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習(xí)題7.3正項(xiàng)級數(shù)的其它判別法1、3),7),8);2、3),4),7);
§8.3正項(xiàng)級數(shù)的其他判別法一、判別法⒈證明:(根值判別法)⒉極限形式證明:⒊推論:注:①②由根值法知級數(shù)均收斂.例1.例2.解:發(fā)散.例3.收斂.例4.失效!
說明柯西判別法還比較粗糙,主要原因是與(幾何)等比級數(shù)比較.例5.但是發(fā)散二、達(dá)朗伯爾引理:⒈證明:相乘:⒉證明:⒊極限形式:①②證明:⒋推論:注:⒈⒉如前例1條件是充分的,而非必要.
例如級數(shù)由于
故比式判別法無法鑒別此級數(shù)的收斂性.
根據(jù)P22習(xí)題8,當(dāng)時,必有這說明凡能由比式判別法判別收斂性的級數(shù),也能
由根式判別法來判別,亦即根式判別法較之比式判更有效,由根式可知上例收斂。那么,是否就不需要比式判別法了?5.更適用于帶有階乘的級數(shù)例6.發(fā)散例7.例8討論級數(shù)
的斂散性.解因?yàn)楦鶕?jù)推論1,當(dāng)
0<x<1時級數(shù)收斂;當(dāng)
x>1時級數(shù)發(fā)散;而當(dāng)x=1時,所考察的級數(shù)是,它顯然也是
發(fā)散的.三、判別法(與p級數(shù)相比)⒈思考:變形啟發(fā)我們:(了解)⒉判別法①②證明:①從而此即據(jù)引理,②⒊極限形式可等價(jià)敘述為:(證明留作習(xí)題)例8.易知:失效故收斂.解:D’Alembert法失效收斂!例9.根式法更廣泛,
但當(dāng)
r=1時仍無法判別.
而從例12
似乎可以得出這樣得結(jié)論:沒有收斂得“最慢”的收斂級數(shù).因此任何判別法都只能解決一類級數(shù)的收斂問題,而不能解決所有級數(shù)的收斂問題.當(dāng)然我們還可以建立比拉貝判別法更為精細(xì)有效的判別法,但這個過程是無限的.從上面看到,
拉貝判別法雖然判別的范圍比比式或四、Gauss判別法(了解)等價(jià)形式為:要求:⒈
熟練掌握:比較判別法及其極限形式,Cauchy判別
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