直線與平面平面與平面垂直的性質(zhì)

關(guān)于直線與平面平面與平面垂直的性質(zhì)第一頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日思考:1.已知直線和平面,如果,那么的位置關(guān)系如何?2.設(shè),且那么直線AB與平面的位置關(guān)系如何?3.設(shè)平面垂直平面,點(diǎn)P在平面內(nèi),過(guò)點(diǎn)P作平面

的垂線,直線與平面具有什么位置關(guān)系?第二頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日線面、面面垂直的性質(zhì)定理

1．線面垂直性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行(線面垂直→線線平行)．

2．面面垂直性質(zhì)定理①：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直．用符號(hào)語(yǔ)言表示為：若α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l，則a⊥β(面面垂直→線面垂直)．

3．面面垂直性質(zhì)定理②：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線必在第一個(gè)平面內(nèi)．第三頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日直線與平面垂直的性質(zhì)定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用例1：如圖

1，在四面體P－ABC中，若PA⊥BC，PB⊥AC，求證：PC⊥AB.圖1第四頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日思維突破：要證線線垂直，可先證線面垂直，進(jìn)而由線面垂直的定義得出線線垂直．證明：過(guò)P作PH⊥平面ABC，垂足為H，連接AH、BH和CH.∵PA⊥BC,PH⊥BC，PA∩PH＝P，∴BC⊥平面PAH.又AH?平面PAH，∴BC⊥AH.同理AC⊥BH，即H為△ABC的垂心，∴AB⊥CH.∵PH⊥AB，CH∩PH＝H，∴AB⊥平面PCH.∵PC?平面PCH，∴PC⊥AB.點(diǎn)評(píng)：從本例可以進(jìn)一步體會(huì)線面位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化在解(證)題中的作用．第五頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日1－1.已知a、b是兩條不同的直線，α、β為兩個(gè)不同的平面，a⊥α，b⊥β，則下列命題中不正確的是()BA．若a與b相交，則α與β相交B．若α與β相交，則a與b相交C．若a∥b，則α∥βD．若α⊥β，則a⊥b解析：α與β相交，a與b可能是異面直線．1－2.α、β是兩個(gè)不同的平面，m、n是α、β之外的兩條不同的直線，給出以下四個(gè)論斷：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題___________.①③④→②解析：答案不唯一，如：②③④→①也正確．第六頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D2證明：作AH⊥SB于H.∵平面SAB⊥平面SBC，∴AH⊥平面SBC.∴AH⊥BC.又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.又∵AH∩SA＝A，∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AB.面面垂直→線面垂直．平面與平面垂直的性質(zhì)定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用例2：如圖

2，在三棱錐S－ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求證：AB⊥BC.第七頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日2－1.如圖3，四棱錐V－ABCD的底面為矩形，側(cè)面VAB⊥底面ABCD，且VB⊥平面VAD.求證：平面VBC⊥平面VAC.圖3證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴BC⊥AB.又∵面VBA⊥面ABCD，面VBA∩面ABCD＝AB，∴BC⊥面VAB.∴BC⊥VA.∵VB⊥面VAD，∴VB⊥VA.∵VB∩BC＝B，∴VA⊥面VBC.又∵VA?面VAC，∴面VBC⊥面VAC.第八頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日面面垂直的綜合應(yīng)用例3：如圖

4，已知矩形ABCD，過(guò)A作SA⊥平面AC，AE⊥SB于E點(diǎn)，過(guò)E作EF⊥SC于F點(diǎn)．(1)求證：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于G，求證：AG⊥SD.圖4證明：(1)∵SA⊥平面AC，BC?平面AC，∴SA⊥BC.∵四邊形ABCD是矩形，∴AB⊥BC.∴BC⊥平面SAB.又AE?平面SBC，∴BC⊥AE.第九頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC.∴AE⊥SC.又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF，∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面AC，DC?平面AC，∴SA⊥DC.又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD.又AG?平面SAD，∴DC⊥AG.又由(1)有SC⊥平面AEF，AG?平面AEF，∴SC⊥AG，且SC∩DC＝C，∴AG⊥平面SDC.∴AG⊥SD.第十頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日3－1.已知PA⊥矩形ABCD所在平面，平面PDC與平面ABCD成45°角，M、N分別為AB、PC的中點(diǎn)．求證：平面MND⊥平面PDC.圖5證明：如圖5，設(shè)E為PD中點(diǎn)，連接AE、EN，∵M(jìn)、N

分別為AB、PC中點(diǎn)，

∴EN∥DC∥AB，∴四邊形AMNE為平行四邊形，∴MN∥AE.第十一頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日∴DC⊥AE，DC⊥PD，∴∠PDA是二面角P－DC－A的平面角．∵PDA＝45°，又PA⊥AD，∴∠APD＝45°，△PAD是等腰直角三角形．∵E為PD的中點(diǎn)，∴AE⊥PD.又∵DC⊥AE，∴AE⊥平面PDC.又MN∥AE，∴MN⊥平面PDC.∴平面MND⊥平面PDC.∵PA⊥矩形ABCD所在的平面，∴PA⊥DC，PA⊥AD.又∵DC⊥AD，∴DC⊥平面PAD，而AE?平面PAD.第十二頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日例4：證明：如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線垂直于第三個(gè)平面．證法一：如圖5，在γ內(nèi)取一點(diǎn)P，作PA垂直α與γ的交線于A，再作PB垂直β與γ的交線于B，則PA⊥α，PB⊥β.∵l＝α∩β，∴l(xiāng)⊥PA，l⊥PB.∵α與β相交，∴PA與PB相交．又PA?γ，PB?γ，∴l(xiāng)⊥γ.圖5第十三頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D6

證法二：如圖6，在α內(nèi)作直線m垂直于α與γ的交線，在β內(nèi)作直線n垂直于β與γ的交線， ∵α⊥γ，β⊥γ， ∴m⊥γ，n⊥γ.

∴m∥n.又n?β， ∴m∥β，∴m∥l，∴l(xiāng)⊥γ.第十四頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日證法三：如圖7，在l上取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作γ的垂線l′，但α∩β＝l，∴l(xiāng)與l′重合，∴l(xiāng)⊥γ.圖7第十五頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日

點(diǎn)評(píng)：證法一、證法二都是利用“兩平面垂直時(shí)，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于兩平面的交線的直線垂直于另一個(gè)平面”這一性質(zhì)，添加了在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線這樣的輔助線．這是證法一、證法二的關(guān)鍵．

證法三是利用“如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線，在第一個(gè)平面內(nèi)”這一性質(zhì)，添加了l′這條輔助線，這是證法三的關(guān)鍵． 通過(guò)此例，體會(huì)兩平面垂直時(shí)，添加輔助線的方法．第十六頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日1．下面四個(gè)命題，其中真命題的個(gè)數(shù)為()B

①如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，那么這條直線和這個(gè)平面垂直；②過(guò)空間一點(diǎn)有且只有一條直線和已知平面垂直；③一條直線和一個(gè)平面不垂直，這