探究型問題是近年中考比較常見的題目,解答這類問題的關(guān)鍵是牢固

探究型問題1/13/20231命題趨勢

探究型問題是近年中考比較常見的題目，解答這類問題的關(guān)鍵是牢固掌握基本知識，加強“一題多解”、“一題多變”等的訓練；需要有較強的發(fā)散思維能力、創(chuàng)新能力。具體做題時，要仔細分析題目的有關(guān)信息、合情推理、聯(lián)想，并要運用類比、歸納、分類討論等數(shù)學思想全面考慮問題，有時還借助圖形、實物或?qū)嶋H操作來打開思路。1/13/20232整體感知探究型問題規(guī)律型問題實驗操作題存在型問題動態(tài)型問題1/13/202331.條件的不確定性2.結(jié)構(gòu)的多樣性題型特點3.思維的多向性4.解答的層次性5.過程的探究性6.知識的綜合性1/13/20234(一)規(guī)律型問題考點突破規(guī)律探索試題是中考中的一棵常青樹，一直受到命題者的青睞，主要原因是這類試題沒有固定的形式和方法，要求學生通過觀察、分析、比較、概括、推理、判斷等探索活動來解決問題．1/13/202351．數(shù)式規(guī)律例1：(2008湖北十堰)觀察下面兩行數(shù)：2，4，8，16，32，64，…①5，7，11，19，35，67，…②根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，取每行數(shù)的第10個數(shù)，求得它們的和是（寫出最后的結(jié)果）

．分析：第一行的第10個數(shù)是,第二行的每個數(shù)總比第一行同一位置上的數(shù)大3，所以第二行的第10個數(shù)是1024+3=1027.

2051歸納與猜想1/13/202361．數(shù)式規(guī)律例2：(2008北京)一組按規(guī)律排列的式子：…（ab≠0），其中第7個式子是

，

第n個式子是

（n為正整數(shù)）．

本題難點是，變化的部分太多，有三處發(fā)生變化：分子、分母、分式的符號。學生很容易發(fā)現(xiàn)各部分的變化規(guī)律，但是如何用一個統(tǒng)一的式子表示出分式的符號的變化規(guī)律是難點.

歸納與猜想1/13/202371．數(shù)式規(guī)律例3：（05年陜西）觀察下列各式：1×3=12＋2×1；2×4=22＋2×2；3×5=32＋2×3；……請你將猜想到的規(guī)律用正整數(shù)n表示出來：___________.方法總結(jié)：橫向熟悉代數(shù)式、算式的結(jié)構(gòu)；縱向觀察、對比，研究各式之間的關(guān)系，尋求變化規(guī)律；按要求寫出算式或結(jié)果。歸納與猜想1/13/202382．圖形規(guī)律例4:(2008黑龍江哈爾濱)觀察下列圖形：

它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第20個圖形共有

個★．三角形每條邊上的星數(shù)相同,再減去三個頂點的數(shù)方法一:3(n+1)-3=3n3n歸納與猜想1/13/202392．圖形規(guī)律例4:(2008黑龍江哈爾濱)觀察下列圖形：

它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第20個圖形共有

個★．369123n歸納與猜想1/13/2023102．圖形規(guī)律例5（2008海南?。┯猛瑯哟笮〉暮谏遄影磮D所示的方式擺圖形，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n個圖形需棋子

枚（用含n的代數(shù)式表示）.

第1個圖第2個圖第3個圖…方法一:除第一個圖形有4枚棋子外,每多一個圖形,多3枚棋子.4＋3（n－1）=3

n+1歸納與猜想1/13/2023112．圖形規(guī)律例5（2008海南?。┯猛瑯哟笮〉暮谏遄影磮D所示的方式擺圖形，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n個圖形需棋子

枚（用含n的代數(shù)式表示）.

第1個圖第2個圖第3個圖…3n+1方法二:每個圖形,可看成是序列數(shù)與3的倍數(shù)又多1枚棋子歸納與猜想1/13/2023122．圖形規(guī)律例5（2008海南?。┯猛瑯哟笮〉暮谏遄影磮D所示的方式擺圖形，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n個圖形需棋子

枚（用含n的代數(shù)式表示）.

第1個圖第2個圖第3個圖…方法三:2n+(n+1)=3n+1方法總結(jié)：認真觀察研究圖案（形）提取數(shù)式信息仿照數(shù)式規(guī)律得到結(jié)論歸納與猜想1/13/202313復練1：1/13/202314返表一復練2：1/13/202315探究規(guī)律題的一般步驟為：(1)觀察（發(fā)現(xiàn)特點）(2)猜想（可能的規(guī)律）(3)實驗（用具體數(shù)值代入猜想）1/13/202316（二）實驗操作型問題考點突破

實驗操作型問題是讓學生在實際操作的基礎上設計問題，主要有：⑴裁剪、折疊、拼圖等動手操作問題，往往與面積、對稱性質(zhì)相聯(lián)系；⑵與畫圖、測量、猜想、證明等有關(guān)的探究型問題。

1/13/202317實驗操作型問題

主要考查：（1）全等、相似、平移、對稱、旋轉(zhuǎn)、翻折等幾何操作變換的若干方法和技巧；(2）綜合運用相關(guān)知識解決應用問題．折紙與剪紙

分割與拼合

展開與疊合1/13/202318動手操作型的折紙與剪紙，圖形的分割與拼合、幾何體的展開與疊合，幾乎觸及了每份試卷，從單一的選擇、填空，到綜合性較強的探索猜想、總結(jié)規(guī)律，判斷論證存在與否，以及分類討論等綜合題，幾乎無處不在．1.基礎題型1/13/2023191.折紙問題例6（2008泰州）如圖，把一張長方形紙片對折，折痕為AB，再以AB的中點O為頂點把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分線折疊，將折疊后的圖形剪出一個以O為頂點的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展開鋪平后得到的平面圖形一定是（）

A．正三角形B．正方形C．正五邊形D．正六邊形

基礎題型

解題策略1：重過程——“折”．溫馨提示:看清步驟，仔細操作.操作與探究1/13/202320ABCD復練（08山東）：將一正方形紙片按下列順序折疊，然后將最后折疊的紙片沿虛線剪去上方的小三角形．將紙片展開，得到的圖形是（）

試一試：溫馨提示:帶齊工具。C1/13/202321２.拼圖問題

例7（08順義一模）如圖1，△ABC是直角三角形，如果用四張與△ABC全等的三角形紙片恰好拼成一個等腰梯形，如圖2，那么在Rt△ABC中，

的值是

．

方法一:觀察邊長,兩條較短的直角邊的和等于斜邊的長方法二:觀察角度,兩個較小的銳角的和等于較大的銳角基礎題型

操作與探究1/13/202322２.拼圖問題基礎題型

例8：（08常州）如圖,這是一張等腰梯形紙片,它的上底長為2,下底長為4,腰長為2,這樣的紙片共有5張.打算用其中的幾張來拼成較大的等腰梯形,那么你能拼出哪幾種不同的等腰梯形?分別畫出它們的示意圖,并寫出它們的周長.2224操作與探究1/13/202323２.拼圖問題基礎題型

2234202222421/13/2023243.展開與折疊例9（07年北京）右圖所示是一個三棱柱紙盒，在下面四個圖中，只有一個是這個紙盒的展開圖，那么這個展開圖是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．．．．基礎題型

本題考查立體圖形的展開與折疊，同時考查空間想象能力和動手實踐能力。動手制作模型，通過實驗來驗證不失為一種好方法。操作與探究1/13/2023254.網(wǎng)格問題例10（08年石景山一模）如圖，在由12個邊長都為1且有一個銳角為60°的小菱形組成的網(wǎng)格中，點P是其中的一個頂點，以點P為直角頂點作格點直角三角形（即頂點均在格點上的三角形），請你寫出所有可能的直角三角形斜邊的長___________________.

12基礎題型

操作與探究1/13/2023264.網(wǎng)格問題例10（08年石景山一模）如圖，在由12個邊長都為1且有一個銳角為60°的小菱形組成的網(wǎng)格中，點P是其中的一個頂點，以點P為直角頂點作格點直角三角形（即頂點均在格點上的三角形），請你寫出所有可能的直角三角形斜邊的長___________________.

12基礎題型

評析：這類題型主要以學生熟悉的、感興趣的圖形為背景，提供觀察和操作的機會，讓學生通過動手操作，親自發(fā)現(xiàn)結(jié)果的準確性，在思想和行動上逐步消除理論和實踐之間的阻隔．網(wǎng)格試題具有操作性，趣味性，體現(xiàn)了“在玩中學，在學中思，在思中得”的課標理念．操作與探究1/13/202327動手操作型試題是指給出操作規(guī)則，在操作過程中發(fā)現(xiàn)新結(jié)論，自主探索知識的發(fā)展過程；它為解題者創(chuàng)設了動手實踐，操作設計的空間，考察了學生的數(shù)學實踐能力和創(chuàng)新設計才能．2.綜合題型1/13/202328現(xiàn)有10個邊長為1的正方形，排列形式如圖4,請把它們分割后拼接成一個新的正方形．要求：在圖4中畫出分割線,并在圖5的正方形網(wǎng)格圖（圖中每個小正方形的邊長均為1）中用實線畫出拼接成的新正方形．說明：直接畫出圖形，不要求寫分析過程.例11（2006北京）請閱讀下列材料:問題:現(xiàn)有5個邊長為1的正方形，排列形式如圖1,請把它們分割后拼接成一個新的正方形．要求：畫出分割線并在正方形網(wǎng)格圖（圖中每個小正方形的邊長均為1）中用實線畫出拼接成的新正方形．小東同學的做法是:設新正方形的邊長為x（x>0）.依題意，割補前后圖形面積相等，有x2=5,解得由此可知新正方形的邊長等于兩個小正方形組成的矩形對角線的長.于是，畫出如圖2所示的分割線,拼出如圖3所示的新正方形．請你參考小東同學的做法，解決如下問題:圖⑤圖④題型一：畫圖與拼圖綜合題型

操作與探究1/13/202329小東同學的做法是：設新正方形的

邊長為x(x>0).依題意，割補前后圖形的面積相等，有x2=5,解得x=.由此可知新正方形的邊長等于兩個小正方形組成的矩形對角線的長.于是，畫出如圖2所示的分割線，如圖3所示的新正方形.再現(xiàn)操作情境1/13/202330小東同學的做法是：設新正方形的

邊長為x(x>0).依題意，割補前后圖形的面積相等，有x2=5,解得x=.由此可知新正方形的邊長等于兩個小正方形組成的矩形對角線的長.于是，畫出如圖4所示的分割線，如圖5所示的新正方形.①②③④⑤10理清操作步驟發(fā)現(xiàn)變化，類比遷移1/13/202331小東同學的做法是：設新正方形的

邊長為x(x>0).依題意，割補前后圖形的面積相等，有x2=5,解得x=.由此可知新正方形的邊長等于兩個小正方形組成的矩形對角線的長.于是，畫出如圖4所示的分割線，如圖5所示的新正方形.①②③④⑤10理清操作步驟發(fā)現(xiàn)變化，類比遷移析解：本例是將矩形分割后拼成正方形，而試題又提供了拼接方法，解決這類問題除要有平時的分割和拼接經(jīng)驗外，還要密切關(guān)注試題中的閱讀材料．1/13/202332題型二：折疊與變換例12（08北京）已知等邊三角形紙片的邊長為8，D為AB邊上的點，過點D作DG∥BC交AC于點G．DE⊥BC于點E，過點G作GF⊥BC于F點，把三角形紙片ABC分別沿DG,DE,GF按圖1所示方式折疊，點A,B,C分別落在點A’，B’，C’處．若點A’，B’，C’在矩形DEFG內(nèi)或其邊上，且互不重合，此時我們稱△A’B’C’（即圖中陰影部分）為“重疊三角形”．

綜合題型

折疊軸對稱實質(zhì)透過現(xiàn)象看本質(zhì):1/13/202333（1）若把三角形紙片ABC放在等邊三角形網(wǎng)格中（圖中每個小三角形都是邊長為1的等邊三角形），點A,B,C,D恰好落在網(wǎng)格圖中的格點上．如圖2所示，請直接寫出此時重疊三角形A’B’C’的面積_____；題型二：折疊與變換觀察圖形可知:重疊三角形是邊長為2的等邊三角形綜合題型

1/13/202334（2）實驗探究：設AD的長為m，若重疊三角形A’B’C’存在．試用含m的代數(shù)式表示重疊三角形A’B’C’的面積，并寫出m的取值范圍（直接寫出結(jié)果，備用圖供實驗，探究用）．題型二：折疊與變換綜合題型

評析：本題設計精巧，頗具新意，是以學生喜聞樂見的“折紙”為背景，展示了數(shù)學的豐富內(nèi)涵，材料鮮活、親切，表述簡明直觀。本題的另一巧妙之處在于構(gòu)成網(wǎng)格的圖形是正三角形，令人耳目一新。第一問折疊是軸對稱性質(zhì)的應用，應注意折疊中出現(xiàn)的不變量；第二問體現(xiàn)了由特殊到一般的認知規(guī)律，在直觀操作的基礎上，將直覺與簡單推理相結(jié)合，考察了學生的建模能力．mm8-m8-2m8-2m>01/13/202335綜合題型

題型二：折疊與變換例13（08浙江）已知直角梯形紙片OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，四個頂點的坐標分別為O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，點T在線段OA上(不與線段端點重合)，將紙片折疊，使點A落在射線AB上(記為點A′)，折痕經(jīng)過點T，折痕TP與射線AB交于點P，設點T的橫坐標為t，折疊后紙片重疊部分(圖中的陰影部分)的面積為S；(1)求∠OAB的度數(shù)，并求當點A′在線段AB上時，S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；(2)當紙片重疊部分的圖形是四邊形時，求t的取值范圍；(3)S存在最大值嗎？若存在，求出這個最大值，并求此時t的值；若不存在，請說明理由．評析：這是一道翻折實驗題，可以讓學生在親手操作中學習知識，充分考查學生的作圖能力、空間想象能力和探索能力。也可利用課件演示幾個關(guān)鍵點1/13/202336解題策略2：重結(jié)果——“疊”．心得：先標等量，再構(gòu)造方程。折疊問題中構(gòu)造方程的方法：（2）尋找相似三角形，根據(jù)相似比得方程。（1）把條件集中到一Rt△中，根據(jù)勾股定理得方程。1/13/202337反思小結(jié)重結(jié)果折疊問題折疊程過重利用Rt△利用∽方程思想軸對稱全等性對稱性質(zhì)本精髓1/13/202338例14（06順義二模）把兩個全等的等腰直角板ABC和OPQ疊放在一起，如圖1，且使三角板OPQ的直角頂點O與三角板ABC的斜邊中點重合．現(xiàn)將三角板OPQ繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角滿足條件），四邊形CDOE是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部分（如圖2，圖3所示），已知兩個三角板的直角邊長均為4．探究：（1）在上述旋轉(zhuǎn)過程中，線段OD與OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系,以圖2為例證明你的猜想.題型三：旋轉(zhuǎn)與探索綜合題型

實驗與推理1/13/202339實驗與推理題型三：旋轉(zhuǎn)與探索1/13/202340【點評】以上兩題都是通過三角板的旋轉(zhuǎn)來構(gòu)造探索性問題，學生在探索過程中，可以表現(xiàn)出自己在從事觀察、實驗、數(shù)學表達、猜想、證明等數(shù)學活動方面的能力．此題關(guān)注了學生認識數(shù)學對象的過程與方法．為了考查和培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力，中考試題中也越來越多地引入了開放性問題，使學生通過對開放性試題的解答，親自經(jīng)歷做數(shù)學的過程，加深學生對數(shù)學知識的認識和理解．這也對我們今后的教學的方向性起著導向作用．1/13/202341例16

（08義烏）如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個動點(點G與C、D不重合)，以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結(jié)BG，DE．我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系：（1）①猜想如圖1中線段BG、線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；②將圖1中的正方形CEFG繞著點C按順時針(或逆時針)方向旋轉(zhuǎn)任意角度，得到如圖2、如圖3情形．請你通過觀察、測量等方法判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立,并選取圖2證明你的判斷．題型三：旋轉(zhuǎn)與探索綜合題型

實驗與推理1/13/202342題型三：旋轉(zhuǎn)與探索綜合題型

（2）將原題中正方形改為矩形（如圖4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb(a≠b，k＞0)，第(1)題①中得到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖5為例簡要說明理由．（3）在第(2)題圖5中，連結(jié)DG、BE，且a=3，b=2，k=，求的值．評析：本題考查學生探索知識、發(fā)現(xiàn)知識、應用知識的綜合創(chuàng)新能力。學生在探究時的猜想一般來說都是一些可預見的結(jié)果，如：大小關(guān)系一般是相等或和差相等，平面內(nèi)兩直線關(guān)系一般是平行、垂直等。因此，學生的猜想可有一個大方向。同時，此類題型由于條件的變化，其探索過程也由簡到難，可運用類比的方法依次求出，從而使學生在身臨數(shù)學的情境中潛移默化，逐漸感悟到數(shù)學思維的力量。

實驗與推理1/13/202343綜合題型

【點評】這些試題均體現(xiàn)新課標所倡導的“操作——猜想——探究——證明”理念。每題在課本中均能找到落腳點，但改變了過去直接要求學生對命題證明的形式，而是按照：“給出特例——猜想一般——推理論證——再次猜想”要求呈現(xiàn)，這對考查學生的創(chuàng)新意識是十分有益的，對教學也起到了正確的引導作用．題型三：旋轉(zhuǎn)與探索1/13/202344(三)存在性問題考點突破存在性探索問題是指在某種題設條件下，判斷具有某種性質(zhì)的數(shù)學對象是否存在的一類問題．這類問題的知識覆蓋面較廣，綜合性較強，題意構(gòu)思非常精巧，解題方法靈活，對學生分析問題和解決問題的能力要求較高，是近幾年來各地中考的“熱點”。

這類題目解法的一般思路是：假設存在→推理論證→得出結(jié)論。若能導出合理的結(jié)果，就做出“存在”的判斷，導出矛盾，就做出不存在的判斷。1/13/202345“存在性”問題大體可分為兩類：1．由數(shù)量關(guān)系確定的“存在性”問題（即要找的是滿足一個“特殊”數(shù)量方面的要求）2．由位置關(guān)系確定的“存在性”問題（即要找的是滿足一個“特殊”位置方面的要求）解決的方法主要是借助于構(gòu)造基本圖形

解決的方法主要是借助于構(gòu)造方程1/13/202346考點突破解決此類問題的關(guān)鍵是將運動的幾何元素當作靜止來加以解答，即“化動為靜”的思路；并能從相對靜止的瞬間清晰地發(fā)現(xiàn)圖形變換前后各種量與量之間的關(guān)系，通過歸納得出規(guī)律和結(jié)論，并加以論證.1/13/202347

例17：（06順義一模）已知，如圖，△ABC中，AB=6，AC=8，M為AB上一點（M不與點A、B重合），MN∥BC交AC于點N.（1）當△AMN的面積是四邊形MBCN面積的2倍時，求AM的長；（2）若∠A=90°，在BC上是否存在點P，使得△MNP為等腰直角三角形？若存在請求出MN的長；若不存在，請說明理由.1/13/202348

例18：（08大興二模）已知,拋物線過點A(-3,0),B(1,0),，此拋物線的頂點為D.（1）求此拋物線的解析式；（2）把△ABC繞AB的中點M旋轉(zhuǎn)180°，得到四邊形AEBC.①求E點的坐標；②試判斷四邊形AEBC的形狀，并說明理由．（3）試探求：在直線BC上是否存在一點P，使得△PAD的周長最小，若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．1/13/202349（四）動態(tài)探究題考點突破動態(tài)探究題能夠真實的考查學生的知識水平、理解能力，有較好的區(qū)分度，具有較好的選拔功能；同時，依托圖形的變化（動點、動線段、動圖問題），能很好地考查學生學習數(shù)學的探究能力和綜合素質(zhì)，體現(xiàn)開放性。主要以中檔題與綜合題形式出現(xiàn)，有時也會以選擇題形式出現(xiàn)。1/13/202350題型一：點動型探索綜合題型

例19

分析：前兩問利用相似三角形或者三角函數(shù)等知識可解決，第（3）問是一個點在線上運動問題，需要先探索點P使△PQR為等腰三角形的可能性，這時應分類討論，抓住PQ為等腰三角形的腰或底分別求解，注意x的取值范圍．解題策略1：化動為“靜”．1/13/202351題型一：點動型探索綜合題型

例19略解（1）由BC=10,BD=3,△BHD∽△BAC

得到DH=2.41/13/202352綜上所述，當x為3.6或6或7.5時，△PQR為等腰三角形．題型一：點動型探索綜合題型

解題策略2：分類畫出圖形．1/13/202353題型一：點動型探索小結(jié)

一要注意在單點運動變化的過程中，哪些圖形（如線段、三角形等）隨之運動變化，即確定整個單點運動變化過程中圖形中的變量和不變量．如本題中線段PQ和∠PQR是兩個不變量，線段BQ、QR是兩個變量，以及△PQR的形狀也在變化．

三要結(jié)合具體問題，建立方程或函數(shù)等數(shù)學模型，達到解決問題的目的．如本題中，假設△PQR為等腰三角形，則分PQ=PR,QP=QR,RP=RQ三種情況建立相等關(guān)系，列出方程求解．

二要運用相應的幾何知識，用單點運動引起的某一變量x，表示圖形中其它的變量．如本題中運用△RQC∽△ABC

，用變量x表示變量y．

1/13/202354題型二：線動型探索例20：已知：如圖，AB是⊙O的一條弦，點C為AB的中點，CD是⊙O的直