微積分課件：2-1數(shù)列極限

第二章極限與連續(xù)§2.1

數(shù)列極限極限的重要性（1）極限是一種思想方法（2）極限是一種概念（3）極限是一種計(jì)算方法

從認(rèn)識(shí)有限到把握無(wú)限

從了解離散到理解連續(xù)

微積分中許多概念是用極限定義的許多物理、幾何量需要用極限來(lái)求數(shù)列的概念

如果按照某一法則,

對(duì)每一nN,對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的實(shí)數(shù)xn,

則得到一個(gè)序列

x1,

x2,

x3,

,

xn

,

,這一序列叫做數(shù)列,

記為{xn},

其中第n項(xiàng)xn叫做數(shù)列的一般項(xiàng).

數(shù)列舉例:2,4,8,

,2n

,

;

1,

-1,1,

,(-1)n+1,

.

注意：數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取x1x5x4x3x2xn

數(shù)列{xn}可以看作數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

它依次取數(shù)軸上的點(diǎn)x1,

x2,

x3,

,

xn

,

.

數(shù)列的幾何意義數(shù)列

如果按照某一法則,

對(duì)每一nN,對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的實(shí)數(shù)xn,

則得到一個(gè)序列

x1,

x2,

x3,

,

xn

,

,這一序列叫做數(shù)列,

記為{xn},

其中第n項(xiàng)xn叫做數(shù)列的一般項(xiàng).

數(shù)列{xn}可以看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù):xn=f(n),

nN.

數(shù)列與函數(shù)數(shù)列

如果按照某一法則,

對(duì)每一nN,對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的實(shí)數(shù)xn,

則得到一個(gè)序列

x1,

x2,

x3,

,

xn

,

,這一序列叫做數(shù)列,

記為{xn},

其中第n項(xiàng)xn叫做數(shù)列的一般項(xiàng).

問(wèn)題:當(dāng)

無(wú)限增大時(shí),是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?通過(guò)觀察:

例如

當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),如果數(shù)列{xn}的一般項(xiàng)xn無(wú)限接近于常數(shù)a,

則常數(shù)a稱為數(shù)列{xn}的極限,或稱數(shù)列{xn}收斂a,記為數(shù)列極限的通俗定義問(wèn)題:“無(wú)限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它.當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),

xn無(wú)限接近于a

.當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),|xn-a|無(wú)限接近于0.當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),|xn-a|可以任意小,要多小就能有多小.當(dāng)n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先給定的任意小的正數(shù).分析

因此,如果n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先給定的任意小的正數(shù),則當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),

xn無(wú)限接近于常數(shù)a.

當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),如果數(shù)列{xn}的一般項(xiàng)xn無(wú)限接近于常數(shù)a,

則數(shù)列{xn}收斂a.數(shù)列極限的精確定義

設(shè){xn}為一數(shù)列如果存在常數(shù)a

對(duì)于任意給定的正數(shù)e

總存在正整數(shù)N

使得當(dāng)n>N

時(shí)不等式|xna|<e總成立

則稱常數(shù)a是數(shù)列{xn}的極限或者稱數(shù)列{xn}收斂于a

記為

如果不存在這樣的常數(shù)a

就說(shuō)數(shù)列{xn}沒(méi)有極限

0,NN

當(dāng)nN時(shí)有|xna|.極限定義的簡(jiǎn)記形式aa-ea+e()數(shù)列極限的幾何意義

0,NN

當(dāng)nN時(shí)有|xna|.存在NN

當(dāng)n<N時(shí)點(diǎn)xn一般落在鄰域(a-e,

a+e)外:當(dāng)n>N時(shí)點(diǎn)xn全都落在鄰域(a-e,

a+e)內(nèi):任意給定a的e鄰域(a-e,

a+e),分析:

例1

證明

0,NN

當(dāng)nN時(shí)有|xna|.

例2分析:

證明

0,NN

當(dāng)nN時(shí)有|xna|.分析:

例3

設(shè)|q|<1,

證明等比數(shù)列1,

q

,

q2,

,

qn-1,

的極限是0.

對(duì)于

0,

要使

|xn-0|=|qn-1-0|=|q|n-1<e

,只要n>log|q|e

+1就可以了.|qn-1-0|=|q|n-1<e,當(dāng)nN時(shí),

有因?yàn)?/p>

0,

證明

N=[log|q|e+1]N

0,NN

當(dāng)nN時(shí)有|xna|.例4證所以,說(shuō)明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結(jié):用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給定尋找N,但不必要求最小的N.例5證例6.

證明證:

>0要使則當(dāng)n>N時(shí),有(要證N,當(dāng)n>N時(shí),有若>0,正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時(shí),都有|xna|<,.limaxnn=￥?則記)

|0cos1|ep<-nn例7.

證:>0,由于要使|xna|<,則當(dāng)n>N時(shí),有例8.

證:

(1)設(shè)

a=1,結(jié)論顯然成立.(2)設(shè)

a>1,從而>1+nn伯努利不等式>0,(3)設(shè)0<a<1,即>0,N,當(dāng)n>N時(shí),有.(因0<a<1)綜合得2．?dāng)?shù)列極限的運(yùn)算數(shù)列極限的運(yùn)算法則：解例2

求下列各極限:解

夾逼定理(兩邊夾定理,迫斂性定理)證:

由條件(2),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),令則當(dāng)時(shí),有由條件(1)即故定理證定理證由絕對(duì)值不等式,得注意：該例題結(jié)論的逆命題不真.例如,{(1)n}.但也有例外的,如當(dāng)a=0時(shí)是成立的.例.證明證:利用夾逼定理.且由<+pnnn22pnnnn+￥?22limnnp+=￥?11lim1=數(shù)列的單調(diào)性單調(diào)增加不減少的單調(diào)減少不增加的嚴(yán)格單調(diào)增加(單調(diào)增加)嚴(yán)格單調(diào)減少(單調(diào)減少)單調(diào)增加(不減少的)單調(diào)減少(不增加的)統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列數(shù)列數(shù)列的有界性數(shù)列的有界性的定義如何定義數(shù)列無(wú)界？

有界的數(shù)列在數(shù)軸上和在直角坐標(biāo)系中的圖形會(huì)是什么樣子？思考：|xn

|<

M*,n

N

xnU(0,M*

),n

N從數(shù)軸上看,有界數(shù)數(shù)列{xn}

的全部點(diǎn)都落在某區(qū)間

(－M*,M*)中.()x0M*－M*??????????x1M3x1xx4x2??????????01xnx3x2x1x0………??????????…若xnM,MR,

則稱

{

xn}有上界.若xnm,mR，

則稱

{

xn}有下界.{

xn}:有界

既有上界又有下界.

一個(gè)數(shù)列有界(有上界,有下界),則必有無(wú)窮多個(gè)界(上界,下界).

現(xiàn)在來(lái)討論如何定義數(shù)列的無(wú)有界性：

首先看有界性定義的關(guān)鍵所在對(duì)所有的例證分析M單調(diào)有界定理單調(diào)有界數(shù)列必有極限

幾何解釋x1x5x4x3x2xnA

以單調(diào)增加數(shù)列為例數(shù)列的點(diǎn)只可能向右一個(gè)方向移動(dòng)或者無(wú)限向右移動(dòng)或者無(wú)限趨近于某一定點(diǎn)A而對(duì)有界數(shù)列只可能后者情況發(fā)生

例.設(shè)證明數(shù)列極限存在.證:利用牛頓二項(xiàng)式公式,有大大正又比較可知根據(jù)單調(diào)有界定理可知數(shù)列記此極限為e,e為無(wú)理數(shù),其值為即有極限.又收斂數(shù)列的性質(zhì)定理1(極限的唯一性)

如果數(shù)列{xn}收斂那么它的極限唯一

使當(dāng)n>N時(shí),

同時(shí)有因此同時(shí)有這是不可能的.

所以只能有a=b.

證明

注:

如果M0,使對(duì)nN

有|xn|M,

則稱數(shù)列{xn}是有界的;如果這樣的正數(shù)M不存在,就說(shuō)數(shù)列{xn}是無(wú)界的

收斂數(shù)列的性質(zhì)定理2(收斂數(shù)列的有界性)

如果數(shù)列{xn}收斂那么數(shù)列{xn}一定有界1

如果數(shù)列{xn}收斂,

那么數(shù)列{xn}一定有界發(fā)散的數(shù)列是否一定無(wú)界?有界的數(shù)列是否收斂?2

數(shù)列1,

1,1,

1,

,(1)N1,

的有界性與收斂如何？討論收斂數(shù)列的性質(zhì)定理3(收斂數(shù)列的保號(hào)性)

如果數(shù)列{xn}收斂于a,且a0(或a0)

那么存在正整數(shù)N

當(dāng)nN時(shí)有xn0(或xn0)收斂數(shù)列的性質(zhì)推論4

如果數(shù)列{xn}從某項(xiàng)起有xn0(或xn0)

且數(shù)列{xn}收斂于a

那么a0(或a0)柯西收斂準(zhǔn)則

{}.,,0,0:ee<->>$>"mnn