2023年高考理科圓錐曲線大題

〔新課標(biāo)Ⅰ理數(shù)〕設(shè)圓的圓心為，直線過(guò)點(diǎn)且與軸不重合，交圓于兩點(diǎn)，過(guò)作的平行線交于點(diǎn).〔I〕證明為定值，并寫(xiě)出點(diǎn)的軌跡方程；〔II〕設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線交于兩點(diǎn)，過(guò)且與垂直的直線與圓交于兩點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍.〔新課標(biāo)Ⅱ理數(shù)〕橢圓E:的焦點(diǎn)在軸上，是的左頂點(diǎn)，斜率為的直線交E于兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，.(=1\*ROMANI)當(dāng)，時(shí)，求△的面積；(=2\*ROMANII)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.〔新課標(biāo)Ⅲ理數(shù)〕拋物線的焦點(diǎn)為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于兩點(diǎn).〔I〕假設(shè)在線段上，是的中點(diǎn)，證明；〔II〕假設(shè)的面積是的面積的兩倍，求中點(diǎn)的軌跡方程.〔2023年北京理數(shù)〕橢圓C：的離心率為，的面積為1.〔I〕求橢圓的方程；〔II〕設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)。求證：為定值?！?023年江蘇理數(shù)〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以為圓心的圓及其上一點(diǎn)設(shè)圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；設(shè)平行于的直線與圓相交于兩點(diǎn)，且,求直線的方程；設(shè)點(diǎn)滿足：存在圓上的兩點(diǎn)和,使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍?！?023年山東理數(shù)〕平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C：

的離心率是，拋物線E：的焦點(diǎn)是的一個(gè)頂點(diǎn)?！?1\*ROMANI〕求橢圓的方程；〔=2\*ROMANII〕設(shè)是上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，在點(diǎn)處的切線與交與不同的兩點(diǎn)線段的中點(diǎn)為，直線與過(guò)且垂直于軸的直線交于點(diǎn).〔=1\*romani〕求證：點(diǎn)在定直線上;〔=2\*romanii〕直線與軸交于點(diǎn)，記的面積為，的面積為，求的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).〔2023年上海理數(shù)〕雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線過(guò)且與雙曲線交于兩點(diǎn)。〔1〕假設(shè)的傾斜角為，是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；〔2〕設(shè)，假設(shè)的斜率存在，且，求的斜率.〔2023年四川理數(shù)〕橢圓QUOTEx2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的個(gè)頂點(diǎn)，直線與橢圓〔I〕求橢圓的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；〔II〕設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線平行于與橢圓交于不同的兩點(diǎn)且與直線交于點(diǎn)證明：存在常數(shù)，使得，并求的值.〔2023年天津理數(shù)〕設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為.，其中為原點(diǎn)，為橢圓的離心率.學(xué).科.網(wǎng)〔Ⅰ〕求橢圓的方程；〔Ⅱ〕設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)〔不在軸上〕，垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).假設(shè)，且≤，求直線的斜率的取值范圍.〔2023年浙江理數(shù)〕如圖，設(shè)橢圓〔Ⅰ〕求直線被橢圓截得到的弦長(zhǎng)〔用表示〕〔Ⅱ〕假設(shè)任意以點(diǎn)為圓心的圓與橢圓至多有三個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.答案因?yàn)?，，故，所以，?又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，從而，所以.由題設(shè)得，，，由橢圓定義可得點(diǎn)的軌跡方程為：〔〕.〔Ⅱ〕當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)的方程為，，.由得.那么，.所以.過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線：，到的距離為，所以.故四邊形的面積.可得當(dāng)與軸不垂直時(shí)，四邊形面積的取值范圍為.當(dāng)與軸垂直時(shí)，其方程為，，，四邊形的面積為12.綜上，四邊形面積的取值范圍為.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】試題分析：(Ⅰ)先求直線的方程，再求點(diǎn)的縱坐標(biāo)，最后求的面積；(Ⅱ)設(shè)，，將直線的方程與橢圓方程組成方程組，消去，用表示，從而表示，同理用表示，再由求.試題解析：(I)設(shè)，那么由題意知，當(dāng)時(shí)，的方程為，.由及橢圓的對(duì)稱性知，直線的傾斜角為.因此直線的方程為.將代入得.解得或，所以.因此的面積.(II)由題意，，.將直線的方程代入得.由得，故.由題設(shè)，直線的方程為，故同理可得，由得，即.當(dāng)時(shí)上式不成立，因此.等價(jià)于，即.由此得，或，解得.因此的取值范圍是.解：由題設(shè).設(shè)，那么，且.記過(guò)兩點(diǎn)的直線為，那么的方程為......3分〔Ⅰ〕由于在線段上，故.記的斜率為，的斜率為，那么.所以.......5分〔Ⅱ〕設(shè)與軸的交點(diǎn)為，那么.由題設(shè)可得，所以〔舍去〕，.設(shè)滿足條件的的中點(diǎn)為.當(dāng)與軸不垂直時(shí)，由可得.而，所以.當(dāng)與軸垂直時(shí)，與重合.所以，所求軌跡方程為.....12分解：〔Ⅰ〕由題意得解得.所以橢圓的方程為.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，，設(shè)，那么.當(dāng)時(shí)，直線的方程為.令，得.從而.直線的方程為.令，得.從而.所以.當(dāng)時(shí)，，所以.綜上，為定值.解：圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心M(6，7)，半徑為5,.〔1〕由圓心N在直線x=6上，可設(shè).因?yàn)閳AN與x軸相切，與圓M外切，所以，于是圓N的半徑為，從而，解得.因此，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)因?yàn)橹本€OA，所以直線l的斜率為.設(shè)直線l的方程為y=2x+m，即2x-y+m=0，那么圓心M到直線l的距離因?yàn)槎?，解得m=5或m=-15.故直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)設(shè)因?yàn)?所以……①因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓M上，所以…….②將①代入②，得.于是點(diǎn)既在圓M上，又在圓上，從而圓與圓有公共點(diǎn)，所以解得.因此，實(shí)數(shù)t的取值范圍是.〔Ⅰ〕由題意知，可得：.因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以，所以橢圓C的方程為.〔Ⅱ〕〔i〕設(shè)，由可得，所以直線的斜率為，因此直線的方程為，即.設(shè)，聯(lián)立方程得，由，得且，因此,將其代入得，因?yàn)?，所以直線方程為.聯(lián)立方程，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即點(diǎn)在定直線上.〔ii〕由〔i〕知直線方程為，令得，所以，又，所以，，所以，令，那么，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，此時(shí)，滿足，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，因此的最大值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.由題意，，，，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，即，解得．故雙曲線的漸近線方程為．〔2〕由，，．設(shè)，，直線．顯然．由，得．因?yàn)榕c雙曲線交于兩點(diǎn)，所以，且．設(shè)的中點(diǎn)為．由即，知，故．而，，，所以，得，故的斜率為．〔=1\*ROMANI〕由，，那么橢圓E的方程為.有方程組得.=1\*GB3①方程=1\*GB3①的判別式為，由，得，此時(shí)方程=1\*GB3①的解為，所以橢圓E的方程為.點(diǎn)T坐標(biāo)為〔2,1〕.〔=2\*ROMANII〕由可設(shè)直線的方程為，有方程組可得所以P點(diǎn)坐標(biāo)為〔〕，.設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為.由方程組可得.=2\*GB3②方程=2\*GB3②的判別式為，由，解得.由=2\*GB3②得.所以，同理，所以.故存在常數(shù)，使得.【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕【解析】試題分析：〔Ⅰ〕求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只需確定量，由，得，再利用，可解得，〔Ⅱ〕先化簡(jiǎn)條件：，即M再OA中垂線上，，再利用直線與橢圓位置關(guān)系，聯(lián)立方程組求；利用兩直線方程組求H，最后根據(jù)，列等量關(guān)系解出直線斜率.取值范圍試題解析：〔1〕解：設(shè)，由，即，可得，又，所以，因此，所以橢圓的方程為.〔2〕〔Ⅱ〕解：設(shè)直線的斜率為〔〕，那么直線的方程為.設(shè)，由方程組，消去，整理得.解得，或，由題意得，從而.由〔Ⅰ〕知，，設(shè)，有，.由，得，所以，解得.因此直線的方程為.設(shè)，由方程組消去，解得.在中，，即，化簡(jiǎn)得，即，解得或.所以，直線的斜率的取值范圍為.〔I〕設(shè)直線被橢圓截得的線段為，由得，故，．因此．〔II〕假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有個(gè)，由