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§3.3超松弛法定理3.1定理3.2下列三個(gè)命題等價(jià)如果該修正量乘上一個(gè)因子,則有迭代式:

高斯—塞德?tīng)柕ㄊ窃诘幕A(chǔ)上加上一個(gè)修正量,即

時(shí),低(亞)松弛,可使不收斂的迭代收斂;—松弛因子,=1,正好松弛即Seidel方法

時(shí),超松弛,可使迭代的收斂速度加快.統(tǒng)稱超松弛將上式改為若超松弛法的矩陣形式為則超松弛迭代法的迭代矩陣為超松弛迭代法收斂的充要條件是定理3.4SOR方法對(duì)任意都收斂的必要條件是證明

設(shè)為的特征值,則要使超松弛迭代法收斂,必須定理3.5

若系數(shù)矩陣A實(shí)對(duì)稱正定，則超松弛迭代法對(duì)任意都收斂的充要條件是：推論若系數(shù)矩陣A對(duì)稱正定，則線性方程組的Seidel迭代法對(duì)任意收斂。（證略）最佳松弛因子選取問(wèn)題:取何值時(shí),收斂速度最快?例用SOR方法解方程組解

精確解取初始向量SOR迭代公式：(1)取松弛因子計(jì)算結(jié)果為：且迭代次數(shù)k=11當(dāng)取時(shí)，初始向量相同，達(dá)到同樣精度所需要迭代次數(shù)k=22.當(dāng)取時(shí)，初始向量相同，達(dá)到同樣精度，則需要迭代k=33次。對(duì)于此例，最佳松弛因子，即達(dá)到同樣精度所需迭代次數(shù)最少。由此可知，用SOR

方法解線性方程組時(shí)，松弛因子選擇得當(dāng)，常會(huì)使SOR迭代收斂加速。(3)松弛迭代矩陣的譜半徑定理3.9

若系數(shù)矩陣A是三對(duì)角對(duì)稱正定矩陣，有

最佳松弛因子選取問(wèn)題,通常是選取不同的,根據(jù)迭代過(guò)程收斂的快慢,不斷修改,直到滿意為止.(2)最佳松弛因子(例題見(jiàn)教材P90頁(yè))系數(shù)矩陣非奇異時(shí)直接法可求解；迭代法要求aii求不為零。非零元素分布不規(guī)則，階數(shù)很高時(shí),直接法求解時(shí)存儲(chǔ)困難;舍入誤差積累,是近似解，答案不可靠，直接法主要求解階數(shù)不很高的線性方程組.迭代法按某種規(guī)則產(chǎn)生近似解序列{x(k)}，使其極限逼近精確解(好壞主要集中體現(xiàn)在此迭代序列的收斂速度上)算法簡(jiǎn)單，因而編程比較容易.舍入誤差僅積累了最后迭代的誤差缺點(diǎn):要求方程組的系數(shù)矩陣具有某種特殊性質(zhì)，以保證迭代過(guò)程的收斂性(收斂速度)作業(yè)

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