主切應(yīng)力和最大切應(yīng)力 材料成型原理

主切應(yīng)力平面：使切應(yīng)力達(dá)到極大值的平面稱為主切應(yīng)力平面；

主切應(yīng)力：主切應(yīng)力平面上所作用的切應(yīng)力稱為主切應(yīng)力。

在主軸空間中，垂直于一個(gè)主平面而與另兩個(gè)主平面交角為45?的平面就是主切應(yīng)力平面。

三、主切應(yīng)力和最大切應(yīng)力

圖14-6

主切應(yīng)力平面圖

22111

a）

1,022???nml

b）21,0????nml

c1,0????nlm??????????????????222133132232112?????????（14-18）

主切應(yīng)力平面上的主切應(yīng)力為

21,0????nml

c）21,0????nlm

d）21,0????mln

主切應(yīng)力角標(biāo)表示與主切應(yīng)力平面呈45?相交的兩主平面的編號(hào)。三個(gè)主切應(yīng)力平面也是互相正交。

最大切應(yīng)力：

主切應(yīng)力中絕對(duì)值最大的一個(gè)稱為最大切應(yīng)力，用?max表示。

設(shè)三個(gè)主應(yīng)力的關(guān)系為

，則

????????????????????????222222133132232112133132232112??????????????????；；；231max?????321?????主切應(yīng)力平面上的正應(yīng)力值和主切應(yīng)力值

（14-19）

（14-20）

主切應(yīng)力的性質(zhì)：

?若?1=?2=?3=??，即變形體處于三向等拉或三向等壓的應(yīng)力狀態(tài)（即球應(yīng)力狀態(tài)）時(shí)，主切應(yīng)力為零：?12=?23=?31=0

?若三個(gè)主應(yīng)力同時(shí)增加或減少一個(gè)相同的值時(shí)，主切應(yīng)力值將保持不變。

四、應(yīng)力偏張量和應(yīng)力球張量

應(yīng)力張量分解為應(yīng)力偏張量和應(yīng)力球張量

?????????????????????????????????????????????????????mmmzzyzxyzyyxxzxyxmzzyzxyzmyyxxzxymxzzyzxyzyyxxzxyxij000000??????????????????????????????????mijijij????????????????????????????????????????????????????????????mmmmmmij????????????????000000000000000000000000321321321或

（14-21）

若取主坐標(biāo)系，則

其中，?m為三個(gè)正應(yīng)力分量的平均值，稱平均應(yīng)力（或靜水壓力），即

應(yīng)力球張量：

表示球應(yīng)力狀態(tài)，也稱靜水應(yīng)力狀態(tài)，稱為應(yīng)力球張量，其任何方向都是主方向，且主應(yīng)力相同，均為平均應(yīng)力。

特點(diǎn)：在任何切平面上都沒有切應(yīng)力，所以不能使物體產(chǎn)生形狀變化，而只能產(chǎn)生體積變化，即不能使物體產(chǎn)生塑性變形。

132131)(31)(31Jzyxm??????????????mij??應(yīng)力偏張量：

稱為應(yīng)力偏張量，是由原應(yīng)力張量分解出應(yīng)力球張量后得到的。

應(yīng)力偏張量的切應(yīng)力分量、主切應(yīng)力、最大切應(yīng)力及應(yīng)力主軸等都與原應(yīng)力張量相同。

特點(diǎn)：應(yīng)力偏張量只使物體產(chǎn)生形狀變化，而不能產(chǎn)生體積變化。材料的塑性變形是由應(yīng)力偏張量引起的。

ij??應(yīng)力偏張量不變量

???????????????????321321323222121])()()[(610?????????JJJ對(duì)于主軸坐標(biāo)系

??????????????????????????????????????????????????????????)(2)](6)()()[(61)(0)()()(222322222222221xyzzxyyzxzxyzxyzyxzxyzxyxzzyyxzxyzxyxzzyyxmzmymxzyxJJJ???????????????????????????????????????

應(yīng)力偏張量用來表示不同的變形類型。如J1?=0，J2?與屈服準(zhǔn)則有關(guān)，J3?決定了應(yīng)變的類型：J3?>0屬伸長應(yīng)變，J3?=0屬平面應(yīng)變，J3?<0屬壓縮應(yīng)變。

（14-22）

（14-23）

五、等效應(yīng)力

等效應(yīng)力：把復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力值折合成單向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力值

在主軸坐標(biāo)系中

在任意坐標(biāo)系中

22132322213)()()(21J???????????????)(6)()()(21222222zxyzxyxzzyyx???????????????????（14-24）

（14-25）

對(duì)于單向應(yīng)力狀態(tài)，設(shè)

代入式（14-25），可得：

。由此可見，等效應(yīng)力等于單向應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力

。

等效應(yīng)力表示了三個(gè)主應(yīng)力的綜合效果，可以在一定意義上“代表”整個(gè)應(yīng)力狀態(tài)中的偏張量的綜合效果，與材料的塑性變形密切有關(guān)。也稱為廣義應(yīng)力或應(yīng)力強(qiáng)度。

00321??????，1???14.4應(yīng)力平衡微分方程

應(yīng)力是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，即

),,(zyxfij??圖14-8

靜力平橫狀態(tài)下的六面體上的應(yīng)力

在直角坐標(biāo)系中，

點(diǎn)Q(x,y,z)的應(yīng)力狀態(tài)為?ij。

無限鄰近處

點(diǎn)Q?((x+dx),(y+dy),(z+dz))

分析：

Q?點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為

如在Q?點(diǎn)的x面上，其正應(yīng)力分量為

ijijd???xxxx21xx)zy,x,()z,y,xx(xx222ddfdffdfdxx????????????????????則Q?點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為

???????????????????????????????????????????????zzzzzzyyyyyyxxxxxxzzzyzyzxzxyzyzyyxyxxzxzxyxyxddddddddddyxijij????????????????????2）由平衡條件,有

??0xP0yxyx)zz(xzxz)yy(zyzy)xx(zxzxzxyxyxyxxxx???????????????ddddddddddddddd?????????由此得

0?????????zyxzxyxx???得質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)力平衡微分方程

????????????????????????????????????000zyxzyxzyxzyzxzzyyxyzxyxx?????????

（14-26）

0???iijx?簡記為

14.5應(yīng)力莫爾圓

應(yīng)力莫爾圓：應(yīng)力狀態(tài)的幾何表示法，

切應(yīng)力的正、負(fù)規(guī)定：在作應(yīng)力莫爾圓時(shí)，順時(shí)針方向作用于單元體上切應(yīng)力為正，反之為負(fù)。

一、平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力莫爾圓

圖14-9

平面應(yīng)力狀態(tài)下的莫爾圓

a)平面應(yīng)力單元體

b)應(yīng)力莫爾圓

平面應(yīng)力狀態(tài)下，已知?x，?y，?xy，

用應(yīng)力莫爾圓求任意斜面上的應(yīng)力、主應(yīng)力和主切應(yīng)力。

分析：

在?—?坐標(biāo)系內(nèi)標(biāo)出點(diǎn)A（?x，?xy）和點(diǎn)B（?y，?yx），連接AB兩點(diǎn)，以AB線與?軸的交點(diǎn)C為圓心，AC為半徑做圓，即得應(yīng)力莫爾圓。

平面應(yīng)力狀態(tài)下的圓方程為

此時(shí)，圓心坐標(biāo)為

，半徑為

圓與?軸的兩個(gè)交點(diǎn)即為主應(yīng)力?1，?2。

該圓可以描述任意微分面上

?，?

的變化規(guī)律，圓周上每一點(diǎn)代表了一個(gè)物理平面上的應(yīng)力。

)0,2(yx???22)2(xyyxR??????2222)2()2(xyyxyx?????????????（14-29）

由幾何關(guān)系可得平面應(yīng)力狀態(tài)下主應(yīng)力與?x，?y，?xy

之間的關(guān)系

主應(yīng)力?1與x軸之間的夾角

從應(yīng)力莫爾圓上可得到主切應(yīng)力

yxxy???????2arctan2122112??????（14-30）

2221)2(2xyyxyx????????????（14-29）

注：應(yīng)力莫爾圓上平面之間的夾角是實(shí)際物理平面之間夾角的兩倍。

二、三向應(yīng)力莫爾圓

對(duì)于三向應(yīng)力狀態(tài)，設(shè)變形體中某點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力為?1，?2，?3，且?1>?2>?3，三向應(yīng)力莫爾圓為:圖

14-10

三向應(yīng)力莫爾圓

圓心的坐標(biāo)和半徑分別為

O3)0,2(21???

O1)0,2(32???

O2)0,2(31???

R3=221???

R2=231???

R1=232???

應(yīng)力莫爾圓形表示，三個(gè)圓的半徑分別等于三個(gè)主切應(yīng)力，主應(yīng)力分別是三個(gè)圓兩兩相切的切點(diǎn)，位于水平坐標(biāo)軸上。

三個(gè)圓的方程

為

???????