第五節(jié) 綜合與提高

第五節(jié)綜合與提高對于一個階數(shù)比較高的行列式，利用定義求值或利用行列式按行(列)展開法則求值都不是一種可行的方法。誠如前面所指出的，計算一個n階行列式就要作n!次乘法。當(dāng)n增大時，n!的增長是非?？斓模?，18!6.41015。假定計算機(jī)作一次乘運(yùn)算的時間是百萬分之一秒，則通過反復(fù)使用行列式按行(列)展開法則并用這種計算機(jī)求一個18階行列式的值需要的時間(以每天工作八小時計算)竟多達(dá)200年！這就說明為一般地解決行列式的求值問題，必須利用行列式性質(zhì)發(fā)展有效的計算方法，對各個具體問題還要善于發(fā)現(xiàn)和利用其特點(diǎn)以簡化手續(xù)。本節(jié)例析幾種常用的行列式值的求法，最后介紹行列式的簡單應(yīng)用。行列式值的求法下面通過例子說明幾種常用的求解行列式的方法。1、利用行列式性質(zhì)把行列式化成等值的三角形行列式進(jìn)行計算.

例1計算行列式解解這個行列式的特點(diǎn)是各列n個元素之和都為x+(n1)a。今把后n1行同時加到第1行，提出公因子x+(n1)a，然后各行減去第1行的a倍：例2計算行列式2、利用行列式性質(zhì)降階計算

這種方法的基本思想是利用行列式的性質(zhì)6將行列式的一行(或一列)的n1個元素法變成零，然后按該行（或該列）展開，從而將一個n階行列式化成一個n1階行列式進(jìn)行求解。例3計算行列式解我們保留，將第3行的其余元素變?yōu)?，然后按第3行展開：3、建立遞推關(guān)系進(jìn)行計算在行列式計算中，建立遞推關(guān)系再行求解，也是一種有用的技巧。當(dāng)然，發(fā)現(xiàn)遞推關(guān)系需要經(jīng)驗，也可能要費(fèi)一番功夫。例4計算行列式

解可以看出按第1行展開，有對兩個（2n1）階行列式各按最后一列展開，得這是一個遞推公式，而，故

例5證明范德蒙(Vandermonde)行列式解顯然可以看出

但在嘗試建立與的遞推關(guān)系時卻無從下手。我們采用另一種做法：從最后一行開始，每行減去上一行的倍，可得：這就得到了遞推關(guān)系，反復(fù)使用，得4、行列式在幾何上的應(yīng)用a.求過平面上兩點(diǎn)的直線方程設(shè)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)為平面上兩點(diǎn)，顯然，過這兩點(diǎn)的直線方程為：將該方程變形為：，即設(shè)P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2)、P3(x3,y3,z3)為空間上不在同一直線上的三點(diǎn)，則P1、P2、P3確定一個平面。a.求過不在同一直線上三點(diǎn)的平面方程引理設(shè)a={ax，ay，az},b={bx，by，bz}，c={cx，cy，cz}為三向量，則a，b，c共面的充分必要條件是：設(shè)P(x,y,z)為平面上任一點(diǎn)，以P1為起點(diǎn)分別作

以P2、P3、P為終點(diǎn)的向量a、b、c，則a、b、c共面且a={x2x1，y2y1，z2z1}，b={x3x1，y3y1，z3z1}，c={xx1，yy1，zz1}。由引理知：p5可以驗證滿足上式的點(diǎn)P(x,y,z)都在平面