D8 空間解析幾何與向量代數(shù)

數(shù)量關(guān)系

—第八章第一部分向量代數(shù)第二部分空間解析幾何

在三維空間中:空間形式

—點,

線,

面基本方法

—坐標(biāo)法;向量法坐標(biāo),方程（組）空間解析幾何與向量代數(shù)四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算第一節(jié)一、向量的概念二、向量的線性運算三、空間直角坐標(biāo)系五、向量的模、方向角、投影向量及其線性運算第八章表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又稱矢量).既有大小,又有方向的量稱為向量自由向量:與起點無關(guān)的向量.單位向量:模為1的向量,零向量:模為0的向量,有向線段M1

M2,或a,記作e

或e.或a.規(guī)定:零向量與任何向量平行;若向量a與b大小相等,方向相同,則稱a與b相等,記作a＝b;若向量a與b方向相同或相反,則稱a與b平行,

a∥b;與a

的模相同,但方向相反的向量稱為a

的負(fù)向量,記作因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱兩向量共線

.若k(≥3)個向量經(jīng)平移可移到同一平面上,則稱此k個向量共面

.記作－a;二、向量的線性運算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運算規(guī)律:交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個向量相加.2.向量的減法三角不等式可見3.向量與數(shù)的乘法

是一個數(shù),規(guī)定:總之:運算律:結(jié)合律分配律因此與a

的乘積是一個新向量,記作定理1.

設(shè)

a

為非零向量,則(為唯一實數(shù))證:“”.,取＝±且再證數(shù)的唯一性.則a∥b設(shè)a∥b反向時取負(fù)號,,a,b

同向時取正號則b

與

a

同向,設(shè)又有b＝

a,“”則例1.

設(shè)M

為解:ABCD對角線的交點,已知

b＝a,b＝0a,b同向a,b反向a∥bⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標(biāo)系.

坐標(biāo)原點

坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z

軸(豎軸)過空間一定點O,

坐標(biāo)面

卦限(八個)1.空間直角坐標(biāo)系的基本概念ⅠzOx面在直角坐標(biāo)系下向徑坐標(biāo)軸上的點

P,Q,R;坐標(biāo)面上的點A,B,C點

M特殊點的坐標(biāo):有序數(shù)組(稱為點

M

的坐標(biāo))原點O(0,0,0);坐標(biāo)軸:

坐標(biāo)面:2.向量的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系下,設(shè)點

M

則沿三個坐標(biāo)軸方向的分向量,的坐標(biāo)為此式稱為向量

r

的坐標(biāo)分解式

,任意向量r

可用向徑OM

表示.記四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算則平行向量對應(yīng)坐標(biāo)成比例:設(shè)例2.求解以向量為未知元的線性方程組解:①②2×①－3×②,得代入②得例3.已知兩點在AB所在直線上求一點M,使解:

設(shè)M

的坐標(biāo)為如圖所示及實數(shù)得即說明:由得定比分點公式:點

M為AB

的中點,于是得中點公式:五、向量的模、方向角、投影1.向量的模與兩點間的距離公式則有由勾股定理得因得兩點間的距離公式:對兩點與例4.

求證以證:即為等腰三角形.的三角形是等腰三角形.為頂點例5.

在z

軸上求與兩點等距解:

設(shè)該點為解得故所求點為及思考:(1)如何求在

xOy

面上與A,B

等距離之點的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B

等距離之點的軌跡方程?離的點.(1)如何求在

xOy

面上與A,B

等距離之點的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B

等距離之點的軌跡方程?提示:(1)設(shè)動點為利用得(2)設(shè)動點為利用得且例6.已知兩點解:求AB的單位向量e.2.方向角與方向余弦設(shè)有兩非零向量任取空間一點O,稱=∠AOB(0≤≤

)

為向量

的夾角.類似可定義向量與軸,軸與軸的夾角.與三坐標(biāo)軸的夾角

,,為其方向角.方向角的余弦稱為其方向余弦.

方向余弦的性質(zhì):例7.已知兩點和的模、方向余弦和方向角.

解:計算向量例8.設(shè)點A

位于第一卦限,解:已知角依次為求點A

的坐標(biāo).

則因點A

在第一卦限,故于是故點A

的坐標(biāo)為向徑OA

與x

軸y軸的夾第二節(jié)3.向量在軸上的投影第二節(jié)則

a

在軸u

上的投影為例如,在坐標(biāo)軸上的投影分別為設(shè)a

與u

軸正向的夾角為

,,即投影的性質(zhì)2)1)(為實數(shù))例9.第二節(jié)設(shè)立方體的一條對角線為OM,一條棱為OA,且求OA在OM

方向上的投影.解:

如圖所示,記∠MOA=,作業(yè)

P123,5,13,14,

15,18,19備用題解:

因1.

設(shè)求向量在x

軸上的投影及在y軸上的分向量.在y

軸上的分向量為故在x

軸上的投影為2.設(shè)求以向量行四邊形的對角線的長度.該平行四邊形的對角線的長度各為對角線的長為解：為邊的平*三、向量的混合積第二節(jié)一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積數(shù)量積向量積*混合積第八章一、兩向量的數(shù)量積沿與力夾角為的直線移動,1.定義設(shè)向量的夾角為,稱記作數(shù)量積(點積).引例.

設(shè)一物體在常力F作用下,位移為s,則力F

所做的功為記作故2.性質(zhì)為兩個非零向量,則有3.運算律(1)交換律(2)結(jié)合律(3)分配律事實上,當(dāng)時,顯然成立;例1.

證明三角形余弦定理證:如圖.則設(shè)4.數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)則當(dāng)為非零向量時,由于兩向量的夾角公式,得例2.

已知三點AMB.解:則求故為

).求單位時間內(nèi)流過該平面域的流體的質(zhì)量P(流體密度例3.

設(shè)均勻流速為的流體流過一個面積為A的平面域

,與該平面域的單位垂直向量解:單位時間內(nèi)流過的體積:的夾角為且為單位向量二、兩向量的向量積引例.

設(shè)O為杠桿L的支點,有一個與杠桿夾角為符合右手規(guī)則矩是一個向量

M:的力F作用在杠桿的P點上,則力F

作用在杠桿上的力1.定義定義向量方向:(叉積)記作且符合右手規(guī)則模:向量積,稱引例中的力矩思考:

右圖三角形面積S＝2.性質(zhì)為非零向量,則∥∥3.運算律(2)分配律(3)結(jié)合律(證明略)證明:4.向量積的坐標(biāo)表示式設(shè)則向量積的行列式計算法(行列式計算見上冊P355～P358)例4.已知三點角形

ABC

的面積

.解:

如圖所示,求三一點M

的線速度例5.設(shè)剛體以等角速度繞l

軸旋轉(zhuǎn),導(dǎo)出剛體上的表示式.解:

在軸l

上引進一個角速度向量使其在l

上任取一點O,作它與則點M離開轉(zhuǎn)軸的距離且符合右手法則的夾角為

,

方向與旋轉(zhuǎn)方向符合右手法則,向徑*三、向量的混合積1.定義已知三向量稱數(shù)量混合積

.記作幾何意義為棱作平行六面體,底面積高故平行六面體體積為則其2.混合積的坐標(biāo)表示設(shè)3.性質(zhì)(1)三個非零向量共面的充要條件是(2)輪換對稱性:(可用三階行列式推出)例6.已知一四面體的頂點4),求該四面體體積.解:

已知四面體的體積等于以向量為棱的平行六面體體積的故例7.

已知A(1,2,0)、B(2,3,1)、C(4,2,2)、四點共面,求點M的坐標(biāo)x、y、z

所滿足的方程.解:

A、B、C、M

四點共面展開行列式即得點M的坐標(biāo)所滿足的方程AM、AB、AC

三向量共面即內(nèi)容小結(jié)設(shè)1.向量運算加減:數(shù)乘:點積:叉積:混合積:2.向量關(guān)系:思考與練習(xí)1.設(shè)計算并求夾角

的正弦與余弦.答案:2.用向量方法證明正弦定理:證:由三角形面積公式所以因P223,4,6,7,9(1);(2),10,12第三節(jié)作業(yè)備用題1.已知向量的夾角且解：在頂點為三角形中,求AC

邊上的高BD.解：三角形ABC的面積為2.而故有四、二次曲面第三節(jié)一、曲面方程的概念二、旋轉(zhuǎn)曲面

三、柱面曲面及其方程第八章一、曲面方程的概念求到兩定點A(1,2,3)

和B(2,-1,4)等距離的點的化簡得即說明:動點軌跡為線段

AB的垂直平分面.引例:顯然在此平面上的點的坐標(biāo)都滿足此方程,不在此平面上的點的坐標(biāo)不滿足此方程.解:設(shè)軌跡上的動點為軌跡方程.

定義1.如果曲面

S

與方程

F(x,y,z)=0有下述關(guān)系:(1)曲面

S上的任意點的坐標(biāo)都滿足此方程則F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.兩個基本問題:(1)已知一曲面作為點的幾何軌跡時,(2)不在曲面S上的點的坐標(biāo)不滿足此方程求曲面方程.(2)已知方程時,研究它所表示的幾何形狀(必要時需作圖).故所求方程為例1.

求動點到定點方程.特別,當(dāng)M0在原點時,球面方程為解:

設(shè)軌跡上動點為即依題意距離為

R

的軌跡表示上(下)球面.例2.

研究方程解:

配方得可見此方程表示一個球面說明:如下形式的三元二次方程

(A≠0)都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面.表示怎樣半徑為球心為一個球面,或點,或虛軌跡.定義2.一條平面曲線二、旋轉(zhuǎn)曲面

繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.例如:建立yOz面上曲線C

繞

z

軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當(dāng)繞

z軸旋轉(zhuǎn)時,若點給定yOz

面上曲線

C:則有則有該點轉(zhuǎn)到思考：當(dāng)曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)時，方程如何？例3.試建立頂點在原點,旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為的圓錐面方程.解:在yOz面上直線L的方程為繞z

軸旋轉(zhuǎn)時,圓錐面的方程為兩邊平方例4.

求坐標(biāo)面xOz

上的雙曲線分別繞

x軸和

z

軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:繞

x

軸旋轉(zhuǎn)繞

z

軸旋轉(zhuǎn)這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為三、柱面引例.

分析方程表示怎樣的曲面.的坐標(biāo)也滿足方程解:在

xOy

面上，表示圓C,沿圓周C平行于

z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間過此點作柱面.對任意

z,平行

z

軸的直線

l,表示圓柱面在圓C上任取一點

其上所有點的坐標(biāo)都滿足此方程,定義3.平行定直線并沿定曲線C

移動的直線l

形成的軌跡叫做柱面.表示拋物柱面,母線平行于

z

軸;準(zhǔn)線為xOy

面上的拋物線.

z

軸的橢圓柱面.z

軸的平面.表示母線平行于(且z

軸在平面上)表示母線平行于C

叫做準(zhǔn)線,l

叫做母線.一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于x

軸;平行于

y

軸;平行于

z

軸;準(zhǔn)線xOz

面上的曲線l3.母線柱面,準(zhǔn)線

xOy

面上的曲線l1.母線準(zhǔn)線

yOz

面上的曲線l2.母線四、二次曲面三元二次方程適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點進行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形統(tǒng)稱為二次曲面.(二次項系數(shù)不全為0)1.橢球面(1)范圍：(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓與的交線為橢圓：(4)當(dāng)a＝b

時為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當(dāng)a＝b＝c

時為球面.(3)截痕:為正數(shù))2.拋物面(1)橢圓拋物面(p,q

同號)(2)雙曲拋物面（鞍形曲面）(p,q同號)特別,當(dāng)p=q時為繞

z軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.3.雙曲面(1)單葉雙曲面橢圓.時,截痕為(實軸平行于x

軸；虛軸平行于z軸）平面

上的截痕情況:雙曲線:虛軸平行于x軸）時,截痕為時,截痕為(實軸平行于z

軸;相交直線:雙曲線:(2)雙葉雙曲面雙曲線橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別:雙曲線單葉雙曲面雙葉雙曲面P18圖形4.橢圓錐面橢圓在平面x＝0或y＝0上的截痕為過原點的兩直線.可以證明,橢圓①上任一點與原點的連線均在曲面上.①(橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng)x

或y方向的伸縮變換得到,見P28)內(nèi)容小結(jié)1.

空間曲面三元方程球面旋轉(zhuǎn)曲面如,曲線繞z

軸的旋轉(zhuǎn)曲面:

柱面如,曲面表示母線平行z

軸的柱面.又如,橢圓柱面,雙曲柱面,拋物柱面等.2.二次曲面三元二次方程橢球面拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面橢圓錐面:斜率為1的直線平面解析幾何中空間解析幾何中方程平行于y

軸的直線平行于yOz

面的平面圓心在(0,0)半徑為3的圓以z軸為中心軸的圓柱面平行于z

軸的平面思考與練習(xí)1.指出下列方程的圖形:2.P30題3,10題10答案:在xOy

面上作業(yè)P30

2;4;7;8

(1),(5);11第四節(jié)第八章一、空間曲線的一般方程二、空間曲線的參數(shù)方程三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影第四節(jié)空間曲線及其方程一、空間曲線的一般方程空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組例如,方程組表示圓柱面與平面的交線

C.C又如,方程組表示上半球面與圓柱面的交線C.二、空間曲線的參數(shù)方程將曲線C上的動點坐標(biāo)

x,y,z表示成參數(shù)

t

的函數(shù):稱它為空間曲線的參數(shù)方程.例如,圓柱螺旋線的參數(shù)方程為上升高度,稱為螺距

.例1.將下列曲線化為參數(shù)方程表示:解:(1)根據(jù)第一方程引入?yún)?shù),(2)將第二方程變形為故所求為得所求為例2.求空間曲線:繞z

軸旋轉(zhuǎn)時的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:點M1繞

z

軸旋轉(zhuǎn),轉(zhuǎn)過角度后到點則這就是旋轉(zhuǎn)曲面滿足的參數(shù)方程.例如,

直線繞z

軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為消去t

和

,得旋轉(zhuǎn)曲面方程為繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面(即球面)方程為又如,

xOz

面上的半圓周說明:

一般曲面的參數(shù)方程含兩個參數(shù),形如三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影設(shè)空間曲線C的一般方程為消去

z

得投影柱面則C在xOy

面上的投影曲線C′為消去x得C在yOz

面上的投影曲線方程消去y得C在zOx

面上的投影曲線方程例如,在xOy

面上的投影曲線方程為又如,所圍的立體在xOy

面上的投影區(qū)域為:上半球面和錐面在xOy

面上的投影曲線二者交線所圍圓域:二者交線在xOy

面上的投影曲線所圍之域.內(nèi)容小結(jié)

空間曲線三元方程組或參數(shù)方程

求投影曲線

(如,圓柱螺線)思考與練習(xí)

P36題

1，2，7（展示空間圖形）P36題1

(2)(1)答案:(3)P36題2(1)思考:交線情況如何?交線情況如何?P36題2(2)P37題7P363，4，5，6,8作業(yè)第五節(jié)備用題求曲線繞z

軸旋轉(zhuǎn)的曲面的交線在

xOy

平面的投影曲線方程.解：旋轉(zhuǎn)曲面方程為交線為此曲線向xOy

面的投影柱面方程為

此曲線在xOy

面上的投影曲線方程為,它與所給平面的與平面第五節(jié)一、平面的點法式方程二、平面的一般方程三、兩平面的夾角平面及其方程第八章①一、平面的點法式方程設(shè)一平面通過已知點且垂直于非零向稱①式為平面的點法式方程,求該平面的方程.法向量.量則有故例1.求過三點即解:取該平面

的法向量為的平面

的方程.利用點法式得平面的方程此平面的三點式方程也可寫成一般情況:過三點的平面方程為說明:特別,當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點分別為此式稱為平面的截距式方程.時,平面方程為分析:利用三點式按第一行展開得即二、平面的一般方程設(shè)有三元一次方程以上兩式相減,得平面的點法式方程此方程稱為平面的一般任取一組滿足上述方程的數(shù)則顯然方程②與此點法式方程等價,

②的平面,因此方程②的圖形是法向量為方程.特殊情形?

當(dāng)

D=0時,Ax+By+Cz=0表示

通過原點的平面;?當(dāng)

A=0時,By+Cz+D=0的法向量平面平行于

x

軸;?

Ax+Cz+D=0表示?

Ax+By+D=0表示?

Cz+D=0表示?Ax+D=0表示?

By+D=0表示平行于

y

軸的平面;平行于

z

軸的平面;平行于xOy

面的平面;平行于yOz

面的平面；平行于zOx

面的平面.例2.

求通過x軸和點(4,–

3,–

1)的平面方程.例3.用平面的一般式方程導(dǎo)出平面的截距式方程.解:因平面通過

x軸,設(shè)所求平面方程為代入已知點得化簡,得所求平面方程(P39例4,自己練習(xí))三、兩平面的夾角設(shè)平面∏1的法向量為

平面∏2的法向量為則兩平面夾角

的余弦為即兩平面法向量的夾角(常指銳角)稱為兩平面的夾角.特別有下列結(jié)論：因此有例4.一平面通過兩點垂直于平面∏:x+y+z=0,

求其方程.解:

設(shè)所求平面的法向量為即的法向量約去C,得即和則所求平面故方程為且外一點,求例5.設(shè)解:設(shè)平面法向量為在平面上取一點是平面到平面的距離d.,則P0

到平面的距離為(點到平面的距離公式)例6.解:

設(shè)球心為求內(nèi)切于平面

x+y+z=1

與三個坐標(biāo)面所構(gòu)成則它位于第一卦限,且因此所求球面方程為四面體的球面方程.故內(nèi)容小結(jié)1.平面基本方程:一般式點法式截距式三點式2.平面與平面之間的關(guān)系平面平面垂直:平行:夾角公式:思考與練習(xí)P42

題4,5,8第六節(jié)作業(yè)P422,6,7,9備用題求過點且垂直于二平面和的平面方程.解:

已知二平面的法向量為取所求平面的法向量則所求平面方程為化簡得第六節(jié)一、空間直線方程二、線面間的位置關(guān)系空間直線及其方程第八章一、空間直線方程因此其一般式方程1.一般式方程直線可視為兩平面交線，(不唯一)2.對稱式方程故有說明:

某些分母為零時,其分子也理解為零.設(shè)直線上的動點為則此式稱為直線的對稱式方程(也稱為點向式方程)直線方程為已知直線上一點例如,當(dāng)和它的方向向量3.參數(shù)式方程設(shè)得參數(shù)式方程:例1.用對稱式及參數(shù)式表示直線解:先在直線上找一點.再求直線的方向向量令x=1,解方程組,得交已知直線的兩平面的法向量為是直線上一點.故所給直線的對稱式方程為參數(shù)式方程為解題思路:先找直線上一點;再找直線的方向向量.是直線上一點二、線面間的位置關(guān)系1.兩直線的夾角

則兩直線夾角

滿足設(shè)直線

L1,L2的方向向量分別為兩直線的夾角指其方向向量間的夾角(通常取銳角)特別有:例2.

求以下兩直線的夾角解:直線L1的方向向量為直線L2的方向向量為二直線夾角的余弦為(參考P44例2)從而當(dāng)直線與平面垂直時,規(guī)定其夾角為線所夾銳角

稱為直線與平面間的夾角;2.

直線與平面的夾角當(dāng)直線與平面不垂直時,設(shè)直線

L的方向向量為平面

的法向量為則直線與平面夾角

滿足直線和它在平面上的投影直︿特別有:解:

取已知平面的法向量則直線的對稱式方程為直的直線方程.

為所求直線的方向向量.垂例3.求過點(1,－2,4)

且與平面1.空間直線方程一般式對稱式參數(shù)式

內(nèi)容小結(jié)

直線2.線與線的關(guān)系直線夾角公式:平面:L⊥

L//夾角公式：3.面與線間的關(guān)系直線L:作業(yè)P48

3，4，5，7，9P48題2,10習(xí)題課思考與練習(xí)解：相交,求此直線方程

.的方向向量為過A

點及面的法向量為則所求直線的方向向量方法1利用叉積.所以一直線過點且垂直于直線又和直線備用題設(shè)所求直線與

L2的交點為待求直線的方向向量方法2利用所求直線與L2的交點.即故所求直線方程為則有代入上式,得由點向式得所求直線方