2022-2023學(xué)年江蘇省鹽城市高一年級上冊學(xué)期第二次學(xué)情調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年第一學(xué)期高一年級第二次學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：（每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的）1.已知全集，，則集合（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用集合補集的性質(zhì)直接求解即可【詳解】由于，，所以，故選A2.函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)列出不等式且，即可求解.【詳解】由題意可得且，即且，整理可得，解得：所以函數(shù)的定義域為故選：C3.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.【詳解】令，則有或，即函數(shù)的定義域為，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：D．4.已知函數(shù)，則（）A.的最小值為0，最大值為3 B.的最小值為，最大值為0C.的最小值為，最大值為3 D.既無最小值，也無最大值【答案】C【解析】【分析】寫出分段函數(shù)解析式，畫出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合得答案.【詳解】函數(shù)所以當時，；當時，；當時，．結(jié)合函數(shù)圖像可知，函數(shù)的最大值為3，最小值為．故選：C.5.天文學(xué)中為了衡量星星的明暗程度，古希臘天文學(xué)家喜帕恰斯(，又名依巴谷)在公元前二世紀首先提出了星等這個概念.星等的數(shù)值越小，星星就越亮；星等的數(shù)值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度計在天體光度測量中的應(yīng)用，英國天文學(xué)家普森()又提出了衡量天體明暗程度的亮度的概念.天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足.其中星等為的星的亮度為.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四”的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，則與最接近的是(當較小時，)A.1.24 B.1.25 C.1.26 D.1.27【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，代值計算，即可得，再結(jié)合參考公式，即可估算出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可得：可得，解得，根據(jù)參考公式可得，故與最接近的是.故選：C.【點睛】本題考查對數(shù)運算，以及數(shù)據(jù)的估算，屬基礎(chǔ)題.6.函數(shù)，則的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】判斷奇偶性，再利用函數(shù)值的正負排除三個錯誤選項，得正確結(jié)論．【詳解】，偶函數(shù)，排除BC，又時，，時，，排除A，故選：D．7.已知,,,則的最小值是（）.A.3 B. C. D.9【答案】A【解析】【分析】由已知結(jié)合指數(shù)與對數(shù)的運算性質(zhì)可得,從而根據(jù),展開后利用基本不等式可得解.【詳解】,,,所以,即,則,當且僅當且即,時取等號,則的最小值是3.故選：A【點睛】本題主要考查了指數(shù)與對數(shù)的運算性質(zhì)及利用基本不等式求解最值,要注意應(yīng)用條件的配湊.屬于中檔題.8.已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)，，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論.【詳解】由函數(shù)為奇函數(shù)且在上是減函數(shù)，，可知時，時，，，時；等價于或或，即或或，解得的范圍是.故選：A二、多選題：（每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合要求，全部選對得5分，部分選對得2分，錯選得0分）9.已知實數(shù)a，b，c滿足，則（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷．【詳解】∵，由在上是增函數(shù)，，故A正確；由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)是減函數(shù)，，∴，，即，故B錯誤；由是減函數(shù)得，故C正確；，，故D錯誤；故選：AC10.下列四個命題是真命題的是（）A.若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為B.函數(shù)（其中，且）的圖像過定點C.函數(shù)的值域為D.已知在上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】由得出定義域；由真數(shù)等于1判斷B；由單調(diào)性判斷C；由二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的單調(diào)性判斷D.【詳解】由，解得，即函數(shù)的定義域為，故A正確；由，解得，，即函數(shù)的圖像過定點，故B正確；函數(shù)的定義域為，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，即函數(shù)的值域為，故C錯誤；由題意可得，解得，即實數(shù)a的取值范圍是，故D正確；故選：ABD11.2022年1月，在世界田聯(lián)公布的2022賽季首期各項世界排名中，我國一運動員以1325分排名男子100米世界第八名，極大地激勵了學(xué)生對百米賽跑的熱愛．甲、乙、丙三名學(xué)生同時參加了一次百米賽跑，所用時間（單位：秒）分別為，，．甲有一半的時間以速度（單位：米/秒）奔跑，另一半的時間以速度奔跑；乙全程以速度奔跑；丙有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑．其中，．則下列結(jié)論中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】首先利用時間和速度的關(guān)系表示三人的時間，再利用不等式的關(guān)系，結(jié)合選項，比較大小，即可判斷選項.【詳解】由題意，所以，，，根據(jù)基本不等式可知，故，當且僅當時等號全部成立，故A選項正確，B選項錯誤；，故C選項正確；，故D選項錯誤．故選：AC．12.某學(xué)校為了加強學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，鍛煉學(xué)生自主探究學(xué)習的能力，讓學(xué)生以函數(shù)為基本素材，研究該函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，取得部分研究成果如下，其中研究成果正確的是（）A.函數(shù)的定義域為，且是偶函數(shù)B.對于任意的，都有C.對于任意的a，，都有D.對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意兩個不同的實數(shù)，，總滿足【答案】BC【解析】【分析】利用對數(shù)的性質(zhì)求定義域，由定義判斷奇偶性可知A的正誤；將等式兩邊函數(shù)中自變量代入解析式化簡整理判斷B、C的正誤；應(yīng)用特殊值：取，代入判斷即可．【詳解】A：由，解得，故的定義域為．又，∴為奇函數(shù)，故錯誤．B：由，，故正確．C：，，∴，故正確．D：取，，則，，∴，故錯誤．故選：BC．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知冪函數(shù)的圖像不過原點，則實數(shù)m的值為__________.【答案】3【解析】【分析】先由冪函數(shù)的定義求出或，再檢驗得解.【詳解】依題意得，解得或．當時，，其圖像經(jīng)過原點，不符合題意；當時，，其圖像不經(jīng)過原點，符合題意，因此實數(shù)m的值為3．故答案為3【點睛】本題主要考查冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.14.已知f(x)是定義在R上奇函數(shù)，當x>0時，f(x)=x3+x+1，則f(x)的解析式為___.【答案】【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義可以求出時的解析式，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得，即求得f(x)的解析式．【詳解】設(shè)x<0，則-x>0，所以f(-x)=(-x)3+(-x)+1=-x3-x+1.因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x)，所以-x3-x+1=-f(x)，即f(x)=x3+x-1.所以x<0時，f(x)=x3+x-1，又因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)=0，即f(x)=．故答案為：．【點睛】本題主要考查利用奇函數(shù)的定義和性質(zhì)求函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題．15.已知是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增．若實數(shù)x滿足，則實數(shù)x的取值范圍是____________．【答案】【解析】【分析】首先分析得到函數(shù)的單調(diào)性，再解不等式即得解.【詳解】解：因為是上的偶函數(shù)且在上遞增，所以在上單調(diào)遞減，又因為，所以，所以.所以實數(shù)x的取值范圍是.

故答案為：.16.已知函數(shù)，，為常數(shù)，若對于任意，，且，都有則實數(shù)的取值范圍為________.【答案】[0，2]【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)F（x）＝f（x）﹣g（x），利用F（x）的單調(diào)性求出a【詳解】解：對于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），即f（x1）﹣g（x1）＜f（x2）﹣g（x2），令F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣a|x﹣1|，即F（x1）＜F（x2），只需F（x）在[0，2]單調(diào)遞增即可，當x＝1時，F(xiàn)（x）＝0，圖象恒過（1，0）點，當x＞1時，F(xiàn)（x）＝x2﹣ax+a，當x＜1時，F(xiàn)（x）＝x2+ax﹣a，要使F（x）在[0，2]遞增，則當1＜x≤2時，F(xiàn)（x）＝x2﹣ax+a的對稱軸x＝，即a≤2，當0≤x＜1時，F(xiàn)（x）＝x2+ax﹣a的對稱軸x＝，即a≥0，故a∈[0，2]，故答案為：[0，2]【點睛】考查恒成立問題，函數(shù)的單調(diào)性問題，利用了構(gòu)造函數(shù)法，屬于中檔題．四、解答題：（共計70分解答題應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程和演算步驟）17.設(shè)集合．（1）用列舉法表示集合，并指出集合的子集的個數(shù)；（2）記，若“”是“”的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1），16（2）【解析】【分析】（1）由題意得，，進一步可以求得及其子集的個數(shù)；（2）由已知條件可得是的真子集，列出不等式組，求解即可．【小問1詳解】∵，，∴，集合子集有：，，，，，，，，，，，，，，，，共16個．【小問2詳解】因為“”是“”的必要不充分條件，所以是的真子集，所以，(兩等號不能同時成立)，解得，即實數(shù)的取值范圍是．18.求下列各式的值：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)對數(shù)運算法則進行計算；（2）將根式化為分數(shù)指數(shù)冪，進行計算.【小問1詳解】原式===；【小問2詳解】原式==19.已知函數(shù)為偶函數(shù)．（1）求的值；（2）已知函數(shù)，，若的最小值為1，求實數(shù)的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由函數(shù)是偶函數(shù)根據(jù)即可求出；（2）令，則函數(shù)化為，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)討論對稱軸范圍即可求解.【詳解】解析：（1）顯然定義域為，是偶函數(shù)，，對恒成立，即對任意恒成立，，．（2）由（1）知，，令，則，原函數(shù)變?yōu)椋佼?，即時，，符合題意；②當，即時，，（舍去）；③，即時，，（舍去）．綜上：．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查已知函數(shù)最值求參數(shù)，解題的關(guān)鍵是將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解.20.已知不等式的解集為或．（1）求實數(shù)a，b的值；（2）解關(guān)于x的不等式．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】分析】（1）根據(jù)韋達定理可解；（2）根據(jù)m的范圍分類討論可得.【小問1詳解】因為不等式的解集為或所以，且的兩根為所以，所以【小問2詳解】即①若，則②若，則或③若，當即時，當即時，無解當即時，綜上所述：時，不等式的解集為時，不等式的解集為時，不等式的解集為時，不等式的解集為時，不等式的解集為21.如圖，某街道擬設(shè)立一占地面積為平方米的常態(tài)化核酸采樣點，場地形狀為矩形．根據(jù)防疫要求，采樣點周圍通道設(shè)計規(guī)格要求為：長邊外通道寬5米，短邊外通道寬8米，采樣點長邊不小于20米，至多長28米．（1）設(shè)采樣點長邊為米，采樣點及周圍通道的總占地面積為平方米，試建立關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并指明定義域；（2）當時，試求的最小值，并指出取到最小值時的取值．【答案】（1）（2）當時，S的最小值為，此時;當時，S的最小值為，此時.【解析】【分析】（1）表示出采樣點及周圍通道的長，寬，寫出S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式即可；（2）分兩種情況討論a的取值范圍，當時，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出S的最小值，以及滿足條件的的值；當時，借助于導(dǎo)數(shù)解決問題，求得答案.【小問1詳解】由題意采樣點及周圍通道構(gòu)成的矩形的長是，寬是，故；【小問2詳解】由（1）知，，當時，，當且僅當即時取等號，此時，且滿足，故此時S的最小值為，此時;當時，令，則，由于時，，故，即單調(diào)遞減，故，此時，滿足,故S的最小值為，此時.22.對于定義域為的函數(shù)，如果存在區(qū)間，同時滿足下列兩個條件：①在區(qū)間上是單調(diào)的；②當定義域是時，的值域也是．則稱是函數(shù)的一個“黃金區(qū)間”．（1）請證明：函數(shù)不存在“黃金區(qū)間”．（2）已知函數(shù)在上存在“黃金區(qū)間”，請求出它的“黃金區(qū)間”．（3）如果是函數(shù)的一個“黃金區(qū)間”，請求出的最大值．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）由為上增函數(shù)和方程的解的情況可得證；（2）由可得出，再由二次函數(shù)的對稱軸和方程，可求出函數(shù)的“黃金區(qū)間”；（3）化簡得函數(shù)的單調(diào)性，由已知是方程的兩個同號的實數(shù)根，再由根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系可表示，由或，可得的最大值．【詳解】解：（1）證明：