《牛吃草問題》五(1)PPT

牛吃草問題

鄭航附小劉

由于牛在吃草的過程中，草是不斷生長的，所以解決消長問題的重點(diǎn)是要想辦法從變化中找到不變量。牧場上原有的草是不變的，新長的草雖然在變化，但由于是勻速生長，所以每天新長出的草量應(yīng)該是不變的。正是由于這個不變量，才能夠?qū)С錾厦娴乃膫€基本公式。牛吃草問題的公式

解決牛吃草問題常用到四個基本公式，分別是︰假設(shè)定一頭牛一天吃草量為“1”

1）草的生長速度＝（對應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較多天數(shù)－相應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較少天數(shù)）÷（吃的較多天數(shù)－吃的較少天數(shù)）；2）原有草量＝牛頭數(shù)×吃的天數(shù)－草的生長速度×吃的天數(shù)；`3）吃的天數(shù)＝原有草量÷（牛頭數(shù)－草的生長速度）；4）牛頭數(shù)＝原有草量÷吃的天數(shù)＋草的生長速度。這四個公式是解決消長問題的基礎(chǔ)。導(dǎo)入：“一堆草可供10頭牛吃3天，這堆草可供6頭牛吃幾天？”這道題太簡單了，同學(xué)們一下就可求出：3×10÷6＝5（天）。如果我們把“一堆草”換成“一片正在生長的草地”，問題就不那么簡單了，因?yàn)椴菝刻於荚谏L，草的數(shù)量在不斷變化。這類工作總量不固定（均勻變化）的問題就是牛吃草問題，牛吃草問題是牛頓問題的俗稱。英國大數(shù)學(xué)家牛頓曾編過這樣一道數(shù)學(xué)題：牧場上一片青草，每天牧草都勻速生長。這片牧草可供10頭牛吃20天，或者可供15頭牛吃10天。問：可供25頭牛吃幾天？

假設(shè)每頭牛每天吃草1份.

10頭牛20天:10×20＝200份

15頭牛10天:15×10＝150份

草場每天長草：(200－150)÷﹙20－10﹚＝5份

草場原來有草：200－5×20＝100份

讓5頭牛吃新草，則余25-5=20頭牛吃老草，100÷29＝5（天）答：25頭牛,這片牧草5天正好被吃完.

在例1的解法中要注意三點(diǎn)：（1）每天新長出的草量是通過已知的兩種不同情況吃掉的總草量的差及吃的天數(shù)的差計算出來的。（2）在已知的兩種情況中，任選一種，假定其中幾頭牛專吃新長出的草，由剩下的牛吃原有的草，根據(jù)吃的天數(shù)可以計算出原有的草量。（3）在所求的問題中，讓幾頭牛專吃新長出的草，其余的牛吃原有的草，根據(jù)原有的草量可以計算出能吃幾天。

1.一牧場上的青草每天都勻速生長。這片青草可供27頭牛吃6周或供23頭牛吃9周。那么，可供21頭牛吃幾周？假設(shè)1頭牛一周吃的草的數(shù)量為1份27頭牛6周需要吃:27×6=162（份）23頭牛9周需吃:23×9=207（份）每周新長出來的草的份數(shù)為：（207－162）÷（9－6）=15（份）原有草的數(shù)量為：162－15×6=72（份）這片草地可供21頭牛吃：72÷（21－15)=12（周）

2、一片牧場長滿草，每天均速生長。這片牧場可供5頭牛吃8天，可供14頭牛吃2天，問可供10頭牛吃幾天？設(shè)1頭牛1天吃的草為1份牧場上的草每天自然生長:（8×5-14×2）÷（8-2）=2（份）原來牧場有草:5×8-2×8=24（份）讓2頭牛去吃新草可供10頭牛吃:24÷（10-2）=3（天）.

3、一片牧草，每天生長的速度相同，這片牧草可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天，可供30頭牛吃多少天？假設(shè)每頭牛每天吃草1份.

10頭牛20天:10×20＝200份

15頭牛10天:15×10＝150份

草場每天長草：50÷﹙20－10﹚＝5份草場原來有草：200－5×20＝100份

讓5頭牛吃新草，則余30-5=25頭牛吃老草，100÷25＝4（天）答：30頭牛,這片牧草4天正好被吃完.

5、草場上的草勻速生長，每人每天的割草量相等．一片草若用17人去割，30天可以割完；若用19人去割，則只需24天就能割完．現(xiàn)在需要6天將草割完，至少要多少個人？設(shè)每人每天割草1份，

17人去割30天：17×30=510

19人去割24天：19×24=456

草每天生產(chǎn)量：（510-456）÷（30-24）=9（份）

原有草=510-30×9=240（份）

6天需要的人數(shù)：（240+6×9）÷6=49（人）

答：至少要49個人．6、有一塊牧場，可供10頭牛吃20天，15頭牛吃10天，則它可供25頭牛吃多少天？

設(shè)一頭牛每天吃一份.

每天新增草量：(10×20-15×10)÷(20-10)=5份

原有草量：(10-5)×20=100份

可供25頭牛吃：100÷(25-5)=5（天）7、一片牧場,24頭牛,6天可以將草吃完.21頭牛,8天可以吃完.若有16頭牛,則幾天可以將草吃完?

(草每天增長的量是相等的,每頭牛吃草的量也是相等）

24頭牛6天所吃的牧草為：24×6＝144

21頭牛8天所吃的牧草為：21×8＝168

1天新長的草為：（168－144）÷（8－6）＝12

牧場上原有的草為：24×6－12×6＝72

每天新長的草足夠12頭牛吃,16頭牛減去12頭,剩下4頭吃原牧場的草：

72÷（16－12）＝72÷4＝18（天）8、一片牧場,24頭牛,6天可以將草吃完.21頭牛,8天可以吃完.要使牧場草永遠(yuǎn)吃不完,至多可以放牧幾頭牛吃完牧草（草每天增長的量是相等的,每頭牛吃草的量也是相等）

24頭奶牛6天吃的草量：24×6=144（份）

21頭8天吃完的草量：21×8=168（份）每天新長的草量：（168-144）÷（8-6）=12（份）要使牧場的草永遠(yuǎn)吃不完,最多放養(yǎng)12頭奶牛.

9、假設(shè)地球上新生成的資源的增長速度是一定的，照此測算，地球上資源可供110億人生活90年，或90億人生活210年，為使人類能不斷繁衍，那么地球上最多能養(yǎng)活多少人？

設(shè)每1億人，每年消耗資源為1份10億人90年消耗資源：110×90=9900份90億人210年消耗資源為：90×210=18900份

每年新生資源：（18900-9900）÷（210-90）=75份為使人類能夠不斷繁衍，那么每年消耗的資源數(shù)量不能超過再生的資源數(shù)量所以地球最多能養(yǎng)活75億人

10、由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長，反而以固定的速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天。照此計算，可供多少頭牛吃10天？設(shè)1頭牛1天吃的草為1份原草—5天枯萎的草：20×5=100（份）原草—6天枯萎的草：15×6=90（份）牧場1天減少的草：（100-90）÷（6-5）=10（份）“草地上的草可供20頭牛吃5天”，再加上“寒冷”代表的10頭牛同時在吃草，所以牧場原有草原草：100+10×5=150（份）幾頭牛吃10天：（150-10×10）÷10=5（頭）或由150÷10＝15知，牧場原有草可供15頭牛吃10天，寒冷占去10頭牛，所以，15-10=5（頭）可供5頭牛吃10天13、某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊(duì)，每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多。從開始檢票到等候檢票的隊(duì)伍消失，同時開4個檢票口需30分鐘，同時開5個檢票口需20分鐘。如果同時打開7個檢票口，那么需多少分鐘？

分析與解：等候檢票的旅客人數(shù)在變化，“旅客”相當(dāng)于“草”，“檢票口”相當(dāng)于“牛”，可以用牛吃草問題的解法求解。設(shè)1個檢票口1分鐘檢票的人數(shù)為1份。原來等待的人+30分鐘新進(jìn)的人：4×30=120份原來等待的人+20分鐘新進(jìn)的人：5×20=100份每分鐘新來旅客：（120-100）÷（30-20）=2（份）。原來等待的人：120-2×30=60（份）假設(shè)讓2個檢票口專門通過新來的旅客，兩相抵消，其余的檢票口通過原來的旅客，可以求出時間60÷（7-2）=12（分鐘）。17、由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定的速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天。照此計算，可供多少頭牛吃10天？:設(shè)1頭牛1天吃的草為1份。20頭牛5天吃100份，15頭牛6天吃90份，100-90=10（份），說明寒冷使牧場1天減少青草10份，也就是說，寒冷相當(dāng)于10頭牛在吃草。由“草地上的草可供20頭牛吃5天”，再加上“寒冷”代表的10頭牛同時在吃草，所以牧場原有草（20＋10）×5＝150（份）。由150÷10＝15知，牧場原有草可供15頭牛吃10天，寒冷占去10頭牛，所以，可供5頭牛吃10天。18、陜北某村有一草地，假設(shè)每天草都均勻生長，這片草地經(jīng)過測算可供100只羊吃200天，或可供150只羊吃100天，問：如果放牧250只羊可以吃多少天？放牧這么多羊?qū)?？為防止草地沙化，這片草地最多可以放牧多少只羊？18、根據(jù)題意可得：每只羊每天吃草量為1份；

新生草量：（100×200-150×100）÷（200-100）=50（份）；

原有草量：100×200-50×200=10000（份）；

250只羊可吃：10000÷（250-50）=50（天）；

放牧這么多羊不對．

最多放牧50只羊，因?yàn)槊刻煨略霾?0份，剛好夠50只羊吃．

答：如果放牧250只羊可以吃50天，放牧這么多羊不對，為防止草場沙化，這片草場最多可以放牧50只羊．

答：50，不對，50

19、有一片牧場，草地上的草每天生長速度相同，已知這片青草可供15頭牛吃20天，或者供76只羊吃12天。如果一頭牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么8頭牛與64頭羊一起吃，可以吃多少天？20、

有一片青草，每天生長的速度相同，已知這片草地可供16頭牛吃20天，或者可供80頭羊吃12天，如果一頭牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么10頭牛與60只羊一起吃，可以吃多少天？20、解：一頭牛一天吃的草量看作“1份‘

20天吃了的總草量是16×20=320份

12天吃了的總草量是80÷4×12=240份

草的生長速度是

（320-240）÷（20天-12天）=10份/天

（意思是每天新長出的草可供10頭牛吃）

原來有的草量：320-10×20=120份

10+60÷4=25牛

10牛60羊相當(dāng)于25頭牛,吃草可以這樣安排：

其中的10頭牛吃每天新長的草,

剩下的25-10=15頭牛吃原來就有的草

可以吃120÷（25-10）=8天.

答：10牛60羊可吃8天

（補(bǔ)充說明：8天以后,