用空間向量求空間角

關(guān)于用空間向量求空間角第一頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日復(fù)習(xí)回顧直線的方向向量:兩點(diǎn)平面的法向量：三點(diǎn)兩線一方程設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)則(1)a·b＝

.

a1b1＋a2b2＋a3b3第二頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)直線l1、l2的方向向量分別為a、b，平面α、β的法向量分別為n1、n2.則⑴l1∥l2或l1與l2重合?

?

.

⑵l1⊥l2?

?

.

⑶α∥β或α與β重合?

?

.

⑷α⊥

β?

?

.

⑸l∥α或l?α?

?

.

⑹l⊥

α?

?

.復(fù)習(xí)回顧a∥ba＝

tba⊥ba·b

＝

0n1∥n2n1＝tn2n1＝tan1∥an1⊥n2n1·

n2＝

0n1⊥

an1·a

＝

0第三頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日引例：求二面角M-BC-D的平面角的正切值；求CN與平面ABCD所成角的正切值；求CN與BD所成角的余弦值；(4)求平面SBC與SDC所成角的正弦值

第四頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日范圍：

一、線線角：異面直線所成的銳角或直角思考：空間向量的夾角與異面直線的夾角有什么關(guān)系？結(jié)論：第五頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日xzy②向量法ADCBD1C1B1A1E1F1方法小結(jié)①傳統(tǒng)法：平移例1.如圖所示的正方體中，已知F1與E1為四等分點(diǎn)，求異面直線DF1與BE1的夾角余弦值？第六頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日所以與所成角的余弦值為解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示，設(shè)則：

所以：練習(xí)：第七頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日[悟一法]

利用向量求異面直線所成的角的步驟為：

(1)確定空間兩條直線的方向向量；

(2)求兩個(gè)向量夾角的余弦值；

(3)確定線線角與向量夾角的關(guān)系；當(dāng)向量夾角為銳角時(shí)，即為兩直線的夾角；當(dāng)向量夾角為鈍角時(shí)，兩直線的夾角為向量夾角的補(bǔ)角．第八頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日直線與平面所成角的范圍：

結(jié)論：二、線面角：直線和直線在平面內(nèi)的射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.思考：如何用空間向量的夾角表示線面角呢？AOB第九頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日例2、如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求A1B與平面A1B1CD所成的角ABCDA1B1C1D1O①向量法②

傳統(tǒng)法第十頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日N解：如圖建立坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則即在長(zhǎng)方體中，練習(xí)：第十一頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日N又在長(zhǎng)方體中，練習(xí)：第十二頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日[悟一法]

利用向量法求直線與平面所成角的步驟為：

(1)確定直線的方向向量和平面的法向量；

(2)求兩個(gè)向量夾角的余弦值；

(3)確定線面角與向量夾角的關(guān)系：向量夾角為銳角時(shí)，線面角與這個(gè)夾角互余；向量夾角為鈍角時(shí)，線面角等于這個(gè)夾角減去90°.第十三頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日二面角的平面角必須滿足：3）角的邊都要垂直于二面角的棱1）角的頂點(diǎn)在棱上2）角的兩邊分別在兩個(gè)面內(nèi)

以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。10lOAB三、面面角：第十四頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日l(shuí)l三、面面角：向量法關(guān)鍵：觀察二面角的范圍第十五頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日①證明：以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系如圖。則可得例3.已知正方體的邊長(zhǎng)為2，O為AC和BD的交點(diǎn)，M為的中點(diǎn)（1）求證：直線面MAC;

（2）求二面角的余弦值.B1A1C1D1DCBAOMxyz第十六頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日②B1A1C1D1DCBAOMxyz由圖可知二面角為銳角第十七頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日[悟一法]

利用法向量求二面角的步驟

(1)確定二個(gè)平面的法向量；

(2)求兩個(gè)法向量夾角的余弦值；

(3)確定二面角的范圍；二面角的范圍要通過(guò)圖形觀察，法向量一般不能體現(xiàn)．第十八頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí)：如圖，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且

OS=OC=BC=1，OA=2。求：⑴異面直線SA和OB所成的角的余弦值，⑵OS與面SAB所成角α的正弦值，⑶二面角B－AS－O的余弦值。則A（2，0，0）；于是我們有OABCS解：如圖建立直角坐標(biāo)系，xyz=（2，0，-1）；=（-1，1，0）；=（1，1，0）；=（0，0，1）；B（1，1，0）；S（0，0，1），C（0，1，0）；O（0，0，0）；第十九頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日令x=1，則y=1，z=2；從而（2）設(shè)面SAB的法向量顯然有OABCSxyz第二十頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日⑵.由⑴知面SAB的法向量=（1，1，2）

又∵OC⊥面AOS