第8章無套利分析和二叉樹期權(quán)定價(jià)模型

第八章無套利分析和二叉樹期權(quán)定價(jià)模型Chapter8No-arbitrageAnalysisandCRRModel運(yùn)用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法求解二叉樹期權(quán)定價(jià)模型03目錄CONTENTS運(yùn)用動態(tài)復(fù)制方法求解二叉樹期權(quán)定價(jià)模型022二叉樹期權(quán)定價(jià)模型的參數(shù)匹配——以CRR模型為例04運(yùn)用動態(tài)復(fù)制方法給風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)定價(jià)013學(xué)習(xí)要點(diǎn)用動態(tài)復(fù)制方法求解CRR模型用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法求解CRR模型金融資產(chǎn)定價(jià)基本原理4本章知識結(jié)構(gòu)圖第〇節(jié)導(dǎo)

言折紙游戲6如何從一個(gè)長方形紙張中變出一個(gè)正方形將長方形紙張的短邊折向長方形的長邊，并將短邊在長邊上留下的終點(diǎn)留下折痕，再打開紙張，就變出了一個(gè)“正方形”在長方形的長邊上“復(fù)制了”短邊，得到了我們想要的正方形第一節(jié)

運(yùn)用動態(tài)復(fù)制方法給風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)定價(jià)一、無套利分析與動態(tài)復(fù)制方法8無套利均衡分析是衍生品定價(jià)的核心思想起源于1958年提出的MM理論在推導(dǎo)無稅情況下有財(cái)務(wù)杠桿和無財(cái)務(wù)杠桿企業(yè)的價(jià)值時(shí)，米勒和莫迪里亞尼用自制財(cái)務(wù)杠桿復(fù)制了企業(yè)的財(cái)務(wù)杠桿，從而得出在無稅情況下有財(cái)務(wù)杠桿和無財(cái)務(wù)杠桿企業(yè)的價(jià)值相同，進(jìn)一步得出無稅情況下資本結(jié)構(gòu)與企業(yè)價(jià)值無關(guān)的結(jié)論。在MM理論的推導(dǎo)中復(fù)制是一次性的，稱為靜態(tài)復(fù)制。標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的動態(tài)變化時(shí)，引入動態(tài)模型，需要?jiǎng)討B(tài)復(fù)制技術(shù)。二、狀態(tài)價(jià)格過程與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)定價(jià)9用二叉樹描述風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的動態(tài)變化過程。一個(gè)枝杈表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格的上升，用

u

來表示，一個(gè)枝杈表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格的下降，用

d

來表示。假設(shè)不存在套利機(jī)會的完備金融市場中有兩類資產(chǎn)，一類是以國債(Bond)為代表的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn),另一類是以股票(Stock)為代表的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，即B-S市場。市場上有兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)均為股票，其中股票

A的初始價(jià)格為

PA=100,u=1.25,d=0.8

股票

A

和股票

B在一段時(shí)間Δt=0.25的價(jià)格變化二、狀態(tài)價(jià)格過程與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)定價(jià)10基礎(chǔ)證券,又稱阿羅-德布魯證券，一般記為πu

和πd

基礎(chǔ)證券

πu的價(jià)格變化基礎(chǔ)證券

πd

的價(jià)格變化二、狀態(tài)價(jià)格過程與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)定價(jià)11利用基礎(chǔ)證券復(fù)制股票現(xiàn)金流組合V:

πu×uPA+πd×dPA

組合V*:πu+πd

組合V的價(jià)格變化組合V*的價(jià)格變化股票B的價(jià)格二、狀態(tài)價(jià)格過程與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)定價(jià)12利用股票

A和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)

L復(fù)制股票

B的現(xiàn)金流組合V=Δt

PA+L

復(fù)制B的現(xiàn)金流，無風(fēng)險(xiǎn)利率為

r

第二節(jié)

運(yùn)用動態(tài)復(fù)制方法求解二叉樹期權(quán)定價(jià)模型一、二叉樹期權(quán)定價(jià)模型與B-S-M期權(quán)定價(jià)模型之間的關(guān)系14二叉樹期權(quán)定價(jià)模型是離散模型B-S-M期權(quán)定價(jià)模型是連續(xù)時(shí)間模型二叉樹模型受B-S-M影響B(tài)-S-M期權(quán)定價(jià)模型出現(xiàn)在1973年，二叉樹期權(quán)定價(jià)模型在其后二叉樹期權(quán)定價(jià)模型要“匹配”B-S-M期權(quán)定價(jià)模型，從而保證二項(xiàng)分布在極限意義上逼近對數(shù)正態(tài)分布二、二叉樹期權(quán)定價(jià)模型——CRR模型15CRR模型是由Cox、Ross和Rubinstein于1979年提出的一個(gè)二叉樹期權(quán)定價(jià)模型特點(diǎn)CRR模型是一個(gè)二叉樹模型CRR模型上升再下降或下降再上升后交匯于一點(diǎn)，即“交叉樹”CRR優(yōu)點(diǎn)：期末時(shí)刻的節(jié)點(diǎn)數(shù)為

N+1，普通二叉樹期末時(shí)刻的節(jié)點(diǎn)數(shù)為2N二、二叉樹期權(quán)定價(jià)模型——CRR模型16復(fù)制期權(quán)的支付假設(shè)是B-S市場，市場完備無套利一個(gè)二期模型，期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為28,無風(fēng)險(xiǎn)利率為

rf=4%,連續(xù)復(fù)利，期權(quán)的有效期為

T=0.5年標(biāo)的資產(chǎn)股票價(jià)格變化過程歐式看漲期權(quán)的支付的變化過程二、二叉樹期權(quán)定價(jià)模型——CRR模型17復(fù)制期權(quán)的支付選擇標(biāo)的資產(chǎn)

S

和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)L

復(fù)制期權(quán)C的終端支付右上方的樹：右下方的樹：左邊的樹：二、二叉樹期權(quán)定價(jià)模型——CRR模型18復(fù)制期權(quán)的支付代入?yún)?shù)，計(jì)算具體數(shù)值結(jié)果：從而第三節(jié)

運(yùn)用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法求解二叉樹期權(quán)定價(jià)模型一、風(fēng)險(xiǎn)中性實(shí)驗(yàn)與公平博弈20風(fēng)險(xiǎn)偏好類型回顧風(fēng)險(xiǎn)既沒有正效用，也沒有負(fù)效用風(fēng)險(xiǎn)中性類型收益正效用，風(fēng)險(xiǎn)負(fù)效用風(fēng)險(xiǎn)需要用收益來補(bǔ)償風(fēng)險(xiǎn)厭惡型收益帶來正效用，風(fēng)險(xiǎn)帶來正效用。更喜歡收益的波動性風(fēng)險(xiǎn)喜好型一、風(fēng)險(xiǎn)中性實(shí)驗(yàn)與公平博弈21公平博弈假設(shè)存在一個(gè)賭局，猜硬幣的正反面。由第三方投擲硬幣，假設(shè)參與者猜對了，可得10元，猜錯(cuò)了沒有收益。參與賭局需要交納入局費(fèi)。通過計(jì)算可得，這一賭局的期望收益為10×0.5+0×0.5=5如果參與者最多愿意交納的入局費(fèi)大于5元，這樣的參與者就是風(fēng)險(xiǎn)喜好類型。如果參與者最多愿意交納的入局費(fèi)等于5元，這樣的參與者就是風(fēng)險(xiǎn)中性類型。如果參與者最多愿意交納的入局費(fèi)小于5元，這樣的參與者就是風(fēng)險(xiǎn)厭惡類型。入局費(fèi)等于期望收益的賭局，我們一般稱之為公平博弈（fairgame）。一、風(fēng)險(xiǎn)中性實(shí)驗(yàn)與公平博弈22逢輸加番策略一副撲克牌扣除大小王，一共有52張牌，其中26張紅牌，26張黑牌。假設(shè)初始入局費(fèi)為1元——初始賭注。參與者從52張牌中抽取一張牌，如果是紅牌，參與者獲勝，盈利為2元，獲利離場。如果是黑牌，參與者輸了，入局費(fèi)加番進(jìn)入第二輪。

抽牌游戲的情況示意賭局次數(shù)賭局結(jié)果情況說明1-1+2=1參與者第1次就抽到紅牌，拿到盈利2元，離場，扣除1次入局費(fèi)1元，凈盈利1元。2-1-2+4=1參與者第2次才抽到紅牌，拿到盈利4元離場，扣除2次入局費(fèi)合計(jì)3元，凈盈利1元。3-1-2-4+8=1參與者第3次才抽到紅牌，拿到盈利8元離場，扣除3次入局費(fèi)合計(jì)7元，凈盈利1元。4-1-2-4-8+16=1參與者第4次才抽到紅牌，拿到盈利16元離場，扣除4次入局費(fèi)合計(jì)15元，凈盈利1元。5-1-2-4-8-16+32=1參與者第5次才抽到紅牌，拿到盈利32元離場，扣除4次入局費(fèi)合計(jì)31元，凈盈利1元。入局費(fèi)1元，參與者贏了可以賺2元，因此這個(gè)賭局的期望收益為1，等于入局費(fèi)1元，參與者無論何時(shí)離場，凈盈利都是1元。在這樣的動態(tài)過程中參與者沒有最優(yōu)離場時(shí)機(jī)。二、風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的隨機(jī)分析準(zhǔn)備——離散版本23σ

代數(shù)與概率測度假設(shè)存在一個(gè)

n

個(gè)元素的有限樣本空間

Ω,Ω

=｛ω1,ω2,...,ωn｝,

A是Ω

中的集合。?是Ω的子集構(gòu)成的集合。如果：1、

Ω

?

?2、A∈??AC∈?3、A1,A2,...,An是互不相交的集合，且

A1,A2,...,An∈???則稱

?是Ω上的σ代數(shù)

二、風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的隨機(jī)分析準(zhǔn)備——離散版本24概率測度現(xiàn)在我們在

σ代數(shù)

?上定義概率測度

P。概率測度

P

是滿足下面條件的函數(shù)：1、

P(Ω)=1;2、A1,A2,...,An是互不相交的集合，則

賦予了

σ代數(shù)的樣本空間稱之為可測空間，賦予了概率測度

P

的可測空間稱之為概率空間。

二、風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的隨機(jī)分析準(zhǔn)備——離散版本25域流與適應(yīng)隨機(jī)變量序列假設(shè)

t是一個(gè)離散時(shí)間變量，并且對于每一個(gè)

ti

∈[0,T],i=1,2,...,n,

均有一個(gè)

σ代數(shù)

?(ti)

進(jìn)一步假定，如果

ti≤tj

∈[0,T],i=1,2,...,n,則

?(ti)

中所有的事件都在?(tj)

中，則稱?(ti),

ti

∈[0,T],i=1,2,...,n是一個(gè)域流。設(shè)X(ti),

ti

∈[0,T],i=1,2,...,n是一個(gè)隨機(jī)變量序列，如果存在域流

?(ti),

ti

∈[0,T],i=1,2,...,n，對于每一個(gè)Xn都是?n可測的，則稱X(ti),

ti

∈[0,T],i=1,2,...,n是

?(ti),

ti

∈[0,T],i=1,2,...,n適應(yīng)的?，F(xiàn)在的概率空間就是賦予了域流的概率空間。二、風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的隨機(jī)分析準(zhǔn)備——離散版本26隨機(jī)變量序列與離散鞅假設(shè)X(ti),

ti

∈[0,T],i=1,2,...,n是?(ti),

ti

∈[0,T],i=1,2,...,n適應(yīng)的隨機(jī)變量序列稱它[關(guān)于?n]為鞅[上鞅，下鞅]，如果每個(gè)X(ti)可積，且E[X(ti+1)|?(ti+1)]=X(ti)(≤X(ti),≥X(ti),)三、風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的理論基礎(chǔ)——金融資產(chǎn)定價(jià)的基本原理27金融資產(chǎn)定價(jià)基本原理一般由三個(gè)部分構(gòu)成：1、如果市場是無套利的，那么存在一個(gè)鞅測度。2、如果市場是完備的，那么這樣的鞅測度是唯一的。3、在這樣的鞅測度下，標(biāo)的資產(chǎn)的貼現(xiàn)價(jià)格過程是一個(gè)鞅。四、運(yùn)用風(fēng)險(xiǎn)中性定性方法求解二叉樹期權(quán)定價(jià)模型28運(yùn)用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法求解二叉樹期權(quán)定價(jià)模型，最關(guān)鍵的就是尋找到鞅測度由于無套利條件的約束，二叉樹期權(quán)定價(jià)模型的u、d應(yīng)該滿足條件在不等式兩邊同時(shí)減去

d在不等式兩邊同時(shí)除以一個(gè)正數(shù)

u

-

d=四、運(yùn)用風(fēng)險(xiǎn)中性定性方法求解二叉樹期權(quán)定價(jià)模型29驗(yàn)證P*風(fēng)險(xiǎn)中性概率以一期模型來驗(yàn)證驗(yàn)證股票的貼現(xiàn)價(jià)格過程是鞅驗(yàn)證測度的唯一性若四、運(yùn)用風(fēng)險(xiǎn)中性定性方法求解二叉樹期權(quán)定價(jià)模型30運(yùn)用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法（鞅定價(jià)方法）為期權(quán)定價(jià)計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)中性概率計(jì)算期權(quán)的價(jià)格n

期二叉樹模型的歐式看漲期權(quán)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的一般表達(dá)式第四節(jié)

二叉樹期權(quán)定價(jià)模型的參數(shù)匹配——以CRR模型為例參數(shù)匹配過程32假設(shè)當(dāng)前股票價(jià)格為St

，為下一時(shí)刻的股票價(jià)格St+?t

連續(xù)時(shí)間期權(quán)定價(jià)模型B-S-M模型，

符合均值為

er?t

，方差為

的正態(tài)分布離散的一期二叉樹期權(quán)