冪級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)華南理工大學(xué)高數(shù)課件

冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算第三節(jié)冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)及其收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念1.定義如則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).定義1冪級(jí)數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念為定義在(a,b)內(nèi)的函數(shù),稱為定義在(a,b)內(nèi)的2.收斂點(diǎn)與收斂域若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂(或發(fā)散)則稱x0為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)(或發(fā)散點(diǎn)).函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)所有收斂點(diǎn)(或發(fā)散點(diǎn))稱為其收斂域(或發(fā)定義2散域).冪級(jí)數(shù)3.和函數(shù)定義3為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)則s(x)稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù).的前n項(xiàng)和序列,若極限存在,冪級(jí)數(shù)例解由比值(達(dá)朗貝爾)判別法(1)當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)(2)當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;發(fā)散.求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域.冪級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)為條件收斂級(jí)數(shù)為發(fā)散總之,所討論的級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閰^(qū)間(3)冪級(jí)數(shù)1.定義如下形式的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為的冪級(jí)數(shù).的冪級(jí)數(shù).定義稱為冪級(jí)數(shù)二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性阿貝爾(abel)(挪威)1802–1829定理1(阿貝爾(abel)定理)則它在滿足不等式絕對(duì)收斂;發(fā)散.收斂,發(fā)散,如果級(jí)數(shù)則它在滿足不等式的一切x處如果級(jí)數(shù)的一切x處2.收斂半徑和收斂域冪級(jí)數(shù)則收斂半徑定理2如果冪級(jí)數(shù)的所有系數(shù)冪級(jí)數(shù)或此極限存在或?yàn)檎裏o(wú)窮大例求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域:解冪級(jí)數(shù)是收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù).

是調(diào)和級(jí)數(shù),發(fā)散.故收斂域?yàn)榻鈨缂?jí)數(shù)解冪級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)因?yàn)樗?故級(jí)數(shù)發(fā)散.對(duì)應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)也發(fā)散.當(dāng)x=4時(shí),故收斂域?yàn)閮缂?jí)數(shù)發(fā)散收斂故收斂域?yàn)榻?0,1].即收斂即收斂?jī)缂?jí)數(shù)討論冪級(jí)數(shù)的收斂半徑r.解作變換,令級(jí)數(shù)變?yōu)橐驗(yàn)榫毩?xí)冪級(jí)數(shù)收斂半徑設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑分別為則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為()分析冪級(jí)數(shù)練習(xí)2.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)則其在端點(diǎn)收斂,則在端點(diǎn)單側(cè)連續(xù).冪級(jí)數(shù)1.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)可逐項(xiàng)積分.則其冪級(jí)數(shù)(收斂半徑不變)(收斂半徑不變)逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次.并可則其冪級(jí)數(shù)(3)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為r(r>0),解(1)求收斂域發(fā)散發(fā)散故級(jí)數(shù)的求收斂域?yàn)槔齼缂?jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)(2)求和函數(shù)s(x)冪級(jí)數(shù)解(1)求收斂域發(fā)散收斂故級(jí)數(shù)的求收斂域?yàn)槔齼缂?jí)數(shù)(2)求和函數(shù)s(x)冪級(jí)數(shù)例求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).解(1)求收斂域發(fā)散收斂故級(jí)數(shù)的收斂域冪級(jí)數(shù)(2)求和函數(shù)s(x)設(shè)有冪級(jí)數(shù)因此,當(dāng)x=0時(shí),顯然有總之有冪級(jí)數(shù)解收斂域?yàn)?1)求收斂域(2)求和函數(shù)s(x)設(shè)和函數(shù)例冪級(jí)數(shù)其中(3)求函數(shù)s(x)在的值冪級(jí)數(shù)解例冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)積分得冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)第四節(jié)函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)

所以有了函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù),那末函數(shù)的多項(xiàng)式逼近、函數(shù)值的近似計(jì)算,以及一些積分、微分方程問(wèn)題就應(yīng)刃而解了.

將函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)的形式,在理論上和應(yīng)用中都是十分重要的.

如,對(duì)函數(shù)作數(shù)值分析時(shí),總離不開(kāi)多項(xiàng)式逼近給定的函數(shù),而冪級(jí)數(shù)的部分和恰是多項(xiàng)式.

問(wèn):哪些函數(shù)在怎樣的區(qū)間上可展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)?冪級(jí)數(shù)的系數(shù)如何確定?

這是本節(jié)要討論的主要問(wèn)題.一、泰勒級(jí)數(shù)1.如果能展開(kāi),是什么?2.展開(kāi)式是否唯一?3.在什么條件下才能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)?假設(shè)f(x)可以展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)，即函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的某鄰域內(nèi)有n+1階導(dǎo)數(shù),則f(x)可表為:其中介于x與x0之間.回顧若函數(shù)f(x)在x0泰勒公式:(1)函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)如函數(shù)f(x)在x0的某鄰域內(nèi)是無(wú)窮次連續(xù)可微？能想到什么(2)稱冪級(jí)數(shù)(2)為函數(shù)f(x)在x0處的

f(x)是否可展為如下的冪級(jí)數(shù):不管f(x)能否展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù).特別,為函數(shù)f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù).當(dāng)x0=0時(shí),稱冪級(jí)數(shù)證由于冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)微分,定理1(函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)的唯一性)于是函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)泰勒系數(shù)是唯一的,泰勒系數(shù)函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)所以,f(x)的展開(kāi)式是唯一的.問(wèn)題泰勒級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于f(x)?不一定.可見(jiàn)在x=0點(diǎn)任意可導(dǎo),函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)

f(x)的麥?zhǔn)霞?jí)數(shù)處處不收斂于f(x).?證必要性定理2函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)充分性設(shè)函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)1.直接展開(kāi)法(泰勒級(jí)數(shù)法)步驟(2)寫(xiě)出泰勒級(jí)數(shù)并求收斂半徑r.二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)例解其收斂半徑因泰勒公式的余項(xiàng)(ξ介于0,x之間)它滿足不等式~r=+∞.函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)對(duì)任一確定的是處處收斂的冪級(jí)數(shù)的一般項(xiàng).是確定的數(shù),而所以在上恒有有展開(kāi)公式于是,函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)例解其收斂半徑對(duì)內(nèi)任一點(diǎn)x,有r=+∞.函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)于是,有展開(kāi)公式函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)例解函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)所以的泰勒級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間是對(duì)不同的為了避免討論余項(xiàng)的極限,設(shè)在區(qū)間的泰勒級(jí)數(shù)和函數(shù)s(x),即設(shè)下面證明由逐項(xiàng)求導(dǎo)得函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)斂散性不同.兩邊同乘以(1+

x)后,注意右邊方括號(hào)內(nèi)的xn

系數(shù)為函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)兩邊積分得牛頓二項(xiàng)式展開(kāi)式函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)

常見(jiàn)的展開(kāi)式函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)例將展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù),并指出收斂域.解作變量代換函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)2.間接展開(kāi)法例展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù).解而函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)例將

展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù).解而注利用間接展開(kāi)法時(shí),要注意區(qū)間端點(diǎn)的收斂性.函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)將函數(shù)展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù),并指出收斂域.解端點(diǎn)無(wú)定義函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)練習(xí)例將展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù),并指出收斂域.解將作下述變形,再利用變量代換函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)相當(dāng)于即函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)例解函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)例將展為x的冪級(jí)數(shù).解相乘得函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)例將展為x的冪級(jí)數(shù).解逐項(xiàng)積分得函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)例求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.解在x=1時(shí)對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù).顯然這個(gè)冪級(jí)數(shù)收斂域?yàn)楣氏?/p>