2014屆高考數(shù)學(xué)(文)一輪復(fù)習(xí)課件：選修4-1 第2講直線與圓的位置關(guān)系

第2講 直線與圓的位置關(guān)系

不同尋常的一本書(shū)，不可不讀喲！1.會(huì)證明并應(yīng)用圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理．2.會(huì)證明并應(yīng)用相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理、切割線定理.5種必會(huì)作法與圓有關(guān)的輔助線的五種作法：①有弦，作弦心距；②有直徑，作直徑所對(duì)的圓周角；③有切點(diǎn)，作過(guò)切點(diǎn)的半徑；④兩圓相交，作公共弦；⑤兩圓相切，作公切線．2項(xiàng)必須注意1.應(yīng)用相交弦定理、切割線定理要抓住幾個(gè)關(guān)鍵內(nèi)容：如線段成比例與相似三角形、圓的切線及其性質(zhì)、與圓有關(guān)的相似三角形等．2.圓冪定理與圓周角、弦切角聯(lián)合應(yīng)用時(shí)，要注意找相等的角，找相似三角形，從而得出線段的比．由于圓冪定理涉及圓中線段的數(shù)量計(jì)算，所以應(yīng)注意代數(shù)法在解題中的應(yīng)用．3個(gè)必記結(jié)論1.切點(diǎn)與圓心的連線與圓的切線垂直；過(guò)切點(diǎn)且與圓的切線垂直的直線過(guò)圓心．2.相離兩圓的內(nèi)公切線夾在公切線間的線段長(zhǎng)等于兩圓外公切線的長(zhǎng)．3.假設(shè)兩點(diǎn)在一條線段同側(cè)且對(duì)該線段張角相等，那么此兩點(diǎn)與線段兩個(gè)端點(diǎn)共圓，特別地，對(duì)定線段張角為直角的點(diǎn)共圓.課前自主導(dǎo)學(xué)1.圓周角定理、圓心角定理、弦切角定理(1)圓周角定理圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的________的一半．(2)圓心角定理圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的________．推論1：同圓或等圓中同弧或等弧所對(duì)的________相等，相等的________所對(duì)的弧也相等．推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是________；90°的圓周角所對(duì)的弦是________．(3)弦切角定理弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的________．推論：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的________．“相等的圓周角所對(duì)的弧相等〞對(duì)嗎？(2)如圖，CD是⊙O的直徑，AE切圓O于點(diǎn)B，連接DB，假設(shè)∠D＝20°，那么∠DBE的大小為_(kāi)_______．2．圓內(nèi)接四邊形的判定定理和性質(zhì)定理定理(或推論)內(nèi)容判定定理如果一個(gè)四邊形的對(duì)角________，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓判定定理的推論如果四邊形的一個(gè)外角等于它的______，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓性質(zhì)定理圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角________圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的________任意一個(gè)四邊形是否有外接圓，三角形呢？如圖，在⊙O中，∠CBE是圓內(nèi)接四邊形ABCD的一個(gè)外角，∠ADC＝120°，那么∠CBE＝________，∠ABC＝________.3.圓的切線定義、定理及推論內(nèi)容定義如果一條直線與一個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，那么這條直線叫做這個(gè)圓的________，公共點(diǎn)叫做________判定定理經(jīng)過(guò)半徑的________并且垂直于這條半徑的直線是圓的________性質(zhì)定理圓的切線________經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑性質(zhì)定理的推論經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)________經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)________如圖，在以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦BC與小圓相切于點(diǎn)A，假設(shè)BC＝6，那么由這兩個(gè)同心圓所構(gòu)成的圓環(huán)的面積為_(kāi)_______．4．直線與圓位置關(guān)系的有關(guān)定理定理內(nèi)容切割線定理從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的______相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的________相等割線定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的________相等切線長(zhǎng)定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的________相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角(1)如圖，弦AB與CD相交于P點(diǎn)，PA＝4，PB＝2，那么PC·PD＝________.(2)如圖，PE是⊙O的切線，PAB與PCD是⊙O的割線，PA＝AB＝1，那么PE＝________，PC·PD＝________.1.圓心角度數(shù)圓周角圓周角直角直徑圓周角一半想一想：提示：只有同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧才相等．填一填：(1)100°(2)70°2．互補(bǔ)內(nèi)角對(duì)角互補(bǔ)對(duì)角想一想：提示：任意一個(gè)四邊形不一定有外接圓，但一個(gè)三角形一定有外接圓，并且外接圓唯一．核心要點(diǎn)研究例1[2021·遼寧高考]如圖，A，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上，AD的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，且EC＝ED.(1)證明：CD∥AB；(2)延長(zhǎng)CD到F，延長(zhǎng)DC到G，使得EF＝EG，證明：A，B，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓．[審題視點(diǎn)]

(1)結(jié)合圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)可證CD∥AB.(2)證出四邊形ABGF對(duì)角互補(bǔ)，即可證出四點(diǎn)共圓．[證明]

(1)因?yàn)镋C＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因?yàn)锳、B、C、D四點(diǎn)在同一圓上，所以∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知，AE＝BE.因?yàn)镋F＝EG，故∠EFD＝∠EGC，從而∠FED＝∠GEC.連接AF，BG，那么△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓．證明四點(diǎn)共圓的主要方法是利用其判定定理及推論，即通過(guò)證明四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)或一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角實(shí)現(xiàn)．[變式探究][2021·泰興模擬]如圖，AP是⊙O的切線，P為切點(diǎn)，AC是⊙O的割線，與⊙O交于B、C兩點(diǎn)，圓心O在∠PAC的內(nèi)部，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)．(1)證明：A，P，O，M四點(diǎn)共圓；(2)求∠OAM＋∠APM的大?。猓?1)證明：連接OP，OM，因?yàn)锳P與⊙O相切于點(diǎn)P，所以O(shè)P⊥AP.因?yàn)镸是⊙O的弦BC的中點(diǎn)，所以O(shè)M⊥BC.于是∠OPA＋∠OMA＝180°，由圓心O在∠PAC的內(nèi)部，可知四邊形APOM的對(duì)角互補(bǔ)，所以A，P，O，M四點(diǎn)共圓．(2)解：由(1)得A，P，O，M四點(diǎn)共圓，所以∠OAM＝∠OPM.由(1)得OP⊥AP.由圓心O在∠PAC的內(nèi)部，可知∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.例2[2021·銀川模擬]如下圖，AB為⊙O的直徑，BC、CD為⊙O的切線，B、D為切點(diǎn)．(1)求證：AD∥OC；(2)假設(shè)⊙O的半徑為1，求AD·OC的值．[解](1)證明：如圖，連接BD、OD.∵CB、CD是⊙O的兩條切線，∴BD⊥OC.∴∠2＋∠3＝90°.又AB為⊙O直徑，∴AD⊥DB，∠1＋∠2＝90°.∴∠1＝∠3，∴AD∥OC.(2)∵AO＝OD，那么∠1＝∠A＝∠3，∴Rt△BAD∽R(shí)t△COD，AD·OC＝AB·OD＝2.奇思妙想：在本例中，假設(shè)AD·OC的值是4，求⊙O的半徑．解：∵AO＝OD，∴∠1＝∠A.∵∠1＝∠3，∴∠A＝∠3.∵∠BDA＝∠CDO＝90°，∴Rt△BAD∽R(shí)t△COD.在解有關(guān)切線問(wèn)題的題目時(shí)，從以下幾個(gè)方面進(jìn)行思考：(1)見(jiàn)到切線，要想到它垂直于過(guò)切點(diǎn)的半(直)徑；(2)假設(shè)過(guò)切點(diǎn)有垂線，那么必過(guò)圓心；(3)過(guò)切點(diǎn)假設(shè)有弦，那么想弦切角定理；(4)假設(shè)切線與一條割線相交，那么想切割線定理；(5)假設(shè)有兩條切線相交，那么想切線長(zhǎng)定理，并要熟悉這里存在一個(gè)以交點(diǎn)和圓心連線為對(duì)稱軸的對(duì)稱圖形．[變式探究]如圖，圓O的直徑AB＝6，C為圓周上一點(diǎn)，BC＝3，過(guò)點(diǎn)C作圓O的切線l，過(guò)點(diǎn)A作l的垂線AD，D為垂足，且AD與圓O交于點(diǎn)E，求∠DAC的大小與線段AE的長(zhǎng)．[審題視點(diǎn)]此題條件中，直線CD為 圓的切線，故考慮利用切割定理建立等量 關(guān)系，再化簡(jiǎn)證之．涉及與圓有關(guān)的成比例線段或等積線段(有時(shí)需轉(zhuǎn)化為成比例的線段)的證明，①利用相似三角形的性質(zhì)在相似三角形中尋找比例線段．②利用相交弦定理、切割線定理證明線段成比例，在實(shí)際應(yīng)用中，一般涉及兩條相交弦應(yīng)首先考慮相交弦定理，涉及兩條割線就要想到割線定理，見(jiàn)到切線和割線時(shí)要注意應(yīng)用切割線定理．③利用角平分線對(duì)邊成比例．[變式探究][2021·揭陽(yáng)模擬]如圖，過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A的圓與邊BC切于點(diǎn)P，與邊AB、AC分別交于點(diǎn)M、N，且CN＝2BM，點(diǎn)N、P分別為AC、BC的中點(diǎn)．求證：AM＝7BM.解析：由切割線定理，得BP2＝BM·BA，CP2＝CN·CA.因?yàn)镻是BC的中點(diǎn)，所以BM·BA＝CN·CA.又點(diǎn)N是AC的中點(diǎn)，所以BM·(BM＋AM)＝2CN2.又因?yàn)镃N＝2BM，所以BM·(BM＋AM)＝8BM2，所以AM＝7BM.經(jīng)典演練提能1.[2021·湖北高考]如圖，點(diǎn)D在⊙O的弦AB上移動(dòng)，AB＝4，連接OD，過(guò)點(diǎn)D作OD的垂線交⊙O于點(diǎn)C，那么CD的最大值為_(kāi)_______．答案：2解析：連接OC，那么OD⊥CD知，OD2＋CD2＝OC2.要使CD最大，那么OD最??；當(dāng)OD⊥AB時(shí)，OD最小，此時(shí)CD＝2.2.[2021·陜西高考]如圖，在圓O中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E，EF⊥DB，垂足為F，假設(shè)AB＝6，AE＝1，那么DF·DB＝________.答案：5解析：由三角形相似可得DE2＝DF·DB，連接AD，那么DE2＝AE·EB＝1×5＝5.所以DF·DB＝5.3.[2021·廣東高考]如以下圖所示，直線PB與圓O相切于點(diǎn)B，D是弦AC上的點(diǎn)，∠PBA＝∠DBA.假設(shè)AD＝m，AC＝n，那么AB＝________.4.[2021·江蘇高考]如圖，AB是圓O的直徑，D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連接BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)C，使BD＝DC，連接AC，AE，DE.求證：