41復(fù)數(shù)項級數(shù)與冪級數(shù)

一、復(fù)數(shù)列的極限二、級數(shù)的概念第一節(jié)復(fù)數(shù)項級數(shù)與冪級數(shù)三、典型例題四、冪級數(shù)五、小結(jié)與思考1一、復(fù)數(shù)列的極限1.定義記作22.復(fù)數(shù)列收斂的條件定理一說明:可將復(fù)數(shù)列的斂散性轉(zhuǎn)化為判別兩個實數(shù)列的斂散性.證明思想與過程跟函數(shù)極限的證明完全類似，故省略.3課堂練習(xí):下列數(shù)列是否收斂?如果收斂,求出其極限.收斂到-1不收斂收斂到04二、級數(shù)的概念1.定義表達式稱為復(fù)數(shù)項無窮級數(shù).其最前面n

項的和稱為級數(shù)的部分和.部分和5收斂與發(fā)散說明:與實數(shù)項級數(shù)相同,判別復(fù)數(shù)項級數(shù)斂散性的基本方法是:672.復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂的條件證因為定理二8說明

復(fù)數(shù)項級數(shù)的審斂問題實數(shù)項級數(shù)的審斂問題(定理二)9解所以原級數(shù)發(fā)散.課堂練習(xí)10必要條件重要結(jié)論:11不滿足必要條件,所以原級數(shù)發(fā)散.啟示:判別級數(shù)的斂散性時,可先考察?級數(shù)發(fā)散;應(yīng)進一步判斷.123.絕對收斂與條件收斂注意應(yīng)用正項級數(shù)的審斂法則判定.定理三13證由于而根據(jù)實數(shù)項級數(shù)的比較準(zhǔn)則,知14由定理二可得[證畢]15非絕對收斂的收斂級數(shù)稱為條件收斂級數(shù).說明如果

收斂,那末稱級數(shù)

為絕對收斂.定義16所以綜上:17三、典型例題例1解級數(shù)滿足必要條件,但18例2故原級數(shù)收斂,且為絕對收斂.因為所以由正項級數(shù)的比值判別法知:解19故原級數(shù)收斂.所以原級數(shù)非絕對收斂.例3解20四.冪級數(shù)1.冪級數(shù)的概念設(shè){fn(z)}(n=1,2,...)為一復(fù)變函數(shù)序列,其中各項在區(qū)域d內(nèi)有定義.表達式稱為這級數(shù)的部分和.稱為復(fù)變函數(shù)項級數(shù).最前面n項的和sn(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)21s(z)稱為級數(shù)如果對于d內(nèi)的某一點z0,極限存在,則稱復(fù)變函數(shù)項級數(shù)(4.2.1)在z0收斂,而s(z0)稱為它的和.如果級數(shù)在d內(nèi)處處收斂,則它的和一定是z的一個函數(shù)s(z):s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...的和函數(shù).22如果令z-a=z,則(4.2.2)成為,這是(4.2.3)的形式,為了方便,今后常就(4.2.3)討論當(dāng)fn(z)=cn-1(z-a)n-1或fn(z)=cn-1zn-1時,就得到函數(shù)項級數(shù)的特殊情形:這種級數(shù)稱為冪級數(shù).23定理一(阿貝爾abel定理)z0xyo24[證]25262.收斂圓和收斂半徑利用阿貝爾定理,可以定出冪級數(shù)的收斂范圍,對一個冪級數(shù)來說,它的收斂情況不外乎三種:iii)既存在使級數(shù)收斂的正實數(shù),也存在使級數(shù)發(fā)散的正實數(shù).設(shè)z=a(正實數(shù))時,級數(shù)收斂,z=b(正實數(shù))時,級數(shù)發(fā)散.i)對所有的正實數(shù)都是收斂的.這時,根據(jù)阿貝爾定理可知級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對收斂.

ii)對所有的正實數(shù)除z=0外都是發(fā)散的.這時,級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點外處處發(fā)散.27藍色：已知收斂部分，綠色圓外是發(fā)散部分往里壓縮往外擴張最終，稱28例4求冪級數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).[解]級數(shù)實際上是等比級數(shù),部分和為29303.收斂半徑的求法定理二(比值法)如果則收斂半徑中心在z0的冪級數(shù)也是如此求半徑,只是收斂圓域的寫法不同而已.31解：故收斂半徑324.冪級數(shù)的運算和性質(zhì)象實變冪級數(shù)一樣,復(fù)變冪級數(shù)也能進行有理運算.設(shè)在以原點為中心,r1,r2中較小的一個為半徑的圓內(nèi),這兩個冪級數(shù)可以象多項式那樣進行相加,相減,相乘,所得到的冪級數(shù)的和函數(shù)分別就是f(z)與g(z)的和,差與積.3334更為重要的是代換(復(fù)合)運算這個代換運算,在把函數(shù)展開成冪級數(shù)時,有著廣泛的應(yīng)用.35363)f(z)在收斂圓域內(nèi)可以逐項積分,即37五、小結(jié)與思考通過本課的學(xué)習(xí),應(yīng)了解復(fù)數(shù)列的極限概念;熟悉復(fù)數(shù)列收斂及復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂與絕對收斂的充要條件;理解復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散、絕對收斂與條件收斂的概念與性質(zhì).38思考題39思考題答案否.放映結(jié)束，按esc退出.