2022-2023學(xué)年江蘇省南京航空航天大學(xué)蘇州附屬中學(xué)高一年級(jí)上冊(cè)學(xué)期12月第二次階段檢測(cè)數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省南京航空航天大學(xué)蘇州附屬中學(xué)高一上學(xué)期12月第二次階段檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．“角小于”是“角是第一象限角”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】利用特殊值法結(jié)合充分、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】若角小于，取，此時(shí)，角不是第一象限角，即“角小于”“角是第一象限角”；若角是第一象限角，取，此時(shí)，，即“角小于”“角是第一象限角”.因此，“角小于”是“角是第一象限角”的既不充分也不必要條件.故選：D.2．已知角的終邊上一點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．以上答案都不對(duì)【答案】C【分析】可由題意，利用坐標(biāo)分別表示出，然后再計(jì)算即可得到答案.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊上一點(diǎn)，所以，，所以.故選：C.3．設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求得，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求得，由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得，即可得到答案.【詳解】由題意，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得且，即，由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得，所以.故選：D.4．已知函數(shù)則方程的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】考慮和兩種情況，代入解方程得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故，解得或（舍去）；當(dāng)時(shí)，，故，解得或（舍去）.綜上所述：或.故選：B5．天文學(xué)中為了衡量星星的明暗程度，古希臘天文學(xué)家喜帕恰斯(，又名依巴谷)在公元前二世紀(jì)首先提出了星等這個(gè)概念.星等的數(shù)值越小，星星就越亮；星等的數(shù)值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度計(jì)在天體光度測(cè)量中的應(yīng)用，英國(guó)天文學(xué)家普森()又提出了衡量天體明暗程度的亮度的概念.天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述.兩顆星的星等與亮度滿足.其中星等為的星的亮度為.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四”的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，則與最接近的是(當(dāng)較小時(shí)，)A．1.24 B．1.25 C．1.26 D．1.27【答案】C【解析】根據(jù)題意，代值計(jì)算，即可得，再結(jié)合參考公式，即可估算出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可得：可得，解得，根據(jù)參考公式可得，故與最接近的是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)運(yùn)算，以及數(shù)據(jù)的估算，屬基礎(chǔ)題.6．已知,,,則的最小值是（

）.A．3 B． C． D．9【答案】A【分析】由已知結(jié)合指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得,從而根據(jù),展開(kāi)后利用基本不等式可得解.【詳解】,,,所以,即,則,當(dāng)且僅當(dāng)且即,時(shí)取等號(hào),則的最小值是3.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及利用基本不等式求解最值,要注意應(yīng)用條件的配湊.屬于中檔題.7．函數(shù)，則的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】判斷奇偶性，再利用函數(shù)值的正負(fù)排除三個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)，得正確結(jié)論．【詳解】，為偶函數(shù)，排除BC，又時(shí)，，時(shí)，，排除A，故選：D．8．設(shè)函數(shù)，有四個(gè)實(shí)數(shù)根，，，，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式研究的性質(zhì)，并畫(huà)出函數(shù)圖象草圖，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合及題設(shè)條件可得、、，進(jìn)而將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化并令，構(gòu)造，則只需研究在上的范圍即可.【詳解】由分段函數(shù)知：時(shí)且遞減；時(shí)且遞增；時(shí)，且遞減；時(shí)，且遞增；∴的圖象如下：有四個(gè)實(shí)數(shù)根，，，且，由圖知：時(shí)有四個(gè)實(shí)數(shù)根，且，又，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：，可得，∴令，且，由在上單增，可知，所以故選：A二、多選題9．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)冪函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷．【詳解】∵，由在上是增函數(shù)，，故A正確；由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)是減函數(shù)，，∴，，即，故B錯(cuò)誤；由是減函數(shù)得，故C正確；，，故D錯(cuò)誤；故選：AC10．以下四個(gè)命題，其中是真命題的有（

）．A．命題“”的否定是“”B．若，則C．函數(shù)且的圖象過(guò)定點(diǎn)D．若某扇形的周長(zhǎng)為6cm，面積為2，圓心角為，則【答案】ACD【分析】對(duì)于A，根據(jù)全稱命題的否定可判斷；對(duì)于B，由不等式的性質(zhì)可判斷；對(duì)于C，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷；對(duì)于D，由扇形的周長(zhǎng)、面積公式計(jì)算可判斷.【詳解】對(duì)于A，由全稱命題的否定，可知選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，若，則，根據(jù)的單調(diào)性，可知，故B不正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故其過(guò)定點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，設(shè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，則有，又，故D正確.故選：ACD11．已知，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】對(duì)于A，由已知等式可判斷，從而可判斷出的范圍，對(duì)于BC，由已知條件結(jié)合可求出，從而可求出的值，對(duì)于D，將的值代入計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于A，由題設(shè)，故A正確；對(duì)于BC，因?yàn)?，，所以，化?jiǎn)得，解得或，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，則，所以B，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由前面的解析可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，所以D正確，故選：AD.12．某學(xué)校為了加強(qiáng)學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，鍛煉學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)的能力，讓學(xué)生以函數(shù)為基本素材，研究該函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，取得部分研究成果如下，其中研究成果正確的是（

）A．函數(shù)的定義域?yàn)?，且是偶函?shù)B．對(duì)于任意的，都有C．對(duì)于任意的a，，都有D．對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，，總滿足【答案】BC【分析】利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)求定義域，由定義判斷奇偶性可知A的正誤；將等式兩邊函數(shù)中自變量代入解析式化簡(jiǎn)整理判斷B、C的正誤；應(yīng)用特殊值：取，代入判斷即可．【詳解】A：由，解得，故的定義域?yàn)椋?，∴為奇函?shù)，故錯(cuò)誤．B：由，，故正確．C：，，∴，故正確．D：取，，則，，∴，故錯(cuò)誤．故選：BC．三、填空題13．請(qǐng)寫出一個(gè)滿足的增函數(shù)______.【答案】（答案不唯一）.【分析】根據(jù)已知條件可結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得答案.【詳解】由題意可知函數(shù)滿足條件，證明：因?yàn)?，所以滿足，函數(shù)在上為增函數(shù)，所以符合條件，故答案為：（答案不唯一）.14．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為常數(shù)），則=_________.【答案】【分析】先由函數(shù)奇偶性，結(jié)合題意求出，計(jì)算出，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則，解得，則，所以，因此.故答案為：.15．已知，且，則______.【答案】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角恒等變換，根據(jù)已知三角函數(shù)值和角的范圍進(jìn)一步細(xì)化角的范圍，再利用同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解.【詳解】，又，所以，又，所以，所以為負(fù)值，所以.故答案為：.16．已知函數(shù)集合，若集合中有3個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】或【分析】令，記的兩根為，由題知的圖象與直線共有三個(gè)交點(diǎn)，從而轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布問(wèn)題，然后可解.【詳解】令，記的零點(diǎn)為，因?yàn)榧现杏?個(gè)元素，所以的圖象與直線共有三個(gè)交點(diǎn)，則，或或當(dāng)時(shí)，得，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，得，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，解得.綜上，t的取值范圍為或.故答案為：或四、解答題17．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)榧系亩x域?yàn)榧希?1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若“”是“”的必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出集合A，B，根據(jù)集合的補(bǔ)集、交集運(yùn)算求解即可；（2）由必要條件轉(zhuǎn)化為集合間的包含關(guān)系，建立不等式求解即可.【詳解】（1）由，解得或，所以．．當(dāng)時(shí)，由，即，解得，所以．所以．（2）由（1）知，．由，即，解得，所以．因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾獥l件，所以．所以，解得．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．18．（1）化簡(jiǎn)：；（2）利用（1）中的函數(shù)圖像，解不等式：；（3）已知關(guān)于的方程的兩根為和，.求實(shí)數(shù)以及的值.【答案】（1）；（2）；（3），.【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式，計(jì)算可得答案.（2）根據(jù)正弦函數(shù)的圖像性質(zhì)，可得的范圍.（3）根據(jù)韋達(dá)定理，以及三角函數(shù)的平方關(guān)系，可列方程求得答案.【詳解】（1）；（2），，得，根據(jù)正弦函數(shù)的圖像性質(zhì)，得到；（3）由，兩根為和，可得，，得，得，可得，；又由，得，故，而，則.19．已知函數(shù)(1)求的最小值及對(duì)應(yīng)的的集合；(2)求在上的單調(diào)遞減區(qū)間；(3)若方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)；(3)；【分析】（1）由已知，可根據(jù)已知的函數(shù)解析式直接求解最小值，以及令求解出的最小值及對(duì)應(yīng)的的集合；（2）可令，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為，先求解函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，然后再令，從而求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）由已知函數(shù)解析式，可畫(huà)出圖像，根據(jù)圖像可直接求解實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由已知，函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為，所以，當(dāng)函數(shù)取得最小值對(duì)應(yīng)的的集合為.（2）因?yàn)楹瘮?shù)，令，因?yàn)?，所以，函?shù)變?yōu)?，因此，函?shù)當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減區(qū)間是，所以，即，所以函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間是.（3）由已知，畫(huà)出函數(shù)的圖像，如下圖所示，方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，此時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍為.20．設(shè)m為實(shí)數(shù)，己知函數(shù)(1)判斷的奇偶性，并給出證明；(2)設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的最大值；(3)若函數(shù)的最小值為，求m的值.【答案】(1)為偶函數(shù)，證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）利用奇偶性的定義即可證明.（2）利用基本不等式即可求得最值.（3）借助換元法即可求得m的值.【詳解】（1）由已知定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，即為偶函數(shù)（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到等號(hào)，即的最大值為（3）令，則，令所以與有相同的最小值當(dāng)時(shí)，，解得當(dāng)時(shí)，，解得，舍去綜上所述，m的值為21．設(shè)為正整數(shù)，已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；(2)求關(guān)于x不等式的解集；(3)若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，比較與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.【答案】(1)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析(2)(3)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，按照取值、作差、變形、定號(hào)、下結(jié)論的步驟即可證明（2）根據(jù)函數(shù)在是單調(diào)遞減的，即可解不等式；（3）首先計(jì)算出的表達(dá)式，利用函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.【詳解】（1）為奇函數(shù)，定義域?yàn)樵O(shè)任意，且，則，，，所以；即在單調(diào)遞減，又為奇函數(shù)，所以在單調(diào)遞減.（2）由可得又因?yàn)?，且在單調(diào)遞減；所以，即所以，不等式的解集為（3）在上單調(diào)遞減，即又因?yàn)椋约?22．對(duì)于函數(shù)，如果對(duì)于定義域中任意給定的實(shí)數(shù)，存在非負(fù)實(shí)數(shù)，使得恒成立，稱函數(shù)具有性質(zhì)．(1)判別函數(shù)，和，是否具有性質(zhì)，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)函數(shù)，，若函數(shù)具有性質(zhì)，求滿足的條件；(3)若函數(shù)的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)，的值域?yàn)?，存在常?shù)且具有性質(zhì)，判別是否具有性質(zhì)，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，不具有性質(zhì)；,具有性質(zhì)(2)(3)具有性質(zhì)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由性質(zhì)的定義，結(jié)合作差法判斷函數(shù)是否具有性質(zhì)即可；（2）根據(jù)已知條件