用空間向量求空間角

關于用空間向量求空間角第一頁，共二十二頁，2022年，8月28日復習回顧直線的方向向量:兩點平面的法向量：三點兩線一方程設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)則(1)a·b＝

.

a1b1＋a2b2＋a3b3第二頁，共二十二頁，2022年，8月28日設直線l1、l2的方向向量分別為a、b，平面α、β的法向量分別為n1、n2.則⑴l1∥l2或l1與l2重合?

?

.

⑵l1⊥l2?

?

.

⑶α∥β或α與β重合?

?

.

⑷α⊥

β?

?

.

⑸l∥α或l?α?

?

.

⑹l⊥

α?

?

.復習回顧a∥ba＝

tba⊥ba·b

＝

0n1∥n2n1＝tn2n1＝tan1∥an1⊥n2n1·

n2＝

0n1⊥

an1·a

＝

0第三頁，共二十二頁，2022年，8月28日引例：求二面角M-BC-D的平面角的正切值；求CN與平面ABCD所成角的正切值；求CN與BD所成角的余弦值；(4)求平面SBC與SDC所成角的正弦值

第四頁，共二十二頁，2022年，8月28日范圍：

一、線線角：異面直線所成的銳角或直角思考：空間向量的夾角與異面直線的夾角有什么關系？結論：第五頁，共二十二頁，2022年，8月28日xzy②向量法ADCBD1C1B1A1E1F1方法小結①傳統(tǒng)法：平移例1.如圖所示的正方體中，已知F1與E1為四等分點，求異面直線DF1與BE1的夾角余弦值？第六頁，共二十二頁，2022年，8月28日所以與所成角的余弦值為解：如圖所示，建立空間直角坐標系,如圖所示，設則：

所以：練習：第七頁，共二十二頁，2022年，8月28日[悟一法]

利用向量求異面直線所成的角的步驟為：

(1)確定空間兩條直線的方向向量；

(2)求兩個向量夾角的余弦值；

(3)確定線線角與向量夾角的關系；當向量夾角為銳角時，即為兩直線的夾角；當向量夾角為鈍角時，兩直線的夾角為向量夾角的補角．第八頁，共二十二頁，2022年，8月28日直線與平面所成角的范圍：

結論：二、線面角：直線和直線在平面內的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角.思考：如何用空間向量的夾角表示線面角呢？AOB第九頁，共二十二頁，2022年，8月28日例2、如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求A1B與平面A1B1CD所成的角ABCDA1B1C1D1O①向量法②

傳統(tǒng)法第十頁，共二十二頁，2022年，8月28日N解：如圖建立坐標系A-xyz,則即在長方體中，練習：第十一頁，共二十二頁，2022年，8月28日N又在長方體中，練習：第十二頁，共二十二頁，2022年，8月28日[悟一法]

利用向量法求直線與平面所成角的步驟為：

(1)確定直線的方向向量和平面的法向量；

(2)求兩個向量夾角的余弦值；

(3)確定線面角與向量夾角的關系：向量夾角為銳角時，線面角與這個夾角互余；向量夾角為鈍角時，線面角等于這個夾角減去90°.第十三頁，共二十二頁，2022年，8月28日二面角的平面角必須滿足：3）角的邊都要垂直于二面角的棱1）角的頂點在棱上2）角的兩邊分別在兩個面內

以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。10lOAB三、面面角：第十四頁，共二十二頁，2022年，8月28日ll三、面面角：向量法關鍵：觀察二面角的范圍第十五頁，共二十二頁，2022年，8月28日①證明：以為正交基底，建立空間直角坐標系如圖。則可得例3.已知正方體的邊長為2，O為AC和BD的交點，M為的中點（1）求證：直線面MAC;

（2）求二面角的余弦值.B1A1C1D1DCBAOMxyz第十六頁，共二十二頁，2022年，8月28日②B1A1C1D1DCBAOMxyz由圖可知二面角為銳角第十七頁，共二十二頁，2022年，8月28日[悟一法]

利用法向量求二面角的步驟

(1)確定二個平面的法向量；

(2)求兩個法向量夾角的余弦值；

(3)確定二面角的范圍；二面角的范圍要通過圖形觀察，法向量一般不能體現(xiàn)．第十八頁，共二十二頁，2022年，8月28日練習：如圖，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且

OS=OC=BC=1，OA=2。求：⑴異面直線SA和OB所成的角的余弦值，⑵OS與面SAB所成角α的正弦值，⑶二面角B－AS－O的余弦值。則A（2，0，0）；于是我們有OABCS解：如圖建立直角坐標系，xyz=（2，0，-1）；=（-1，1，0）；=（1，1，0）；=（0，0，1）；B（1，1，0）；S（0，0，1），C（0，1，0）；O（0，0，0）；第十九頁，共二十二頁，2022年，8月28日令x=1，則y=1，z=2；從而（2）設面SAB的法向量顯然有OABCSxyz第二十頁，共二十二頁，2022年，8月28日⑵.由⑴知面SAB的法向量=（1，1，2）

又∵OC⊥面AOS