2022-2023學(xué)年江西省上饒市民?？荚嚶?lián)盟高二年級上冊學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江西省上饒市民?？荚嚶?lián)盟高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若直線與互相垂直，則實數(shù)a的值為（

）A．-3 B． C． D．3【答案】C【分析】根據(jù)給定條件利用兩條直線互相垂直的關(guān)系列式計算作答.【詳解】因直線與互相垂直，則，解得，所以實數(shù)a的值為.故選：C2．若點在圓的內(nèi)部，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】點在圓的內(nèi)部，求解即可【詳解】由題意，點在圓的內(nèi)部故，即解得：則a的取值范圍是故選：D3．冰糖葫蘆是中國傳統(tǒng)小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫蘆如圖1所示，若將山楂看成是大小相同的圓，竹簽看成一條線段，如圖2所示，且山楂的半徑（圖2中圓的半徑）為1，竹簽所在直線方程為，則與該串冰糖葫蘆的山楂都相切的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行關(guān)系設(shè)直線方程為，利用直線與圓相切，則圓心到直線距離為圓半徑得到方程，解出即可.【詳解】由題可設(shè)知與該串冰糖葫蘆的山楂都相切的直線方程為，則與該串冰糖葫蘆的山楂都相切的直線方程為.故選：B.4．已知直線和以為端點的線段相交，則實數(shù)k的取值范圍為（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】先求出所過的定點，結(jié)合直線與線段相交，應(yīng)用斜率兩點式求出斜率k的范圍.【詳解】由題設(shè)，恒過點，則，，又在y軸上，在y軸兩側(cè)，故直線的斜率.故選：D5．設(shè)為雙曲線上一點，，分別為雙曲線的左，右焦點，若，則等于（

）A．2 B．2或18 C．4 D．18【答案】B【分析】利用雙曲線的定義即可求解.【詳解】根據(jù)雙曲線的定義，，即，解得2或18，均滿足.故選：B6．甲?乙等5名北京冬奧會志愿者到高山滑雪?短道速滑?花樣滑冰?冰壺四個場地進行志愿服務(wù)，每個志愿者只去一個場地，每個場地至少一名志愿者，若甲去高山滑雪場，則不同的安排方法共有（

）A．96種 B．60種 C．36種 D．24種【答案】B【分析】根據(jù)題意，肯定有一個場地是兩個人，該問題分為兩類，一類是高山滑雪場兩人，一類是高山滑雪場一人，之后利用分類加法計數(shù)原理求得結(jié)果.【詳解】分兩類，一是高山滑雪場安排2人，除甲外的其余4人每人去一個場地，不同的安排方法共有種；二是高山滑雪場只安排1人（甲），其余4人分三組（211），再安排到各場地，有種.∴.不同的安排方法有.故選：B.7．如圖，在四面體OABC中，，，.點M在OA上，且,為BC中點，則等于（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的加法和減法的三角形法則得到.【詳解】連接,是的中點，,,.故選：B8．當曲線與直線有兩個相異的交點時，實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】畫出所表示的半圓，結(jié)合直線所過的定點，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法判斷直線與半圓有兩個相異的交點，直線的位置情況，即可求k的范圍.【詳解】由題設(shè)，表示圓的半圓，又直線過定點，由下圖知：k的取值范圍在直線與半圓左側(cè)相切時斜率(不含)、直線過時斜率之間.當在半圓左側(cè)相切時到直線距離等于半徑，即，可得.當直線過時，；綜上，要使直線與半圓有兩個相異的交點，k的取值范圍是.故選：C二、多選題9．下列說法不正確的是（

）A．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件B．直線的一個方向向量(1,2)C．經(jīng)過點，傾斜角為的直線方程為D．直線，為直線上動點，則的最小值為【答案】AC【分析】利用直線垂直的性質(zhì)判斷A，利用直線的方向向量判斷B，利用直線的點斜式方程判斷C，表示到的距離的平方，然后可判斷D．【詳解】對于A，由直線與直線互相垂直可得，解得或，是直線與直線互相垂直的充分不必要條件，故A錯誤，對于B，直線的斜率為2，則該直線的一個方向向量為，故B正確，對于C，當時，無意義，故C錯誤，對于D，表示到的距離的平方，的最小值即為到直線距離的平方，即，故D正確．故選：AC．10．若橢圓上存在點P，使得點P到橢圓的兩個焦點的距離之比為2：1，則稱該橢圓為“倍徑橢圓”．則下列橢圓中為“倍徑橢圓”的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由各選項的橢圓方程求橢圓參數(shù)，由橢圓的性質(zhì)知橢圓上點到焦點距離最大為，最小為，結(jié)合“倍徑橢圓”的定義即可判斷.【詳解】A：由橢圓方程有，所以，則，故存在符合題設(shè)的P點；B：由橢圓方程有，所以，則，故不存在符合題設(shè)的P點；C：由橢圓方程有，所以，則，故存在符合題設(shè)的P點；D：由橢圓方程有，所以，則，故不存在符合題設(shè)的P點；故選：AC.11．阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計算了一個橢圓的面積．當我們垂直地縮小一個圓時，我們得到一個橢圓，橢圓的面積等于圓周率與橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，已知橢圓的面積為，兩個焦點分別為，，點P為橢圓C的上頂點，點Q為橢圓C上的動點，直線與橢圓C交于A，B兩點，若的斜率之積為，則橢圓C中（

）A．短軸長為4 B．漸近線方程為C．點Q在兩處取到直角 D．離心率為【答案】AD【分析】不妨設(shè)，，利用橢圓的面積、的斜率之積求出可判斷A；橢圓無漸近線可判斷B；設(shè)，求出得到，即可判斷C；求出可判斷D.【詳解】對于A，橢圓的面積，即①，因為點P為橢圓C的上項點，所以，因為直線與橢圓C交于A，B兩點，不妨設(shè)，則且，所以，因為的斜率之積為，所以，把代入整理化簡得：②，①②聯(lián)立解得：．所以橢圓C的短軸長為，故A正確；對于B，由于橢圓無漸近線，故B錯誤；對于C，橢圓方程為，所以，不妨設(shè)，所以，所以，即，所以四個象限各存在一個點使得取到直角，故C錯誤；對于D，因為，，所以，故D正確.故選：AD.12．已知拋物線C:的焦點，過的直線交拋物線于A，B兩點，O為坐標原點，則以下說法正確的是（

）A．為定值 B．AB中點的軌跡方程為C．最小值為16 D．O在以AB為直徑的圓外【答案】ABD【分析】首先確定拋物線方程，再根據(jù)直線與拋物線聯(lián)立得交點坐標關(guān)系，，逐項分析轉(zhuǎn)化為坐標關(guān)系求解判斷即可.【詳解】由題意可知：，所以，則拋物線方程為C：，設(shè)直線l的方程為：，所以，則，所以，對于A：，故選項A正確；對于B：設(shè)的中點為，則有，所以滿足，故選項B正確；對于C：（當且僅當取等號），故選項C錯誤；對于D：，則O在以AB為直徑的圓外，所以選項D正確．故選：ABD.三、填空題13．已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，則該橢圓的離心率是___________．【答案】【詳解】試題分析：的焦點為，所以化為【解析】橢圓拋物線方程及性質(zhì)14．過點的直線與橢圓相交于兩點，且恰為中點，則直線的方程為___________.【答案】【分析】結(jié)合點差法求得直線的方程.【詳解】橢圓，由，令得：，所以在橢圓內(nèi)，同時，當直線的斜率不存在，即直線時，，不是線段的中點，所以直線的斜率存在.設(shè)，則，兩式相減并化簡得，即，所以直線的方程為，即.故答案為：15．的展開式中，的系數(shù)等于_______.【答案】【分析】只可能出現(xiàn)在后三項中，直接利用二項展開式的通項進行求解即可.【詳解】依題意，這一部分才會出現(xiàn)，它們展開式含有的項為：.故答案為：16．很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個棱數(shù)為24，棱長為的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四面體所得.若為線段的中點，則直線與直線所成角的余弦值為___________.【答案】【分析】將該半正多面體補成正方體，因為該半正多面體的棱長為，所以正方體的棱長為2,建立空間直角坐標系即可求解.【詳解】將該半正多面體補成正方體，建立如圖所示的空間直角坐標系.因為該半正多面體的棱長為，所以正方體的棱長為，，，故直線與直線所成角的余弦值為.故答案為：四、解答題17．知兩條不重合的直線和，．(1)若，求a的值；(2)若，求a的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，可得，解之即可得解；（2）由，可得，解之即可.【詳解】（1）解：因為，所以，解得，所以；（2）解：因為，所以，解得，所以.18．已知圓C：，直線l：.(1)當a為何值時，直線l與圓C相切；(2)當直線l與圓C相交于A，B兩點，且|AB|=時，求直線l的方程.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）由題設(shè)可得圓心為，半徑，根據(jù)直線與圓的相切關(guān)系，結(jié)合點線距離公式列方程求參數(shù)a的值即可.（2）根據(jù)圓中弦長、半徑與弦心距的幾何關(guān)系列方程求參數(shù)a，即可得直線方程.【詳解】（1）由圓：，可得，其圓心為，半徑，若直線與圓相切，則圓心到直線距離，即，可得：.（2）由（1）知：圓心到直線的距離，因為，即，解得：，所以，整理得：，解得：或，則直線為或.19．（1）已知的展開式中，第5項與第3項的二項式系數(shù)之比為14:3，求展開式中的常數(shù)項；（2）已知的展開式中的系數(shù)為5，求的值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用二項展開式的通項公式可求常數(shù)項；（2）利用多項式的乘法結(jié)合二項展開式的通項公式可求的值.【詳解】（1）的展開式的通項公式為，第5項與第3項的二項式系數(shù)分別為，整理得到：即，所以，故，令，則，所以展開式中的常數(shù)項為.（2）展開式的通項公式為，故該展開式中的系數(shù)為，的系數(shù)為，故的展開式中的系數(shù)為，由題設(shè)有，故.20．已知橢圓的左、右焦點分別為，過且傾斜角為的直線l與橢圓相交于A，B兩點．（1）求的中點的坐標；（2）求的周長與面積．【答案】（1）；（2）周長為，面積為．【分析】（1）求出橢圓的焦點，進而求出的方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，再利用韋達定理以及中點坐標公式即可求解.（2）利用點到直線的距離公式求出到直線的距離，利用弦長公式求出，根據(jù)三角形的面積公式即可求解.【詳解】（1）由，知，．，的方程為由消去y，整理得．設(shè)的中點為，則，，，，的中點的坐標為．（2）由題意，知到直線的距離，，的周長為，面積為．【點睛】本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系、中點坐標坐標公式、弦長公式，屬于基礎(chǔ)題.21．在矩形中（圖1），，，為邊上的中點，將沿折起，使得平面平面，連接，形成四棱錐．(1)求證：．(2)求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）利用面面垂直性質(zhì)定理證明平面，然后可證；（2）聯(lián)立空間直角坐標系，利用向量法可解.【詳解】（1）在矩形中，，，所以，故．因為平面平面，且平面平面，所以平面．又因為平面，所以．（2）以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，．因為，則，，．設(shè)平面的法向量為，則有，取得，平面為坐標平面，故可取法向量為，記平面與平面夾角為，則，由圖可知，平面與平面夾角為銳角，所以平面與平面夾角的余弦值為．22．如圖，已知，直線，為平面上的動點，過點作的垂線，垂足為點，且．(1)求動點的軌跡的方程；(2)過點的直線交軌跡于兩點，交直線于點．（i）已知，，求的值；（ii）求的最小值．【答案】(1)；