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微分方程第四章—積分問題—微分方程問題

推廣第一節(jié)微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例幾何問題物理問題一曲線通過點(1,1),在該曲線上任意點處的解:

設(shè)所求曲線方程為y=y(x),則有如下關(guān)系式:①(C為任意常數(shù))由②得C=0,因此所求曲線方程為②由①

得引例1切線斜率為,求該曲線的方程.一曲線通過點(1,1),在該曲線上任意點處的解:

設(shè)所求曲線方程為y=y(x),則有如下關(guān)系式:①(C為任意常數(shù))由②得C=0,因此所求曲線方程為②由①

得引例1切線斜率為,求該曲線的方程.（一階）（初始條件）（通解）（特解）的速度行駛,制動時獲得加速度求制動后列車的運動規(guī)律.解:設(shè)列車在制動后

t秒行駛了s米,已知由前一式兩次積分,可得利用后兩式可得因此所求運動規(guī)律為即求

s

=s(t).引例2.

列車在平直路上以的速度行駛,制動時獲得加速度求制動后列車的運動規(guī)律.解:設(shè)列車在制動后

t秒行駛了s米,已知由前一式兩次積分,可得利用后兩式可得因此所求運動規(guī)律為即求

s

=s(t).（二階）（初始條件）（通解）（特解）引例2.

列車在平直路上以（必須出現(xiàn)）常微分方程（未知函數(shù)是一元函數(shù)）偏微分方程（未知函數(shù)是多元函數(shù)）

一般地，凡含有未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量的方程叫做微分方程

.

微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，叫做微分方程的階.(n

階顯式微分方程)微分方程的基本概念一般的,n

階常微分方程的形式是分類或分類:線性與非線性微分方程.分類:單個微分方程與微分方程組.—

使方程成為恒等式的函數(shù).通解—

解中所含獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程—

確定通解中任意常數(shù)的條件.n階方程的初始條件(或初值條件):的階數(shù)相同.特解微分方程的解—不含任意常數(shù)的解,初始條件其圖形稱為積分曲線.—

求微分方程滿足初始條件特解的問題.初值問題引例1引例2說明

通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一個解.例如,方程y=–x

及

y=C

是微分方程的解,的特解.解:

這說明是方程的解.

是兩個獨立的任意常數(shù),利用初始條件易得:故所求特解為故它是方程的通解.并求滿足初始條件例1.

驗證函數(shù)且線段PQ被y軸平分,求曲線所滿足的微分方程.例2.

已知曲線上點

P(x,y)

處的法線與

x

軸交點為

Q解:如圖所示,令Y=0,得

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