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文檔簡介

第十章

定積分的應(yīng)用§1

平面圖形的面積教學(xué)內(nèi)容：平面圖形面積的計(jì)算教學(xué)目的：理解定積分的意義；學(xué)會(huì)、掌握微元法處理問題的基本思想熟記平面圖形面積的計(jì)算公式。一．

直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積：由定積分的幾何意義，連續(xù)曲線與直線：軸所圍成的曲邊梯形的面積為：1a0xybbocdexyoa2x—區(qū)域y—區(qū)域yxoabxyoab3如果平面區(qū)域既不是x—型區(qū)域，也不是y—型區(qū)域，則用一組平行于坐標(biāo)軸的直線，把平面區(qū)域分成盡可能少的若干個(gè)x—型區(qū)域與y—型區(qū)域，然后計(jì)算每一區(qū)域的面積，則平面區(qū)域總的面積等于各區(qū)域面積之和。如右下圖：上曲線由三條不同的曲線：AB、BC與CD構(gòu)成；下曲線由兩條不同曲線：EF與FG所構(gòu)成。為計(jì)算其面積，可分別過點(diǎn)B、C與F作平行于y軸的直線，則把平面區(qū)域分成4個(gè)x—型區(qū)域。yxEabABCDFGo4所給的區(qū)域不是一個(gè)規(guī)范的x-域,

如圖需將其切成兩塊,

即可化成x-形區(qū)域的面積問題。第一塊的面積：AB,第二塊的面積：,總面積：5二、由參數(shù)方程表示的曲線所圍成平面圖形的面積設(shè)區(qū)間上的曲邊梯形的曲邊由方程由參量方程表示6且：在上連續(xù)，，（對(duì)于或

的情況類似討論），則計(jì)算中，主要的困難是上下限的確定。上下限的確定通常有兩種方法：

1）具體計(jì)算時(shí)常利用圖形的幾何特征2）從參數(shù)方程定義域的分析確定7例3

求擺線

的一拱與x軸所圍的平面圖形的面積

(如圖陰影部分)由圖看出,

對(duì)應(yīng)原點(diǎn)(0,0),

對(duì)應(yīng)一拱的終點(diǎn),所以其面積為:

8三、極坐標(biāo)下平面圖形的面積

ox

和參數(shù)方程一樣，極坐標(biāo)情況面積的計(jì)算主要困難是積分上下限的確定。確定上下限方法通常也是1）利用圖象；2）分析定義域（見下頁示圖）9

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