電磁場(chǎng)：第2章 宏觀電磁場(chǎng)理論基礎(chǔ)

第2章宏觀電磁場(chǎng)理論基礎(chǔ)

電磁現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)定律真空中的Maxwell方程組介質(zhì)的極化和磁化現(xiàn)象介質(zhì)中的Maxwell方程組宏觀電磁場(chǎng)的邊界條件2.1電荷與電流2.1.1電荷與電荷密度點(diǎn)電荷面電荷體電荷線電荷

自然界存在正、負(fù)兩種電荷

微觀上：分離性宏觀上：連續(xù)性2.1.2電流與電流密度電荷的運(yùn)動(dòng)形成電流！電荷移動(dòng)v面電流體電流線電流電流

——單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)某一截面積S的電荷量！描述的是截面上電荷的流動(dòng)情況，強(qiáng)度的大小，又稱電流強(qiáng)度。2.1.2電流與電流密度體電流密度矢量方向：空間某點(diǎn)的正電荷運(yùn)動(dòng)的方向大?。?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)垂直通過(guò)單位面積的電荷量單位：A/m2電流是電流密度的通量！面電流密度：線電流密度：2.1.3電荷守恒定律大量實(shí)驗(yàn)表明：

孤立系統(tǒng)的電荷總量保持不變。在任何時(shí)刻，系統(tǒng)中正負(fù)電荷的代數(shù)和保持不變，稱為電荷守恒定律。孤立系統(tǒng)中產(chǎn)生或湮沒(méi)某種符號(hào)的電荷，必有等量異號(hào)的電荷伴隨產(chǎn)生或湮沒(méi)。孤立系統(tǒng)總電荷量增加或減小，必有等量電荷進(jìn)入或離開(kāi)該系統(tǒng)。2.1.3電荷守恒定律VS孤立系統(tǒng)2.2靜電場(chǎng)2.2.1庫(kù)侖定律

真空中兩靜止點(diǎn)電荷q1和q2

之間作用力的大小與兩電荷的電荷量成正比，與兩電荷距離的平方成反比；方向沿

q1和q2連線方向，同性電荷相排斥，異性電荷相吸引。q1q22.2.1庫(kù)侖定律

實(shí)驗(yàn)證明：真空中多個(gè)點(diǎn)電荷構(gòu)成的電荷體系，兩兩間的作用力，不受其它電荷存在的影響。qiqj2.2.2電場(chǎng)與電場(chǎng)強(qiáng)度電荷間作用力的作用途徑？任何電荷在其所處的空間中激發(fā)出對(duì)置于其中別的電荷有作用力的物質(zhì)，稱為電場(chǎng)。由靜止電荷激發(fā)的電場(chǎng)稱為靜電場(chǎng)。電場(chǎng)強(qiáng)度：q0

為試驗(yàn)電荷的電量，F(xiàn)為電荷q0受到的作用力。

單位實(shí)驗(yàn)正電荷在電場(chǎng)中所受的作用力！2.2.2電場(chǎng)與電場(chǎng)強(qiáng)度真空中靜止點(diǎn)電荷q激發(fā)的電場(chǎng)為：如果電荷是連續(xù)分布，密度為。它在空間任意一點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)為：小體積元中的電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)2.2.3靜電場(chǎng)的基本性質(zhì)性質(zhì)1靜電場(chǎng)是有散矢量場(chǎng)，電荷是靜電場(chǎng)的通量源。對(duì)電場(chǎng)直接求散度:

利用Gauss定理得到：

稱為靜電場(chǎng)的Gauss定律。2.2.3靜電場(chǎng)的基本性質(zhì)靜電場(chǎng)的Gauss定律表明：靜電場(chǎng)的力線發(fā)源于正電荷，終止于負(fù)電荷；在沒(méi)有電荷的空間中，靜電場(chǎng)力線是連續(xù)的。有凈余的正電荷沒(méi)有凈余的電荷有凈余的負(fù)電荷2.2.3靜電場(chǎng)的基本性質(zhì)性質(zhì)2

靜電場(chǎng)是無(wú)旋矢量場(chǎng)。標(biāo)量場(chǎng)的梯度必為無(wú)旋場(chǎng)，所以靜電場(chǎng)又可以表示為某個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度。即2.2.3靜電場(chǎng)的基本性質(zhì)性質(zhì)3

靜電場(chǎng)具有能量的屬性。靜電場(chǎng)對(duì)電荷有力的作用；電荷在靜電場(chǎng)中從一點(diǎn)移到另一點(diǎn)時(shí)電場(chǎng)力做功。2.3恒定電流的磁場(chǎng)2.3.1安培定律

庫(kù)侖定律：兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的相互作用力電場(chǎng)安培定律：兩個(gè)穩(wěn)恒電流元或兩個(gè)回路電流的相互作用力1821-1825年安培（法國(guó)）真空中兩載流線圈之間存在力的相互作用，線圈１對(duì)線圈２的作用力為2.3.1安培定律

l1l2任意兩電流元之間也存在作用力實(shí)驗(yàn)證明：電流體對(duì)于置其中的電流元有力的作用，電流元受到的作用力是電流體中所有電流與電流元作用的疊加2.3.1安培定律

2.3.2畢奧-薩伐爾定律實(shí)驗(yàn)證明任一恒定電流元

在其周?chē)臻g激發(fā)出對(duì)另一恒定電流元（或磁鐵）具有力作用的物質(zhì)，稱為磁場(chǎng)。對(duì)電流元有作用力是磁場(chǎng)的基本特性。電流元之間的作用力是通過(guò)磁場(chǎng)來(lái)傳遞的?？臻g不同點(diǎn)處磁場(chǎng)的大小和方向是變化的，引入磁感應(yīng)強(qiáng)度概念描述空間磁場(chǎng)的大小和方向。2.3.2畢奧-薩伐爾定律磁感應(yīng)強(qiáng)度：Biot－Savart在研究Ampere定律基礎(chǔ)上，得到：2.3.3磁感應(yīng)強(qiáng)度的基本性質(zhì)2.3.3磁感應(yīng)強(qiáng)度的基本性質(zhì)

性質(zhì)1

恒定電流的磁感應(yīng)強(qiáng)是無(wú)散矢量場(chǎng)，即：磁感應(yīng)強(qiáng)力線是閉合的，沒(méi)有起點(diǎn)也沒(méi)有終點(diǎn)2.3.3磁感應(yīng)強(qiáng)度的基本性質(zhì)性質(zhì)2

恒定電流激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度是有旋場(chǎng)，電流是磁感應(yīng)強(qiáng)度的渦旋源，即：

2.3.3磁感應(yīng)強(qiáng)度的基本性質(zhì)性質(zhì)3

磁場(chǎng)具有能量的屬性。

電場(chǎng)對(duì)帶電粒子的作用力為磁場(chǎng)對(duì)電流的作用力實(shí)際上是磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)帶電粒子的作用力，即因此，電磁場(chǎng)對(duì)帶電粒子的作用力為（Lorent力）小結(jié)靜電場(chǎng)——靜止電荷

庫(kù)侖定律恒定磁場(chǎng)——穩(wěn)恒電流

畢奧-薩伐爾定律小結(jié)靜電場(chǎng)高斯定理環(huán)路定理靜電場(chǎng)是有散矢量場(chǎng)，電荷是靜電場(chǎng)的通量源。靜電場(chǎng)的力線發(fā)源于正電荷，終止于負(fù)電荷；在沒(méi)有電荷的空間中，靜電場(chǎng)力線是連續(xù)的。靜電場(chǎng)是無(wú)旋矢量場(chǎng)。

小結(jié)穩(wěn)恒磁場(chǎng)高斯定理環(huán)路定理穩(wěn)恒電流的磁感應(yīng)強(qiáng)是無(wú)散矢量場(chǎng)，不存在類(lèi)似于電荷的磁荷。

磁感應(yīng)強(qiáng)力線是閉合的，沒(méi)有起點(diǎn)也沒(méi)有終點(diǎn)。穩(wěn)恒電流激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度是有旋場(chǎng)，電流是磁感應(yīng)強(qiáng)度的渦旋源。2.4麥克斯韋方程組2.4.1法拉第電磁感應(yīng)定律

當(dāng)穿過(guò)閉合線圈的磁通量發(fā)生變化時(shí)，閉合導(dǎo)線中有感應(yīng)電流產(chǎn)生（回路中感應(yīng)了電動(dòng)勢(shì)），感應(yīng)電流方向總是以激發(fā)磁通量對(duì)抗原磁通量的改變。NS（右手螺旋關(guān)系）感應(yīng)的電動(dòng)勢(shì)

變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生感應(yīng)電場(chǎng)不僅存在不導(dǎo)體回路中，而且也存在于空間任意點(diǎn)。2.4.1法拉第電磁感應(yīng)定律變化的磁場(chǎng)可以產(chǎn)生感應(yīng)電場(chǎng)，該電場(chǎng)與靜電場(chǎng)都對(duì)電荷有力的作用，所不同的是感應(yīng)電場(chǎng)沿閉合回路的積分不為零，具有渦旋場(chǎng)的性質(zhì)，變化的磁場(chǎng)是其旋渦源。

（變化）磁場(chǎng)電場(chǎng)2.4.2位移電流

問(wèn)題一：將Biot－Savart定律用到如圖所表示的環(huán)路，同樣以L為邊界的兩個(gè)不同曲面S1和S2，其旋渦源的通量有兩個(gè)不同的結(jié)果。L2.4.2位移電流得到相互矛盾的結(jié)果！問(wèn)題二：解決方法：重新定義畢奧-薩伐爾定律中的電流密度矢量！2.4.2位移電流Maxwell認(rèn)為：電流由兩個(gè)部分組成，一部分為傳導(dǎo)電流，另一部分他稱之為位移電流，即總電流密度：總電流2.4.2位移電流2.4.2位移電流為了獲得位移電流表達(dá)式，Maxwell認(rèn)為靜電場(chǎng)的Gauss定律和電荷守恒定律是實(shí)驗(yàn)的總結(jié)，應(yīng)予以保留。利用這兩個(gè)定律，他對(duì)電流的形式進(jìn)行了如下的推廣：位移電流【例1】如圖，電容器面積為A、間距h，板間真空。忽略邊緣效應(yīng)的情況下，證明回路中位移電流密度矢量對(duì)于S2的通量等于傳導(dǎo)電流密度矢量通過(guò)S1的通量。L證：根據(jù)電流密度矢量的定義，其通量為?；芈飞系膫鲗?dǎo)電流為即為傳導(dǎo)電流密度矢量通過(guò)S1的通量。位移電流為2.4.3麥克斯韋方程組

電場(chǎng)Gauss定理：

Maxwell認(rèn)為靜電場(chǎng)Gauss定理可直接推廣到一般情形，即：磁場(chǎng)Gauss定理：

Maxwell認(rèn)為恒定電流磁場(chǎng)的Gauss定理可以直接推廣到一般情形，即：2.4.3麥克斯韋方程組Faraday電磁感應(yīng)定律：Maxwell認(rèn)為Faraday電磁感應(yīng)定律直接推廣到一般情況，即：廣義Biot-Savart

定律：

Maxwell引入位移電流，修正了恒定電流情況下的Biot-Savart定律，得到：

2.4.3麥克斯韋方程組微分形式：積分形式：只有兩個(gè)方程是獨(dú)立的！【例2】證明方程和可相互推導(dǎo)。證：電磁波產(chǎn)生電路示意圖±???

⊕?⊕2.5介質(zhì)的電磁特性2.5.1介質(zhì)的基本概念介質(zhì)是物質(zhì)的一種統(tǒng)稱，由原子或原子團(tuán)、分子或分子團(tuán)組成。

導(dǎo)體

conductor

導(dǎo)電能力極強(qiáng)的物體，存在大量可自由移動(dòng)的電荷，又稱導(dǎo)電介質(zhì)絕緣體（電介質(zhì)）

dielectric

導(dǎo)電能力極弱或不能導(dǎo)電的物體，又稱理想介質(zhì)半導(dǎo)體semiconductor

導(dǎo)電能力介于上述兩者之間的物體介質(zhì)內(nèi)部大量帶電粒子(正電或負(fù)電)的不規(guī)則的運(yùn)動(dòng)，在微觀尺度上產(chǎn)生隨機(jī)變化的電磁場(chǎng)，宏觀上相互抵消，沒(méi)有外部影響和作用的介質(zhì)呈中性。2.5.1介質(zhì)的基本概念在外部宏觀電磁場(chǎng)作用之下，介質(zhì)主要表現(xiàn)出的三種形態(tài)：傳導(dǎo)磁化極化2.5.2介質(zhì)的極化和束縛電荷在外加電場(chǎng)作用下產(chǎn)生宏觀不為零的電偶極矩，稱為介質(zhì)的極化。極化強(qiáng)度矢量電偶極矩pi的特點(diǎn)：①是外加電場(chǎng)強(qiáng)度的函數(shù)②可以是空間的函數(shù)③還可能是時(shí)間的函數(shù)對(duì)于線性均勻介質(zhì)，極化強(qiáng)度僅與外加電場(chǎng)強(qiáng)度成正比。2.5.2介質(zhì)的極化和束縛電荷極化使得分子或原子的正負(fù)電荷發(fā)生位移，體積元內(nèi)一部分電荷因極化而遷移到外部，同時(shí)外部也有電荷遷移到體積元內(nèi)部。因此體積元內(nèi)部有可能出現(xiàn)凈余的電荷，稱為極化電荷（束縛電荷）。2.5.2介質(zhì)的極化和束縛電荷SV當(dāng)介質(zhì)極化時(shí)，遠(yuǎn)離S面的介質(zhì)分子對(duì)極化電荷沒(méi)有貢獻(xiàn)，只有靠近S面處的介質(zhì)分子的正電荷才有可能穿出或穿進(jìn)S面，在V內(nèi)出現(xiàn)極化電荷。dS面附近均勻極化，穿過(guò)dS的正電荷量為：ldSV內(nèi)的凈余電荷（極化電荷）應(yīng)與穿出S面的電荷，但符號(hào)相反。2.5.2介質(zhì)的極化和束縛電荷線性均勻介質(zhì)中，極化遷出的電荷與遷入的電荷相等，不出現(xiàn)極化電荷分布。不均勻介質(zhì)或由多種不同結(jié)構(gòu)物質(zhì)混合而成的介質(zhì)，可出現(xiàn)極化電荷。2.5.2介質(zhì)的極化和束縛電荷在兩種不同均勻介質(zhì)交界面上的一個(gè)很薄的層內(nèi)，由于兩種物質(zhì)的極化強(qiáng)度不同，存在極化面電荷分布。2.5.2介質(zhì)的極化和束縛電荷面極化電荷分布：交界處的極化電荷面密度為：2.5.2介質(zhì)的極化和束縛電荷當(dāng)外加電磁場(chǎng)隨時(shí)間變化，極化強(qiáng)度矢量和束縛電荷也隨時(shí)間變化，并在一定的范圍內(nèi)發(fā)生運(yùn)動(dòng)（其物理實(shí)質(zhì)是正負(fù)電荷位移的距離量隨時(shí)間變化），從而形成極化電流，它們同樣滿足電荷守恒定律。應(yīng)用電荷守恒定律，得到極化電流的表達(dá)式為：

2.5.3電位移矢量的高斯定理介質(zhì)的極化過(guò)程包括外加電場(chǎng)的作用使介質(zhì)極化，產(chǎn)生束縛電荷；極化電荷反過(guò)來(lái)激發(fā)電場(chǎng)，兩者相互制約，達(dá)到平衡。介質(zhì)中的電場(chǎng)既有外加電場(chǎng)的貢獻(xiàn)，同時(shí)也有束縛電荷產(chǎn)生的附加電場(chǎng)。高斯定理：2.5.3電位移矢量的高斯定理電位移矢量介質(zhì)中電場(chǎng)的Gauss定理修正為：介質(zhì)中，電位移矢量的源是自由電荷，的力線的起點(diǎn)和終點(diǎn)都在自由電荷上，而的力線的起點(diǎn)和終點(diǎn)既可以是自由電荷，也可以是極化電荷。電位移矢量與電場(chǎng)強(qiáng)度之間的關(guān)系線性均勻各向同性介質(zhì)各向異性介質(zhì)介電常數(shù)為二階張量，電位移矢量和電場(chǎng)強(qiáng)度方向不同。2.5.3電位移矢量的高斯定理【例2】證明：均勻介質(zhì)內(nèi)極化電荷密度等于自由電荷密度的倍。證：介質(zhì)中的Gauss定理對(duì)于均勻介質(zhì)2.5.4介質(zhì)的磁化與磁化電流介質(zhì)在外磁場(chǎng)作用下，分子磁矩將按一定方向排列而呈現(xiàn)宏觀的磁效應(yīng)，稱為介質(zhì)的磁化。磁化強(qiáng)度矢量：?jiǎn)挝惑w積中的磁偶極矩的矢量和。2.5.4介質(zhì)的磁化與磁化電流均勻介質(zhì)中，分子電流大小相等，在相鄰電流環(huán)的交界線上因電流的方向相反，大小相等，介質(zhì)內(nèi)部不出現(xiàn)剩余的電流。非均勻介質(zhì)中，在相鄰環(huán)的交界線上盡管電流的方向相反，但大小不等，將出現(xiàn)剩余的電流，這種因磁化出現(xiàn)的電流為磁化電流。在體積元內(nèi)所有分子所貢獻(xiàn)的電流為：2.5.4介質(zhì)的磁化與磁化電流磁化電流只有與邊界線L交鏈的分子電流才對(duì)磁化電流有貢獻(xiàn)。對(duì)上式做環(huán)路線積分2.5.4介質(zhì)的磁化與磁化電流在兩不同介質(zhì)交界面的薄的層內(nèi)，存在面磁化電流分布！介質(zhì)2介質(zhì)12.5.5

介質(zhì)中的Biot-Savart定律

在外加電磁場(chǎng)的作用下，磁化和極化電流同樣也激發(fā)磁感應(yīng)強(qiáng)度，介質(zhì)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)是所有電流源激勵(lì)的結(jié)果：2.5.5

介質(zhì)中的Biot-Savart定律定義磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量介質(zhì)中的Biot-Savart定律2.5.6導(dǎo)電介質(zhì)與傳導(dǎo)電流在外場(chǎng)作用下，導(dǎo)電介質(zhì)中原子核或晶格在空間形成固定點(diǎn)陣，核外自由電子除無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)外，外場(chǎng)作用力將使電子產(chǎn)生定向運(yùn)動(dòng)，形成傳導(dǎo)電流。思考：分析傳導(dǎo)電流與極化和磁化電流異同點(diǎn)2.5.7介質(zhì)中的麥克斯韋方程組微分形式：積分形式：給定電荷和電流分布，真空中Maxwell方程是完備的。介質(zhì)中的Maxwell方程組是不完備的，必須附加其它條件才能對(duì)方程求解。2.5.8介質(zhì)的分類(lèi)介質(zhì)中電場(chǎng)和電位移矢量、磁場(chǎng)和磁感應(yīng)強(qiáng)度不是完全獨(dú)立。通過(guò)介質(zhì)的電磁特性建立起聯(lián)系。聯(lián)系電磁場(chǎng)量與介質(zhì)間關(guān)系的方程為介質(zhì)的本構(gòu)方程。線性均勻各向同性介質(zhì)本構(gòu)方程：2.5.8介質(zhì)的分類(lèi)

線性與非線性：介質(zhì)極化、磁化與傳導(dǎo)與外加電磁場(chǎng)強(qiáng)度是否呈線性。

均勻與非均勻：介質(zhì)極化、磁化與傳導(dǎo)在空間分部是否均勻。

各向同性與各向異性：介質(zhì)電磁特性參數(shù)是否與外加電磁場(chǎng)方向有關(guān)。

色散與非色散：介質(zhì)參數(shù)除了是觀測(cè)點(diǎn)和觀測(cè)時(shí)刻t的函數(shù)，同時(shí)是否還是影響點(diǎn)和影響時(shí)刻的函數(shù)。2.6電磁場(chǎng)的邊界條件2.6.1介質(zhì)分界面的電磁場(chǎng)實(shí)際電磁場(chǎng)問(wèn)題都是在一定的空間和時(shí)間范圍內(nèi)發(fā)生的，它有起始狀態(tài)（靜態(tài)電磁場(chǎng)例外）和邊界狀態(tài)。即使是無(wú)界空間中的電磁場(chǎng)問(wèn)題，該無(wú)界空間也可能是由多種不同介質(zhì)組成的，不同介質(zhì)的交界面和無(wú)窮遠(yuǎn)界面上電磁場(chǎng)構(gòu)成了邊界條件。2.6.1介質(zhì)分界面的電磁場(chǎng)電磁場(chǎng)的邊界條件，是指不同介質(zhì)的交界面電磁場(chǎng)服從的條件，也可理解為不同介質(zhì)的交界面兩側(cè)電磁場(chǎng)滿足的方程或規(guī)律，是一組描述不同媒質(zhì)分界面兩側(cè)場(chǎng)矢量突變關(guān)系的方程。從麥克斯韋方程的積分形式出發(fā)！2.6.2邊界的法向分量條件把積分Maxwell方程組應(yīng)用到圖所表示的兩媒質(zhì)交界面的扁平圓盤(pán)。根據(jù)Gauss定理，讓h→0，場(chǎng)在扁平圓盤(pán)壁上的通量為零，得到：2.6.3邊界的切向分量條件

在介質(zhì)分界面兩側(cè)，選取如圖所示的積環(huán)路，將麥克斯韋方程組相應(yīng)方程代入，同時(shí)讓h→0，可得邊界條件：邊界條件：電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的切向分量在分界面上總是連續(xù)的。