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文檔簡介
2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù),若是純虛數(shù),則實數(shù)等于()A.2 B.1 C.0或1 D.-12.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式:,則從到時,左邊應(yīng)添加的項為()A. B.C. D.3.已知、為雙曲線C:的左、右焦點,點P在C上,∠P=,則A.2 B.4 C.6 D.84.已知平面α與平面β相交,a是α內(nèi)的一條直線,則()A.在β內(nèi)必存在與a平行的直線 B.在β內(nèi)必存在與a垂直的直線C.在β內(nèi)必不存在與a平行的直線 D.在β內(nèi)不一定存在與a垂直的直線5.設(shè),向量,,且,則()A. B. C. D.6.設(shè),則的虛部是()A. B. C. D.7.已知定義在R上的增函數(shù)f(x),滿足f(-x)+f(x)=0,x1,x2,x3∈R,且x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0,則f(x1)+f(x2)+f(x3)的值()A.一定大于0 B.一定小于0C.等于0 D.正負都有可能8.若函數(shù)存在增區(qū)間,則實數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.9.已知隨機變量,若,則的值為()A.0.1 B.0.3 C.0.6 D.0.410.的展開式中的系數(shù)為()A.100 B.80 C.60 D.4011.將名教師,名學(xué)生分成個小組,分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動,每個小組由名教師和名學(xué)生組成,不同的安排方案共有()A.種 B.種 C.種 D.種12.在等比數(shù)列中,若,,則A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.引入隨機變量后,下列說法正確的有:__________(填寫出所有正確的序號).①隨機事件個數(shù)與隨機變量一一對應(yīng);②隨機變量與自然數(shù)一一對應(yīng);③隨機變量的取值是實數(shù).14.某研究性學(xué)習(xí)小組調(diào)查研究學(xué)生玩手機對學(xué)習(xí)的影響,部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表玩手機不玩手機合計學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀4812學(xué)習(xí)成績不優(yōu)秀16218合計201030經(jīng)計算的值,則有__________的把握認為玩手機對學(xué)習(xí)有影響.附:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828,.15.為等比數(shù)列,若,則_______.16.若雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離等于焦距的,則該雙曲線的漸近線方程是__________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知點A(0,-2),橢圓E:(a>b>0)的離心率為,F(xiàn)是橢圓E的右焦點,直線AF的斜率為,O為坐標(biāo)原點.(1)求E的方程;(2)設(shè)過點A的動直線l與E相交于P,Q兩點.當(dāng)△OPQ的面積最大時,求l的方程.18.(12分)某校在一次趣味運動會的頒獎儀式上,高一、高二、高三各代表隊人數(shù)分別為160人、120人、人.為了活躍氣氛,大會組委會在頒獎過程中穿插抽獎活動,并用分層抽樣的方法從三個代表隊中共抽取20人到前排就坐,其中高二代表隊有6人.(1)求的值;(2)把到前排就坐的高二代表隊6人分別記為,,,,,,現(xiàn)隨機從中抽取2人上臺抽獎.求或沒有上臺抽獎的概率.(3)抽獎活動的規(guī)則是:代表通過操作按鍵使電腦自動產(chǎn)生兩個之間的均勻隨機數(shù),,并按如圖所示的程序框圖執(zhí)行.若電腦顯示“中獎”,則該代表中獎;若電腦顯示“謝謝”,則不中獎,求該代表中獎的概率.19.(12分)已知復(fù)數(shù)(a,),(c,).(1)當(dāng),,,時,求,,;(2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果猜想與的關(guān)系,并證明該關(guān)系的一般性20.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)若對任意,不等式恒成立,求實數(shù)的最大值.21.(12分)將正整數(shù)排成如圖的三角形數(shù)陣,記第行的個數(shù)之和為.(1)設(shè),計算,,的值,并猜想的表達式;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)的猜想.22.(10分)選修4-5:不等式選講已知.(1)求的解集;(2)若恒成立,求實數(shù)的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】分析:由復(fù)數(shù)是純虛數(shù),得實部等于0且虛部不等于0.求解即可得到答案.詳解:復(fù)數(shù)是純虛數(shù),,解得.故選B.點睛:此題考查復(fù)數(shù)的概念,思路:純虛數(shù)是實部為0.虛部不為0的復(fù)數(shù).2、D【解析】
將和式子表示出來,相減得到答案.【詳解】時:時:觀察知:應(yīng)添加的項為答案選D【點睛】本題考查了數(shù)學(xué)歸納法,寫出式子觀察對應(yīng)項是解題的關(guān)鍵.3、B【解析】本試題主要考查雙曲線的定義,考查余弦定理的應(yīng)用.由雙曲線的定義得①,又,由余弦定理②,由①2-②得,故選B.4、B【解析】分析:由題意可得,是內(nèi)的一條直線,則可能與平面和平面的交線相交,也有可能不相交,然后進行判斷詳解:在中,當(dāng)與平面和平面的交線相交時,在內(nèi)不存在與平行的直線,故錯誤在中,平面和平面相交,是內(nèi)一條直線,由線面垂直的性質(zhì)定理得在內(nèi)必存在與垂直的直線,故正確在中,當(dāng)與平面和平面的交線平行時,在內(nèi)存在與平行的直線,故錯誤在中,由線面垂直的性質(zhì)定理得在內(nèi)必存在與垂直的直線,故錯誤故選點睛:本題主要考查的是空間中直線與平面之間的位置關(guān)系、直線與直線的位置關(guān)系,需要進行分類討論,將可能出現(xiàn)的情況列舉出來,取特例來判斷語句的正確性5、B【解析】試題分析:由知,則,可得.故本題答案應(yīng)選B.考點:1.向量的數(shù)量積;2.向量的模.6、B【解析】
直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得,進而可得的虛部.【詳解】∵,∴,∴的虛部是,故選B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查復(fù)數(shù)的基本概念,共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】因為f(x)在R上的單調(diào)增,所以由x2+x1>0,得x2>-x1,所以同理得即f(x1)+f(x2)+f(x3)>0,選A.點睛:利用函數(shù)性質(zhì)比較兩個函數(shù)值或兩個自變量的大小,首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造某個函數(shù),然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)化為單調(diào)區(qū)間上函數(shù)值,最后根據(jù)單調(diào)性比較大小,要注意轉(zhuǎn)化在定義域內(nèi)進行8、C【解析】
先假設(shè)函數(shù)不存在增區(qū)間,則單調(diào)遞減,利用的導(dǎo)數(shù)恒小于零列不等式,將不等式分離常數(shù)后,利用配方法求得常數(shù)的取值范圍,再取這個取值范圍的補集,求得題目所求實數(shù)的取值范圍.【詳解】若函數(shù)不存在增區(qū)間,則函數(shù)單調(diào)遞減,此時在區(qū)間恒成立,可得,則,可得,故函數(shù)存在增區(qū)間時實數(shù)的取值范圍為.故選C.【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查不等式恒成立問題的求解策略,屬于中檔題.9、D【解析】
根據(jù)題意隨機變量可知其正態(tài)分布曲線的對稱軸,再根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性求解,即可得出答案.【詳解】根據(jù)正態(tài)分布可知,故.故答案選D.【點睛】本題主要考查了根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)求指定區(qū)間的概率.10、D【解析】
由二項式項的公式,直接得出x2的系數(shù)等于多少的表達式,由組合數(shù)公式計算出結(jié)果選出正確選項.【詳解】因為的展開式中含的項為,故的系數(shù)為40.故選:D【點睛】本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì),根據(jù)項的公式正確寫出x2的系數(shù)是解題的關(guān)鍵,對于基本公式一定要記憶熟練.11、A【解析】試題分析:第一步,為甲地選一名老師,有種選法;第二步,為甲地選兩個學(xué)生,有種選法;第三步,為乙地選名教師和名學(xué)生,有種選法,故不同的安排方案共有種,故選A.考點:排列組合的應(yīng)用.12、A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為,則,.故選A.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、③【解析】
要判斷各項中對隨機變量描述的正誤,需要牢記隨機變量的定義.【詳解】引入隨機變量,使我們可以研究一個隨機實驗中的所有可能結(jié)果,所以隨機變量的取值是實數(shù),故③正確.【點睛】本題主要考查隨機變量的相關(guān)定義,難度不大.14、99.5【解析】分析:由已知列聯(lián)表計算出后可得.詳解:,∵,∴有99.5%的把握認為玩手機對學(xué)習(xí)有影響.點睛:本題考查獨立性檢驗,解題關(guān)鍵是計算出,然后根據(jù)對照表比較即可.15、【解析】
將這兩式中的量全部用表示出來,正好有兩個方程,兩個未知數(shù),解方程組即可求出?!驹斀狻肯喈?dāng)于,相當(dāng)于,上面兩式相除得代入就得,【點睛】基本量法是解決數(shù)列計算題最重要的方法,即將條件全部用首項和公比表示,列方程,解方程即可求得。16、【解析】
利用點到直線的距離公式計算出焦點到漸近線的距離,然后根據(jù)對應(yīng)距離等于焦距的求解出的值,即可得到雙曲線的漸近線方程.【詳解】因為焦點到漸近線的距離,所以,所以,所以,所以漸近線方程為:.故答案為:.【點睛】本題考查雙曲線漸近線方程的求解,難度一般.雙曲線的焦點到漸近線的距離等于虛軸長度的一半.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】試題分析:設(shè)出,由直線的斜率為求得,結(jié)合離心率求得,再由隱含條件求得,即可求橢圓方程;(2)點軸時,不合題意;當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)直線,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,由判別式大于零求得的范圍,再由弦長公式求得,由點到直線的距離公式求得到的距離,代入三角形面積公式,化簡后換元,利用基本不等式求得最值,進一步求出值,則直線方程可求.試題解析:(1)設(shè),因為直線的斜率為,所以,.又解得,所以橢圓的方程為.(2)解:設(shè)由題意可設(shè)直線的方程為:,聯(lián)立消去得,當(dāng),所以,即或時.所以點到直線的距離所以,設(shè),則,,當(dāng)且僅當(dāng),即,解得時取等號,滿足所以的面積最大時直線的方程為:或.【方法點晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及圓錐曲線求最值,屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法:一是幾何意義,特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決,非常巧妙;二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法,本題(2)就是用的這種思路,利用均值不等式法求三角形最值的.18、(1)160;(2);(3)【解析】本題考查概率與統(tǒng)計知識,考查分層抽樣,考查概率的計算,確定概率的類型是關(guān)鍵.(1)根據(jù)分層抽樣可得故可求n的值;(2)求出高二代表隊6人,從中抽取2人上臺抽獎的基本事件,確定a和b至少有一人上臺抽獎的基本事件,根據(jù)古典概型的概率公式,可得a和b至少有一人上臺抽獎的概率(3)確定滿足0≤x≤1,0≤y≤1點的區(qū)域,由條件得到的區(qū)域為圖中的陰影部分,計算面積,可求該代表中獎的概率.解:(Ⅰ)由題意得,解得.…………4分(Ⅱ)從高二代表隊6人中隨機抽取2人的所有基本事件如下:(a,b)、(a,c)、(a,d)、(a,e)(a,f)、(b,c)(b,d)(b,e)、(b,f)、(c,d)、(c,e)、(c,f)、(d,e)、(d,f)共15種………6分設(shè)“高二代表隊中a和b至少有一人上臺抽獎”為事件,其中事件的基本事件有9種.則.…………9分(Ⅲ)由已知,可得,點在如圖所示的正方形OABC內(nèi),由條件,得到區(qū)域為圖中的陰影部分.由,令得,令得.∴設(shè)“該運動員獲得獎品”為事件則該運動員獲得獎品的概率……………14分19、(1),,(2)猜想,見解析【解析】
(1)由復(fù)數(shù)模的定義計算模,對,可先求出,再計算模;(2)由(1)猜測,用復(fù)數(shù)的一般形式進行證明即可.【詳解】(1)由題知,,所以所以(2)猜想證明:因為,,所以因為,所以,所以猜想成立.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的簡單運算和合情推理,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)的關(guān)注.20、(1)(2)4【解析】
換元法,先換元再解不等式。令換元后參變分離,求最值?!驹斀狻拷猓海?)設(shè),則,∴,即,解得或,即或,∴或.∴的解集為.(2),令,則(當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立).又,故可化為,即,又,(當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立).∴,即的最大值為4.【點睛】本題考查換元法、不等式、函數(shù)的恒成立問題,屬于中檔題。21、(1);(2)見解析.【解析】分析:直接計算,猜想:;(2)證明:①當(dāng)時,猜想成立.②設(shè)時,命題成立,即③證明當(dāng)時,成立。詳解:(1)解:,,,,猜想;(2)證明:①當(dāng)時,猜想成立.②設(shè)時,命題成立,即,由題意可知.所以,,所以時猜想成立.由①、②可知,猜想對任意都成立.點睛:推理與證明中,數(shù)學(xué)歸納
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