微積分課件：ch1-2 數列的極限

第二節(jié)數列的極限一、數列本節(jié)要點二、極限的描述三、極限的定義四、極限的幾何意義五、例六、數列極限的性質一、數列記為.

由定義,對每個正整數,數列都確定了一個相應的實數

,這些可按下標從小到大依次排成一個序列正整數集

上的函數稱為數列.注意記號例1

數列中的第

個數又稱為數列的第項,又叫作一般項.一般項一般項一般項一般項例2例3例4對于數列,我們所關心的主要問題是當

無限增大時,數列的變化趨勢是如何的?特別地,是否無限地接近于某個定數?在中學里我們已經知道,對于一個數列如果當無限增大時,無限接近于某個數我們就稱數列的極限就是并記作二、極限的描述

在上面的這些例中,我們發(fā)現例1、2、3都有明確的變化趨勢.例1中,例2中例3中

上面僅僅是通過觀察的方法得到數列的極限.如何用定量化的數學方法來刻畫數列的極限？從本質上看,數某一個定數充分接近.列的極限反映了數列當

趨于無窮大時,數列中的項和對數列

我們知道:兩個數

和

的接近程度可用兩數差的絕只要

即可.即從第101項開始的以后所有項都滿對值來刻畫.大,足這一要求.故只要

充分就充分小.例如要使再如,要使一般:要使只要

即可.即從第項開始的以后所有只要

即可.即從第10001項開始的以后所有項都滿足這一要求.項都滿足這一要求.對上例的分析,可以看到,無論一個正數取得多么小,總可以找到自然數N,

在這項以后的所有項與1的距離都可以小于該數.數學上用來表示一個任意小的正數.由此引入極限的精確定義.三、極限的定義定義設數列如果存在常數使得對任意給定的正數（不論它多么?。?總存在自然數

只要都成立,那么稱常數

是數列的極限,或則稱數列收斂于不等式記為又記為如果這樣的常數

不存在,就說數列沒有極限,或稱數注定義中的自然數

,實際上是某一項下標的序號,注定義中的正數

是一個任意小的數,不能把它和一列是發(fā)散的.個很小的數混為一談.表示自該項以后的所有項.四、極限的幾何意義

設數列收斂于

,則由定義,對任意給定的正數

,一定存在正整數

當時,所有的都落在aa+

a-

x1x2x3xN+1xN+2xN+3xNx一個以

為中心,

為半徑的鄰域中.五、例數列極限的定義實際上也給出了證明極限的方法:即對給定的任意正數

,去尋找滿足不等式的.尋找辦法是從經過不等式的變形,逐步解出

.例5證明數列要使證記取,則當

時,有的極限是1.則對任意的所以例6證明證任取因故取,則當時,有即例7證明取,則當時,有證任取因所以所以例8設

證明.欲使即取當時,有證任取因取整六、數列極限的性質收斂的數列有很多重要性質,對這些性質,大家更要從幾何直觀上加以理解和把握.定理1（極限的惟一性）如果數列收斂,則極限是惟一的.證由定義,取

設當時有因為故今證設同理,

當時有取則當時有,所以矛盾!惟一性的幾何解釋屬于兩個不交的集合定理2（收斂數列的有界性）如果數列收斂,則數列一定有界.證設由定義,對存在當時,有令則對于任意的總有有界了嗎?因而數列有界.定理3（收斂數列的保號性）如果則一定存在正整數且當時有證設由極限定義知存在當時有在數列中,任意抽取無限多項,并保持這些