概率論與數(shù)理統(tǒng)計：8-2正態(tài)總體均值的假設檢驗

第二節(jié)正態(tài)總體均值的假設檢驗一、單個總體均值的檢驗二、兩個總體均值差的檢驗(t

檢驗)三、基于成對數(shù)據(jù)的檢驗(t

檢驗)四、小結一、單個總體均值的檢驗一個有用的結論有相同的拒絕域.證明從直觀上看,合理的檢驗法則是:由標準正態(tài)分布的分布函數(shù)的單調性可知,第二類形式的檢驗問題可歸結為第一類形式討論.例1某切割機在正常工作時,切割每段金屬棒的平均長度為10.5cm,標準差是0.15cm,今從一批產(chǎn)品中隨機的抽取15段進行測量,其結果如下:假定切割的長度服從正態(tài)分布,且標準差沒有變化,試問該機工作是否正常?解查表得定理三根據(jù)第六章§2定理三知,在實際中,正態(tài)總體的方差常為未知,所以我們常用t

檢驗法來檢驗關于正態(tài)總體均值的檢驗問題.上述利用t

統(tǒng)計量得出的檢驗法稱為t檢驗法.如果在例1中只假定切割的長度服從正態(tài)分布,問該機切割的金屬棒的平均長度有無顯著變化?解查表得t分布表例2某種電子元件的壽命X(以小時計)服從正態(tài)分布,均為未知.現(xiàn)測得16只元件的壽命如下:問是否有理由認為元件的平均壽命大于225(小時)?例3解依題意需檢驗假設查表得t分布表二、兩個總體的情況利用t檢驗法檢驗具有相同方差的兩正態(tài)總體均值差的假設.定理四根據(jù)第六章§2定理四知,其拒絕域的形式為故拒絕域為關于均值差的其它兩個檢驗問題的拒絕域見表8.1,當兩個正態(tài)總體的方差均為已知(不一定相等)時,我們可用Z檢驗法來檢驗兩正態(tài)總體均值差的假設問題,見表8.1.例4在平爐上進行一項試驗以確定改變操作方法的建議是否會增加鋼的得率,試驗是在同一只平爐上進行的.每煉一爐鋼時除操作方法外,其它條件都盡可能做到相同.先采用標準方法煉一爐,然后用建議的新方法煉一爐,以后交替進行,各煉了10爐,其得率分別為(1)標準方法:78.1,72.4,76.2,74.3,77.4,78.4,76.0,75.5,76.7,77.3;(2)新方法:79.1,81.0,77.3,79.1,80.0,78.1,79.1,77.3,80.2,82.1;設這兩個樣本相互獨立,且分別來自正態(tài)總體問建議的新操作方法能否提高得率?解分別求出標準方法和新方法下的樣本均值和樣本方差:即認為建議的新操作方法較原來的方法為優(yōu).附表8.1查表8.1知其拒絕域為例5有甲、乙兩臺機床加工相同的產(chǎn)品,從這兩臺機床加工的產(chǎn)品中隨機地抽取若干件,測得產(chǎn)品直徑(單位:mm)為機床甲:20.5,19.8,19.7,20.4,20.1,20.0,19.0,19.9機床乙:19.7,20.8,20.5,19.8,19.4,20.6,19.2,試比較甲、乙兩臺機床加工的產(chǎn)品直徑有無顯著差異?假定兩臺機床加工的產(chǎn)品直徑都服從正態(tài)分布,且總體方差相等.解即甲、乙兩臺機床加工的產(chǎn)品直徑無顯著差異.三、基于成對數(shù)據(jù)的檢驗(t檢驗)有時為了比較兩種產(chǎn)品,或兩種儀器,兩種方法等的差異,我們常在相同的條件下作對比試驗,得到一批成對的觀察值.然后分析觀察數(shù)據(jù)作出推斷.這種方法常稱為逐對比較法.例6有兩臺光譜儀Ix

,Iy

,用來測量材料中某種金屬的含量,為鑒定它們的測量結果有無顯著差異,制備了9件試塊(它們的成分、金屬含量、均勻性等各不相同),現(xiàn)在分別用這兩臺機器對每一試塊測量一次,得到9對觀察值如下:問能否認為這兩臺儀器的測量結果有顯著的差異?解本題中的數(shù)據(jù)是成對的,即對同一試塊測出一對數(shù)據(jù),我們看到一對與另一對之間的差異是由各種因素,如材料成分、金屬含量、均勻性等因素引起的.[這也表明不能將光譜儀Ix

對9個試塊的測量結果(即表中第一行)看成是一個樣本,同樣也不能將表中第二行看成一個樣本,因此不能用表8.1中第4欄的檢驗法作檢驗].而同一對中兩個數(shù)據(jù)的差異則可看成是僅由這兩臺儀器性能的差異所引起的.這樣,局限于各對中兩個數(shù)據(jù)來比較就能排除種種其他因素,而只考慮單獨由儀器的性能所產(chǎn)生的影響.表中第三行表示各對數(shù)據(jù)的差若兩臺機器的性能一樣,隨機誤差可以認為服從正態(tài)分布,其均值為零.按表8.1中第二欄中關于單個正態(tài)分布均值的t檢驗,知拒絕域為認為這兩臺儀器的測量結果無顯著的差異.四、小結本節(jié)學習的正態(tài)總體均值的假設檢驗有:正態(tài)總體均值、方差的檢驗法見下表

432

1765附表8.1

4321第六章§2定理三第六章§2定理四t分布表a=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.70624.30273.18242.77642.57062.44692.36462.30602.26222.22812.20102.17882.16042.14482.13152.119931.82076.96464.54073.74693.36493.14272.99802.89652.82142.76382.71812.68102.65032.62452.60252.583563.65749.92485.84094.60414.03223.70743.49953.35543.24983.16933.10583.05453.01232.97682.94672.92082.1448t分布表b=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.70624.30273.18242.77642.57062.44692.36462.30602.26222.22812.20102.17882.16042.14482.13152.119931.82076.96464.54073.74693.36493.14272.99802.89652.82142.76382.7181