部銷售完，每萬部的銷售收人為萬美元，且(1)寫出年利潤（萬美元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬部）的函數(shù)解析式（利潤=銷售收入成本）；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬部時(shí)，該公司在該款手機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大?并求出最大利潤.【答案】(1)(2)年產(chǎn)量為32萬部時(shí)，利潤最大，最大利潤為6104萬美元【分析】（1）分段分別求出利潤與的函數(shù)解析式，再寫出分段函數(shù)的形式即可；（2）當(dāng)時(shí)，利用二次函數(shù)性質(zhì)求的最大值，當(dāng)時(shí)，利用基本不等式求出的最大值，再比較兩者大小，即可得到的最大值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴．（2）①當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即當(dāng)時(shí)，，綜上所述，當(dāng)時(shí)，取得最大值為6104萬美元，即當(dāng)年產(chǎn)量為32萬部時(shí)，公司在該款手機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大，最大利潤為6104萬美元．21．已知函數(shù).(1)若在上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)解關(guān)于的不等式.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）分為一次函數(shù)和二次函數(shù)兩種情況討論求解；（2）分類討論，從開口方向和根的大小進(jìn)行分類，結(jié)合二次不等式的求解方法進(jìn)行求解.【詳解】（1）當(dāng)，即時(shí)，，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，符合題意；當(dāng)，即時(shí)，二次函數(shù)對(duì)稱軸為，要想函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，只需①，或②，解①得：或，解②得：，所以，綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）不等式，變形為，，當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，的兩根為和，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，解得：，當(dāng)時(shí)，原不等式即，解得：