高數(shù)B1-4章7節(jié) 《二階常系數(shù)非齊次線性微分方程》課件

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第七節(jié)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二、一、解的結(jié)構(gòu)三、二階常系數(shù)非齊次線性方程:函數(shù)f(x)稱為自由項.一、解的結(jié)構(gòu)對應(yīng)齊次方程定理1(解的結(jié)構(gòu)定理)

非齊次線性方程通解為非齊次方程特解齊次方程通解定理2(疊加原理)

設(shè)為二階常系數(shù)非齊次線性方程的解,則為二階常系數(shù)非齊次線性方程的解.

f(x)的常見類型：用待定系數(shù)法求二階常系數(shù)非齊次線性方程的特解.一、

①為實數(shù),為m

次多項式.設(shè)特解為其中為待定多項式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,則設(shè)其中為

m次待定系數(shù)多項式.(2)若是特征方程的單根

,為m

次多項式,故特解形式為即(3)若是特征方程的重根,是m

次多項式,故特解形式為即對方程此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.特解小結(jié)例1.的一個特解.解:

本題而特征方程為不是特征方程的根.設(shè)所求特解為代入方程:比較系數(shù),得于是所求特解為例2.

的通解.

解:本題特征方程為其根為對應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程特解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程得所求通解為例3.

已知二階常微分方程有特解求微分方程的通解.解:

將特解代入方程得恒等式比較系數(shù)得故原方程為對應(yīng)齊次方程通解:原方程通解為二、第二步求出如下兩個方程的特解分析思路:第一步將f(x)轉(zhuǎn)化為第三步利用疊加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特點第一步利用歐拉公式將f(x)變形

第二步求如下兩方程的特解

是特征方程的

k重根(

k=0,1),故等式兩邊取共軛:為方程③的特解.②③設(shè)則②有特解:第三步求原方程的特解

利用第二步的結(jié)果,根據(jù)疊加原理,原方程有特解:原方程

均為

次多項式.第四步分析因為均為

次實多項式，本質(zhì)上為實函數(shù),從而，特解形式為上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.例4.

的一個特解

.解:本題特征方程故設(shè)特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數(shù),得于是求得一個特解例5.

的通解.

解:特征方程為其根為對應(yīng)齊次方程的通解為比較系數(shù)

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