中考數(shù)學(xué)幾何全套復(fù)習(xí)講義

初中幾何全套復(fù)習(xí)講義1.三角形的有關(guān)概念2.全等三角形3.等腰三角形4.直角三角形、勾股定理、面積5.角平分線、垂直平分線6.平行四邊形7.矩形、菱形8.正方形9.梯形10.三角形、梯形的中位線11.銳角三角函數(shù)12.解直角三角形13.三角函數(shù)的綜合運用14.比例線段15.相似三角形〔一〕16.相似三角形〔二〕17.相似形的綜合運用〔一〕18.相似形的綜合運用〔二〕19.圓的有關(guān)概念和性質(zhì)20.垂徑定理21.切線的判定與性質(zhì)22.與圓有關(guān)的角23.圓中成比例的線段24.圓與圓〔一〕25.圓與圓〔二〕26.正多邊形和圓中考數(shù)學(xué)幾何全套復(fù)習(xí)講義1.三角形的有關(guān)概念知識考點：理解三角形三邊的關(guān)系及三角形的主要線段〔中線、高線、角平分線〕和三角形的內(nèi)角和定理。關(guān)鍵是正確理解有關(guān)概念，學(xué)會概念和定理的運用。應(yīng)用方程知識求解幾何題是這局部知識常用的方法。精典例題：【例1】一個三角形中兩條邊的長分別是、，且，那么這個三角形的周長的取值范圍是〔〕A、B、C、D、分析：涉及構(gòu)成三角形三邊關(guān)系問題時，一定要同時考慮第三邊大于兩邊之差且小于兩邊之和。答案：B變式與思考：在△ABC中，AC＝5，中線AD＝7，那么AB邊的取值范圍是〔〕A、1＜AB＜29B、4＜AB＜24C、5＜AB＜19D、9＜AB＜19評注：在解三角形的有關(guān)中線問題時，如果不能直接求解，那么常將中線延長一倍，借助全等三角形知識求解，這也是一種常見的作輔助線的方法?！纠?】如圖，△ABC中，∠ABC＝450，∠ACB＝610，延長BC至E，使CE＝AC，延長CB至D，使DB＝AB，求∠DAE的度數(shù)。分析：用三角形內(nèi)角和定理和外角定理，等腰三角形性質(zhì)，求出∠D＋∠E的度數(shù)，即可求得∠DAE的度數(shù)。略解：∵AB＝DB，AC＝CE∴∠D＝∠ABC，∠E＝∠ACB∴∠D＋∠E＝〔∠ABC＋∠ACB〕＝530∴∠DAE＝1800－〔∠D＋∠E〕＝1270探索與創(chuàng)新：【問題一】如圖，點A在直線外，點B、C在直線上?！?〕點P是△ABC內(nèi)任一點，求證：∠P＞∠A；〔2〕試判斷在△ABC外，又和點A在直線的同側(cè)，是否存在一點Q，使∠BQC＞∠A，并證明你的結(jié)論。分析與結(jié)論：〔1〕連結(jié)AP，易證明∠P＞∠A；〔2〕存在，怎樣的角與∠A相等呢？利用同弧上的圓周角相等，可考慮構(gòu)造△ABC的外接⊙O，易知弦BC所對且頂點在弧AB，和弧AC上的圓周角都與∠A相等，因此點Q應(yīng)在弓形AB和AC內(nèi)，利用圓的有關(guān)性質(zhì)易證明〔證明略〕?！締栴}二】如圖，P是等邊△ABC的BC邊上任意一點，過P點分別作AB、AC的垂線PE、PD，垂足為E、D。問：△AED的周長與四邊形EBCD的周長之間的關(guān)系？分析與結(jié)論：〔1〕DE是△AED與四邊形EBCD的公共邊，只須證明AD＋AE＝BE＋BC＋CD〔2〕既有等邊三角形的條件，就有600的角可以利用；又有垂線，可造成含300角的直角三角形，故此題可借助特殊三角形的邊角關(guān)系來證明。略解：在等邊△ABC中，∠B＝∠C＝600又∵PE⊥AB于E，PD⊥AC于D∴∠BPE＝∠CPD＝300不妨設(shè)等邊△ABC的邊長為1，BE＝，CD＝，那么：BP＝，PC＝，，而AE＝，AD＝∴AE＋AD＝又∵BE＋CD＋BC＝∴AD＋AE＝BE＋BC＋CD從而AD＋AE＋DE＝BE＋BC＋CD＋DE即△AED的周長等于四邊形EBCD的周長。評注：此題假設(shè)不認(rèn)真分析三角形的邊角關(guān)系，而想走“全等三角形〞的道路是很難奏效的。跟蹤訓(xùn)練：一、填空題：1、三角形的三邊為1，，9，那么的取值范圍是。2、三角形兩邊的長分別為1和2，如果第三邊的長也是整數(shù)，那么第三邊的長為。3、在△ABC中，假設(shè)∠C＝2〔∠A＋∠B〕，那么∠C＝度。4、如果△ABC的一個外角等于1500，且∠B＝∠C，那么∠A＝。5、如果△ABC中，∠ACB＝900，CD是AB邊上的高，那么與∠A相等的角是。6、如圖，在△ABC中，∠A＝800，∠ABC和∠ACB的外角平分線相交于點D，那么∠BDC＝。7、如圖，CE平分∠ACB，且CE⊥DB，∠DAB＝∠DBA，AC＝18cm，△CBD的周長為28cm，那么DB＝。8、紙片△ABC中，∠A＝650，∠B＝750，將紙片的一角折疊，使點C落在△ABC內(nèi)〔如圖〕，假設(shè)∠1＝200，那么∠2的度數(shù)為。9、在△ABC中，∠A＝500，高BE、CF交于點O，那么∠BOC＝。10、假設(shè)△ABC的三邊分別為、、，要使整式，那么整數(shù)應(yīng)為。二、選擇題：1、假設(shè)△ABC的三邊之長都是整數(shù)，周長小于10，那么這樣的三角形共有〔〕A、6個B、7個C、8個D、9個2、在△ABC中，AB＝AC，D在AC上，且BD＝BC＝AD，那么∠A的度數(shù)為〔〕A、300B、360C、4503、等腰三角形一腰上的中線分周長為15和12兩局部，那么此三角形底邊之長為〔〕A、7B、11C、7或11D、不能確定4、在△ABC中，∠B＝500，AB＞AC，那么∠A的取值范圍是〔〕A、00＜∠A＜1800B、00＜∠A＜800C、500＜∠A＜1300D、800＜∠A＜13005、假設(shè)、、是三角形的三個內(nèi)角，而，，，那么、、中，銳角的個數(shù)的錯誤判斷是〔〕A、可能沒有銳角B、可能有一個銳角C、可能有兩個銳角D、最多一個銳角6、如果三角形的一個外角等于它相鄰內(nèi)角的2倍，且等于它不相鄰內(nèi)角的4倍，那么這個三角形一定是〔〕A、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、正三角形三、解答題：1、有5根木條，其長度分別為4，8，8，10，12，用其中三根可以組成幾種不同形狀的三角形？2、長為2，3，5的線段，分別延伸相同長度的線段后，能否組成三角形？假設(shè)能，它能構(gòu)成直角三角形嗎？為什么？3、如圖，在△ABC中，∠A＝960，延長BC到D，∠ABC與∠ACD的平分線相交于，∠BC與∠CD的平分線相交于，依此類推，∠BC與∠CD的平分線相交于，那么∠的大小是多少？4、如圖，OA＝，P是射線ON上一動點〔即P可在射線ON上運動〕，∠AON＝600，填空：〔1〕當(dāng)OP＝時，△AOP為等邊三角形；〔2〕當(dāng)OP＝時，△AOP為直角三角形；〔3〕當(dāng)OP滿足時，△AOP為銳角三角形；〔4〕當(dāng)OP滿足時，△AOP為鈍角三角形。一、填空題：1、；2、2；3、1200；4、300或1200；5、∠DCB；6、500；7、8cm；8、600；9、1300；10、偶數(shù)。二、選擇題：CBCBCB三、解答題：1、6種〔4、8、8；4、8、10；8、8、10；8、8、12；8、10、12、4、10、12〕2、可以，設(shè)延伸局部為，那么長為，，的三條線段中，最長，∵∴只要，長為，，的三條線段可以組成三角形設(shè)長為的線段所對的角為，那么為△ABC的最大角又由當(dāng)，即時，△ABC為直角三角形。3、304、〔1〕；〔2〕或；〔3〕＜OP＜；〔4〕0＜OP＜或OP＞2.全等三角形知識考點：掌握用三角形全等的判定定理來解決有關(guān)的證明和計算問題，靈活運用三角形全等的三個判定定理來證明三角形全等。精典例題：【例1】如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，E在BC上，AE＝AD，AB＝BC。求證：CE＝CD。分析：作AF⊥CD的延長線〔證明略〕評注：尋求全等的條件，在證明兩條線段〔或兩個角〕相等時，假設(shè)它們所在的兩個三角形不全等，就必須添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，常見輔助線有：①連結(jié)某兩個點；②過點作某直線的平行線；③延長某線段到某個點，或與直線相交；④作一角等于角?！纠?】如圖，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求證：AB＝AC＋CD。分析：采用截長補短法，延長AC至 E，使AE＝AB，連結(jié)DE；也可在AB上截取AE＝AC，再證明EB＝CD〔證明略〕。探索與創(chuàng)新：【問題一】閱讀下題：如圖，P是△ABC中BC邊上一點，E是AP上的一點，假設(shè)EB＝EC，∠1＝∠2，求證：AP⊥BC。證明：在△ABE和△ACE中，EB＝EC，AE＝AE，∠1＝∠2∴△ABE≌△ACE〔第一步〕∴AB＝AC，∠3＝∠4〔第二步〕∴AP⊥BC〔等腰三角形三線合一〕上面的證明過程是否正確？假設(shè)正確，請寫出每一步的推理依據(jù)；假設(shè)不正確，請指出關(guān)鍵錯在哪一步，并寫出你認(rèn)為正確的證明過程。略解：不正確，錯在第一步。正確證法為：∵BE＝CE∴∠EBC＝∠ECB又∵∠1＝∠2∴∠ABC＝∠ACB，AB＝AC∴△ABE≌△ACE〔SAS〕∴∠3＝∠4又∵AB＝AC∴AP⊥BC評注：此題是以考查學(xué)生練習(xí)中常見錯誤為閱讀材料設(shè)計而成的閱讀性試題，其目的是考查學(xué)生閱讀理解能力，證明過程中邏輯推理的嚴(yán)密性。閱讀理解題是近幾年各地都有的新題型，應(yīng)引起重視?！締栴}二】眾所周知，只有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等，你能想方法安排和外理這三個條件，使這兩個三角形全等嗎？請同學(xué)們參照下面的方案〔1〕導(dǎo)出方案〔2〕〔3〕〔4〕。解：設(shè)有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形，方案〔1〕：假設(shè)這個角的對邊恰好是這兩邊中的大邊，那么這兩個三角形全等。方案〔2〕：假設(shè)這個角是直角，那么這兩個三角形全等。方案〔3〕：假設(shè)此角為兩邊的夾角，那么這兩個三角形全等。評注：這是一道典型的開放性試題，答案不是唯一的。如方案〔4〕：假設(shè)此角為鈍角，那么這兩個三角形全等。〔5〕：假設(shè)這兩個三角形都是銳解〔鈍角〕三角形，那么這兩個三角形全等。能有效考查學(xué)生對三角形全等概念的掌握情況，這類題目要求學(xué)生依據(jù)問題提供的題設(shè)條件，尋找多種途徑解決問題。此題要求學(xué)生著眼于弱化題設(shè)條件，設(shè)計讓命題在一般情況不成立，而特殊情況下成立的思路。跟蹤訓(xùn)練：一、填空題：1、假設(shè)△ABC≌△EFG，且∠B＝600，∠FGE－∠E＝560，那么∠A＝度。2、如圖，AB∥EF∥DC，∠ABC＝900，AB＝DC，那么圖中有全等三角形對。3、如圖，在△ABC中，∠C＝900，BC＝40，AD是∠BAC的平分線交BC于D，且DC∶DB＝3∶5，那么點D到AB的距離是。4、如圖，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD、CE交于點H，請你添加一個適當(dāng)?shù)臈l件：，使△AEH≌△CEB。5、如圖，把一張矩形紙片ABCD沿BD對折，使C點落在E處，BE與AD相交于點O，寫出一組相等的線段〔不包括AB＝CD和AD＝BC〕。6、如圖，∠E＝∠F＝900，∠B＝∠C，AE＝AF。給出以下結(jié)論：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN。其中正確的結(jié)論是〔填序號〕。二、選擇題：1、如圖，AD⊥AB，EA⊥AC，AE＝AD，AB＝AC，那么以下結(jié)論中正確的選項是〔〕A、△ADF≌△AEGB、△ABE≌△ACDC、△BMF≌△CNGD、△ADC≌△ABE2、如圖，AE＝AF，AB＝AC，EC與BF交于點O，∠A＝600，∠B＝250，那么∠EOB的度數(shù)為〔〕A、600B、700C、7503、如果兩個三角形的兩邊和其中一邊上的高分別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形的第三邊所對的角〔〕A、相等B、不相等C、互余D、互補或相等4、如圖，在△ABC中，AD是∠A的外角平分線，P是AD上異于A的任意一點，設(shè)PB＝，PC＝，AB＝，AC＝，那么與的大小關(guān)系是〔〕A、＞B、＜C、＝D、無法確定三、解答題：1、如圖，∠1＝∠2，∠3＝∠4，EC＝AD。求證：△ABE和△BDC是等腰三角形。2、如圖，AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，點F是CD的中點?！?〕求證：AF⊥CD；〔2〕在你連結(jié)BE后，還能得出什么新結(jié)論？請再寫出兩個。3、〔1〕，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，∠BAC＝∠EDF＝1000，求證：△ABC≌△DEF；〔2〕上問中，假設(shè)將條件改為AB＝DE，，BC＝EF，∠BAC＝∠EDF＝700，結(jié)論是否還成立，為什么？4、如圖，∠MON的邊OM上有兩點A、B，邊ON上有兩點C、D，且AB＝CD，P為∠MON的平分線上一點。問：〔1〕△ABP與△PCD是否全等？請說明理由。〔2〕△ABP與△PCD的面積是否相等？請說明理由。5、如圖，CE⊥AB，DF⊥AB，點E、F分別為垂足，且AC∥BD。〔1〕根據(jù)所給條件，指出△ACE和△BDF具有什么關(guān)系？請你對結(jié)論予以證明?！?〕假設(shè)△ACE和△BDF不全等，請你補充一個條件，使得兩個三角形全等，并給予證明。參考答案一、填空題：1、32；2、3；3、15；4、AH＝BC或EA＝EC或EH＝EB等；5、DC＝DE或BC＝BE或OA＝OE等；6、①②③二、選擇題：BBDA三、解答題：1、略；2、〔1〕略；〔2〕AF⊥BE，AF平分BE等；3、〔1〕略；〔2〕不成立，舉一反例即能說明；4、〔1〕不一定全等，因△ABP與△PCD中，只有AB＝CD，而其它角和邊都有可能不相等，故兩三角形不一定全等?！?〕面積相等，因為OP為∠MON平分線上一點，故P到邊AB、CD上的距離相等，即△ABP中AB邊上的高與△PCD中CD邊上的高相等，又根據(jù)AB＝CD〔即底邊也相等〕從而△ABP與△PCD的面積相等。5、〔1〕△ACE和△BDF的對應(yīng)角相等；〔2〕略3.等腰三角形知識考點：靈活運用等腰〔等邊〕三角形的判定定理與性質(zhì)定理，以及底邊上的高、中線、頂角的平分線三線合一的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的證明和計算。精典例題：【例1】等腰三角形一腰上的高與腰長之比為1∶2，那么等腰三角形的頂角為〔〕A、300B、600C、1500D、300分析：如下圖，在等腰△ABC中，CD為腰AB上的高，CD∶AB＝1∶2，∵AC＝AB，∴CD∶AC＝1∶2，∴在Rt△ABC中有答案D?！纠?】如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝900，D是AC上一點，AE⊥BD的延長線于E，又AE＝BD，求證：BD是∠ABC的角平分線。分析：∠ABC的角平分線與AE邊上的高重合，故可作輔助線補全圖形，構(gòu)造出全等三角形〔證明略〕。探索與創(chuàng)新：【問題一】如圖，在等腰直角△ABC中，AD為斜邊上的高，以D為端點任作兩條互相垂直的射線與兩腰分別相交于E、F點，連結(jié)EF與AD相交于G，試問：你能確定∠AED和∠AGF的大小關(guān)系嗎？分析與結(jié)論：依題意有△ADE≌△FDC，△EDF為等腰直角三角形，又∵∠AED＝∠AEF＋∠DEG，∠AGF＝∠AEF＋∠EAG，事實上∠EAG與∠DEG都等于450，故∠AED＝∠AGF。評注：加強對圖形的分析、發(fā)現(xiàn)、挖掘等腰三角形、全等三角形，用相同或相等角的代數(shù)式表示∠AED、∠AGF，從而比擬其大小是此題的解題關(guān)鍵?！締栴}二】在平面上有且只有4個點，這4個點有一個獨特的性質(zhì)每兩個點之間的距離有且只有兩種長度。例如正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，AC＝BD。請你畫出具有這種獨特性質(zhì)的四種不同的圖形，并標(biāo)注相等的線段。略解：〔1〕AB＝AD＝DB＝DC＝BD，AC〔2〕AB＝AC＝AD＝BC，BD＝DC〔3〕AB＝AC，AO＝BO＝CO＝DO〔4〕AB＝BC＝AC，AO＝BO＝CO〔5〕AB＝AD＝CD，AC＝BC＝BD評注：本例突破了常規(guī)作圖題的思維形式，是一道很好的開放型試題，要求學(xué)生既要善于動腦，又要善于動手。跟蹤訓(xùn)練：一、填空題：1、等腰三角形的兩外角之比為5∶2，那么該等腰三角形的底角為。2、在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，DE垂直平分AB，E為垂足，那么∠C＝。3、等腰三角形的兩邊長為4和8，那么它腰上的高為。4、在△ABC中，AB＝AC，點D在AB邊上，且BD＝BC＝AD，那么∠A的度數(shù)為。5、如圖，AB＝BC＝CD，AD＝AE，DE＝BE，那么∠C的度數(shù)為。6、如圖，D為等邊△ABC內(nèi)一點，DB＝DA，BP＝AB，∠DBP＝∠DBC，那么∠BPD＝。7、如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD分別交AB、AD、AC及BC的延長線于點E、H、F、G，以下四個式子：①∠1＝〔∠2＋∠3〕②∠1＝2〔∠3－∠2〕③∠4＝〔∠3－∠2〕④∠4＝∠1其中有兩個式子是正確的，它們是和。二、選擇題：1、等腰三角形中一內(nèi)角的度數(shù)為500，那么它的底角的度數(shù)為〔〕A、500B、650C、1300D、5002、如圖，D為等邊△ABC的AC邊上一點，且∠ACE＝∠ABD，CE＝BD，那么△ADE是〔〕A、等腰三角形B、直角三角形C、不等邊三角形D、等邊三角形3、如圖，在△ABC中，∠ABC＝600，∠ACB＝450，AD、CF都是高，相交于P，角平分線BE分別交AD、CF于Q、S，那么圖中的等腰三角形的個數(shù)是〔〕A、2B、3C、4D、54、如圖，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN∥BC，設(shè)AB＝12，BC＝24，AC＝18，那么△AMN的周長是〔〕A、30B、33C、36D、395、如圖，在五邊形ABCDE中，∠A＝∠B＝1200，EA＝AB＝BC＝DC＝DE，那么∠D＝〔〕A、300B、450C、600D、67.三、解答題：1、如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分別為AB、BC、CA上的點，且BD＝CE，∠DEF＝∠B。求證：△DEF是等腰三角形。2、為美化環(huán)境，方案在某小區(qū)內(nèi)用30平方米的草皮鋪設(shè)一塊邊長為10米的等腰三角形綠地。請你求出這個等腰三角形綠地的另兩邊長。3、如圖，在銳角△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠ABC的平分線與AD垂直，垂足為D，求證：AC＝2BD。4、在等邊△ABC的邊BC上任取一點D，作∠DAE＝600，AE交∠C的外角平分線于E，那么△ADE是什么三角形？證明你的結(jié)論。參考答案一、填空題：1、300；2、720；3、；4、360；5、360；6、300；7、①③二、選擇題：DDDAC三、解答題：1、證△DBE≌△ECF2、提示：分兩種情況討論。不妨設(shè)AB＝10米，作CD⊥AB于D，那么CD＝6米?！?〕當(dāng)AB為底邊時，AC＝BC＝米；〔2〕當(dāng)AB為腰且三角形為銳角三角形時，AB＝AC＝10米，BC＝米；〔3〕當(dāng)AB為腰且三角形為鈍角三角形時，AB＝BC＝10米，AC＝米；3、提示：延長AD交BC于點M。4、△ADE為等邊三角形。4.直角三角形、勾股定理、面積知識考點：了解直角三角形的判定與性質(zhì)，理解直角三角形的邊角關(guān)系，掌握用勾股定理解某些簡單的實際問題。它的有關(guān)性質(zhì)廣泛應(yīng)用于線段計算、證明線段倍分關(guān)系、證明線段平方關(guān)系及與面積有關(guān)的問題等方面。精典例題：【例1】如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝600，∠B＝∠D＝900，BC＝2，CD＝3，那么AB＝？分析：通過作輔助線，將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決，其關(guān)鍵是對內(nèi)分割還是向外補形。答案：【例2】如圖，P為△ABC邊BC上一點，PC＝2PB，∠ABC＝450，∠APC＝600，求∠ACB的度數(shù)。分析：此題不能簡單地由角的關(guān)系推出∠ACB的度數(shù)，而應(yīng)綜合運用條件PC＝2PB及∠APC＝600來構(gòu)造出含300角的直角三角形。這是解此題的關(guān)鍵。答案：∠ACB＝750〔提示：過C作CQ⊥AP于Q，連結(jié)BQ，那么AQ＝BQ＝CQ〕探索與創(chuàng)新：【問題一】如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且∠QPN＝300，點A處有一所中學(xué)，AP＝160米，假設(shè)汽車行駛時，周圍100米以內(nèi)會受到噪聲的影響，那么汽車在公路MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到噪聲的影響？如果受影響，汽車的速度為18千米／小時，那么學(xué)校受影響的時間為多少秒？分析：從學(xué)校〔A點〕距離公路〔MN〕的最近距離〔AD＝80米〕入手，在距A點方圓100米的范圍內(nèi)，利用圖形，根據(jù)勾股定理和垂徑定理解決它。略解：作AD⊥MN于D，在Rt△ADP中，易知AD＝80。所以這所學(xué)校會受到噪聲的影響。以A為圓心，100米為半徑作圓交MN于E、F，連結(jié)AE、AF，那么AE＝AF＝100，根據(jù)勾股定理和垂徑定理知：ED＝FD＝60，EF＝120，從而學(xué)校受噪聲影響的時間為：〔小時〕＝24〔秒〕評注：此題是一道存在性探索題，通過給定的條件，判斷所研究的對象是否存在?！締栴}二】臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強的破壞力．如圖12，據(jù)氣象觀測，距沿海某城市A的正南方向220千米的B處有一臺風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為12級，每遠(yuǎn)離臺風(fēng)中心20千米，風(fēng)力就會減弱一級，該臺風(fēng)中心現(xiàn)正以15千米／時的速度沿北偏東300方向往C移動，且臺風(fēng)中心風(fēng)力不變。假設(shè)城市所受風(fēng)力到達(dá)或超過四級，那么稱為受臺風(fēng)影響?！?〕該城市是否會受到這次臺風(fēng)的影響?請說明理由?！?〕假設(shè)會受到臺風(fēng)影響，那么臺風(fēng)影響該城市的持續(xù)時間有多長?〔3〕該城市受到臺風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級?解：〔1〕如圖1，由點A作AD⊥BC，垂足為D。∵AB＝220，∠B＝30°∴AD＝110〔千米〕。由題意知，當(dāng)A點距臺風(fēng)中心不超過160千米時，將會受到臺風(fēng)的影響。故該城市會受到這次臺風(fēng)的影響。〔2〕由題意知，當(dāng)A點距臺風(fēng)中心不超過160千米時，將會受到臺風(fēng)的影響。那么AE＝AF＝160。當(dāng)臺風(fēng)中心從E處移到F處時，該城市都會受到這次臺風(fēng)的影響。由勾股定理得：?！郋F＝60〔千米〕?！咴撆_風(fēng)中心以15千米／時的速度移動?！噙@次臺風(fēng)影響該城市的持續(xù)時間為〔小時〕?！?〕當(dāng)臺風(fēng)中心位于D處時，A市所受這次臺風(fēng)的風(fēng)力最大，其最大風(fēng)力為12－＝6.5〔級〕。評注：此題是一道幾何應(yīng)用題，解題時要善于把實際問題抽象成幾何圖形，并領(lǐng)會圖形中的幾何元素代表的意義，由題意可分析出，當(dāng)A點距臺風(fēng)中心不超過160千米時，會受臺風(fēng)影響，假設(shè)過A作AD⊥BC于D，設(shè)E，F(xiàn)分別表示A市受臺風(fēng)影響的最初，最后時臺風(fēng)中心的位置，那么AE＝AF＝160；當(dāng)臺風(fēng)中心位于D處時，A市受臺風(fēng)影響的風(fēng)力最大。跟蹤訓(xùn)練：一、填空題：1、如果直角三角形的邊長分別是6、8、，那么的取值范圍是。2、如圖，D為△ABC的邊BC上的一點，AB＝13，AD＝12，，BD＝5，AC＝BC，那么BC＝。3、如圖，四邊形ABCD中，AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝900，那么∠DAB＝。4、等腰△ABC中，一腰上的高為3cm，這條高與底邊的夾角為300，那么＝。5、如圖，△ABC中，∠BAC＝900，∠B＝2∠C，D點在BC上，AD平分∠BAC，假設(shè)AB＝1，那么BD的長為。6、Rt△ABC中，∠C＝900，AB邊上的中線長為2，且AC＋BC＝6，那么＝。7、如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，腰長為8cm，AC、BD相交于O點，且∠AOD＝600，設(shè)E、F分別為CO、AB的中點，那么EF＝8、如圖，點D、E是等邊△ABC的BC、AC上的點，且CD＝AE，AD、BE相交于P點，BQ⊥AD。PE＝1，PQ＝3，那么AD＝。9、如下圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，那么正方形A、B、C、D的面積的和是二、選擇題：1、如圖，△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，那么三個結(jié)論：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP中〔〕A、全部正確B、僅①和②正確C、僅①正確D、僅①和③正確2、如果一個三角形的一條邊的長是另一條邊的長的2倍，并且有一個角是300，那么這個三角形的形狀是〔〕A、直角三角形B、鈍角三角形C、銳角三角形D、不能確定3、在四邊形ABCD中，AD⊥CD，AB＝13，BC＝12，CD＝4，AD＝3，那么∠ACB的度數(shù)是〔〕A、大于900B、小于900C、等于904、如圖，△ABC中，∠B＝900，AB＝3，BC＝，OA＝OC＝，那么∠OAB的度數(shù)為〔〕A、100B、150C、200三、解答題：1、閱讀下面的解題過程：、、為△ABC的三邊，且滿足，試判斷△ABC的形狀。解：∵……①∴……②∴……③∴△ABC是直角三角形。問：〔1〕上述解題過程中，從哪一步開始出現(xiàn)錯誤？請寫出該步的代號；〔2〕錯誤的原因是；〔3〕此題的正確結(jié)論是。2、△ABC中，∠BAC＝750，∠C＝600，BC＝，求AB、AC的長。3、如圖，△ABC中，AD是高，CE是中線，DC＝BE，DG⊥CE于G?！?〕求證：G是CE的中點；〔2〕∠B＝2∠BCE。4、如圖，某校把一塊形狀近似于直角三角形的廢地開辟為生物園，∠ACB＝900，BC＝60米，∠A＝360。〔1〕假設(shè)入口E在邊AB上，且與A、B等距離，請你在圖中畫出入口E到C點的最短路線，并求最短路線CE的長〔保存整數(shù)〕；〔2〕假設(shè)線段CD是一條水渠，并且D點在邊AB上，水渠造價為50元／米，水渠路線應(yīng)如何設(shè)計才能使造價最低？請你畫出水渠路線，并求出最低造價。參考數(shù)據(jù)：sin360＝0.5878，sin540＝0.80905、△ABC的兩邊AB、AC的長是方程的兩個實數(shù)根，第三邊BC＝5?！?〕為何值時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形；〔2〕為何值時，△ABC是等腰三角形，求出此時其中一個三角形的面積。參考答案一、填空題：1、10或；2、16.9；3、1350；4、cm2；5、；6、5；7、48、7；9、49二、選擇題：BDCB三、解答題：1、〔1〕③；〔2〕略；〔3〕直角三角形或等腰三角形2、提示：過A作AD⊥BC于D，那么AB＝，AC＝3、提示：連結(jié)ED4、〔1〕51米；〔2〕假設(shè)要水渠造價最低，那么水渠應(yīng)與AB垂直，造價2427元。5、〔1〕2；〔2〕＝4或3，當(dāng)＝4時，面積為12。5.角平分線、垂直平分線知識考點：了解角平分線、垂直平分線的有關(guān)性質(zhì)和定理，并能解決一些實際問題。精典例題：【例題】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝300，AB的垂直平分線EF交AB于點E，交BC于點F，求證：CF＝2BF。分析一：要證明CF＝2BF，由于BF與CF沒有直接聯(lián)系，聯(lián)想題設(shè)中EF是中垂線，根據(jù)其性質(zhì)可連結(jié)AF，那么BF＝AF。問題轉(zhuǎn)化為證CF＝2AF，又∠B＝∠C＝300，這就等價于要證∠CAF＝900，那么根據(jù)含300角的直角三角形的性質(zhì)可得CF＝2AF＝2BF。分析二：要證明CF＝2BF，聯(lián)想∠B＝300，EF是AB的中垂線，可過點A作AG∥EF交FC于G后，得到含300角的Rt△ABG，且EF是Rt△ABG的中位線，因此BG＝2BF＝2AG，再設(shè)法證明AG＝GC，即有BF＝FG＝GC。分析三：由等腰三角形聯(lián)想到“三線合一〞的性質(zhì)，作AD⊥BC于D，那么BD＝CD，考慮到∠B＝300，不妨設(shè)EF＝1，再用勾股定理計算便可得證。以上三種分析的證明略。探索與創(chuàng)新：【問題】請閱讀下面材料，并答復(fù)所提出的問題：三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理：三角形的內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應(yīng)成比例。如圖，△ABC中，AD是角平分線。求證：。分析：要證，一般只要證BD、DC與AB、AC或BD、AB與DC、AC所在三角形相似，現(xiàn)在B、D、C在同一條直線上，△ABD與△ADC不相似，需要考慮用別的方法換比。我們注意到在比例式中，AC恰好是BD、DC、AB的第四比例項，所以考慮過C作CE∥AD交BA的延長線于E，從而得到BD、CD、AB的第四比例項AE，這樣，證明就可以轉(zhuǎn)化為證AE＝AC。證明：過C作CE∥AD交BA的延長線于ECE∥AD∠E＝∠3AE＝ACCE∥AD∴〔1〕上述證明過程中，用了哪些定理〔寫出兩個定理即可〕；〔2〕在上述分析、證明過程中，主要用到了三種數(shù)學(xué)思想的哪一種？選出一個填入后面的括號內(nèi)〔〕①數(shù)形結(jié)合思想②轉(zhuǎn)化思想③分類討論思想答案：②轉(zhuǎn)化思想〔3〕用三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理解答問題：AD是△ABC中∠BAC的角平分線，AB＝5cm，AC＝4cm，BC＝答案：cm評注：此題的目的主要在于考查學(xué)生的閱讀理解能力。跟蹤訓(xùn)練：一、填空題：1、如圖，∠A＝520，O是AB、AC的垂直平分線的交點，那么∠OCB＝。2、如圖，AB＝AC，∠A＝440，AB的垂直平分線MN交AC于點D，那么∠DBC＝。3、如圖，在△ABC中，∠C＝900，∠B＝150，AB的中垂線DE交BC于D點，E為垂足，假設(shè)BD＝8，那么AC＝。4、如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分線，△BCE的周長為24，BC＝10，那么AB＝。5、如圖，EG、FG分別是∠MEF和∠NFE的角平分線，交點是G，BP、CP分別是∠MBC和∠NCB的角平分線，交點是P，F(xiàn)、C在AN上，B、E在AM上，假設(shè)∠G＝680，那么∠P＝。二、選擇題：1、如圖，△ABC的角平分線CD、BE相交于點F，且∠A＝600，那么∠BFC等于〔〕A、800B、1000C、12002、如圖，△ABC中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，假設(shè)∠D＝360，那么∠C的度數(shù)為〔〕A、820B、720C、6203、某三角形有一個外角平分線平行于三角形的一邊，而這三角形另一邊上的中線分周長為2∶3兩局部，假設(shè)這個三角形的周長為30cmA、8cm、8cm、14cmB、12cmC、8cm、8cm、14cm或12cm、4、如圖，Rt△ABC中，∠C＝900，CD是AB邊上的高，CE是中線，CF是∠ACB的平分線，圖中相等的銳角為一組，那么共有〔〕A、0組B、2組C、3組D、4組5、如果三角形兩邊的垂直平分線的交點在第三邊上，那么這個三角形是〔〕A、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、不能確定三、解答題：1、如圖，Rt△ABC的∠A的平分線與過斜邊中點M的垂線交于點D，求證：MA＝MD。2、在△ABC中，AB≠AC，D、E在BC上，且DE＝EC，過D作DF∥BA交AE于點F，DF＝AC，求證：AE平分∠BAC。3、如圖，在△ABC中，∠B＝22.50，∠C＝600，AB的垂直平分線交BC于點D，BD＝，AE⊥BC于點E，求EC的長。4、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝900，AC＝BC，D為BC的中點，CE⊥AD，垂足為E，BF∥AC交CE的延長線于點F，求證AB垂直平分DF。參考答案一、填空題：1、380；2、240；3、4；4、14；5、680二、選擇題：CBCDB三、解答題：1、過A作AN⊥BC于N，證∠D＝∠DAM；2、延長FE到G，使EG＝EF，連結(jié)CG，證△DEF≌△CEG3、連結(jié)AD，DF為AB的垂直平分線，AD＝BD＝，∠B＝∠DAB＝22.50∴∠ADE＝450，AE＝AD＝＝6又∵∠C＝600∴EC＝4、證△ACD≌△CBF6.平行四邊形知識考點：理解并掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)精典例題：【例1】如圖：在四邊形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，點E、F分別在BC和AD邊上，AF＝CE，EF和對角線BD相交于點O，求證：點O是BD的中點。分析：構(gòu)造全等三角形或利用平行四邊形的性質(zhì)來證明BO＝DO略證：連結(jié)BF、DE在四邊形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC∴四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BC，AD＝BC又∵AF＝CE∴FD∥BE，F(xiàn)D＝BE∴四邊形BEDF是平行四邊形∴BO＝DO，即點O是BD的中點?！纠?】如圖：在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊上的中點，求證：四邊形EFGH是平行四邊形。分析：欲證四邊形EFGH是平行四邊形，根據(jù)條件需從邊上著手分析，由E、F、G、H分別是各邊上的中點，可聯(lián)想到三角形的中位線定理，連結(jié)AC后，EF和GH的關(guān)系就明確了，此題也便得證?！沧C明略〕變式1：順次連結(jié)矩形四邊中點所得的四邊形是菱形。變式2：順次連結(jié)菱形四邊中點所得的四邊形是矩形。變式3：順次連結(jié)正方形四邊中點所得的四邊形是正方形。變式4：順次連結(jié)等腰梯形四邊中點所得的四邊形是菱形。變式5：假設(shè)AC＝BD，AC⊥BD，那么四邊形EFGH是正方形。變式6：在四邊形ABCD中，假設(shè)AB＝CD，E、F、G、H分別為AD、BC、BD、AC的中點，求證：EFGH是菱形。變式7：如圖：在四邊形ABCD中，E為邊AB上的一點，△ADE和△BCE都是等邊三角形，P、Q、M、N分別是AB、BC、CD、DA邊上的中點，求證：四邊形PQMN是菱形。探索與創(chuàng)新：【問題】如圖，在△ABC中，∠C＝900，點M在BC上，且BM＝AC，點N在AC上，且AN＝MC，AM和BN相交于P，求∠BPM的度數(shù)。分析：條件給出的是線段的等量關(guān)系，求的卻是角的度數(shù)，為此，我們由條件中的直角及相等的線段，可聯(lián)想到構(gòu)造等腰直角三角形，從而應(yīng)該平移AN。略證：過M作ME∥AN，且ME＝AN，連結(jié)NE、BE，那么四邊形AMEN是平行四邊形，得NE＝AM，ME∥AN，AC⊥BC∴ME⊥BC在△BEM和△AMC中，ME＝CM，∠EMB＝∠MCA＝900，BM＝AC∴△BEM≌△AMC∴BE＝AM＝NE，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＋∠3＝900∴∠2＋∠4＝900，且BE＝NE∴△BEN是等腰直角三角形∴∠BNE＝450∵AM∥NE∴∠BPM＝∠BNE＝450跟蹤訓(xùn)練：一、填空題：1、一個平行四邊形的兩條對角線的長度分別為5和7，那么它的一條邊長的取值范圍是。2、□ABCD的周長是30，AC、BD相交于點O，△OAB的周長比△OBC的周長大3，那么AB＝。3、□ABCD中，AB＝2AD，對角線BD⊥AD，那么∠BCD的度數(shù)是。4、如圖：在□ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAD＝600，AE＝2，AC＋BD＝16，那么△BOC的周長為。5、如圖：□ABCD的對角線AC、BD相交于O，EF過點O，且EF⊥BC于F，∠1＝300，∠2＝450，OD＝，那么AC的長為。6、如圖：過□ABCD的頂點B作高BE、BF，BF＝BE，BC＝16，∠EBF＝300，那么AB＝。7、如下圖，□ABCD的周長為30，AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F，且AE∶AF＝2∶3，∠C＝1200，那么平行四邊形ABCD的面積為。二、選擇題：1、假設(shè)□ABCD的周長為28，△ABC的周長為17cmA、11cmB、5.5cmC、2、如圖，□ABCD和□EAFC的頂點D、E、F、B在同一條直線上，那么以下關(guān)系中正確的選項是〔〕A、DE＞BFB、DE＝BFC、DE＜BFD、DE＝FE＝BF3、如圖，M是□ABCD的AB邊的中點，CM交BD于E，那么圖中陰影局部的面積與□ABCD的面積之比是〔〕A、B、C、D、4、如圖，□ABCD中，BD＝CD，∠C＝700，AE⊥BD于E，那么∠DAE＝〔〕A、200B、250C、3005、在給定的條件中，能作出平行四邊形的是〔〕A、以60cm為對角線，20cm、B、以20cm、36cm為對角線，C、以6cm為一條對角線，3cm、D、以6cm、10cm為對角線，6、如圖，□ABCD中，E、F分別是AD、BC邊上的中點，直線CE交BA的延長線于G點，直線DF交AB的延長線于H點，CG、DH交于點O，假設(shè)□ABCD的面積為4，那么＝〔〕A、3.5B、4C、4.5D、57、在□ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B是銳角，將△ACD沿對角線AC折疊，點D落在△ABC所在平面內(nèi)的點E處，如果AE過BC的中點O，那么□ABCD的面積等于〔〕A、48B、C、D、三、解答題：1、如圖，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，∠ADC＝600，BE＝2，CF＝1，連結(jié)DE交AF于點P，求EP的長。2、在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的點，且＝＝＝＝〔＞0〕，閱讀以下材料，然后答復(fù)下面的問題：如上圖，連結(jié)BD∵＝，＝∴EH∥BD，F(xiàn)G∥BD①連結(jié)AC，那么EF與GH是否一定平行，答：；②當(dāng)值為時，四邊形EFGH是平行四邊形；③在②的情形下，對角線AC和BD只需滿足條件時，EFGH為矩形；④在②的情形下，對角線AC和BD只需滿足條件時，EFGH為菱形；3、，在四邊形ABCD中，從①AB∥DC；②AB＝DC；③AD∥BC；④AD＝BC；⑤∠A＝∠C；⑥∠B＝∠D中取出兩個條件加以組合，能推出四邊形ABCD是平行四邊形的有哪幾種情形？請你具體寫出這些組合。4、如圖，在△ABC中，∠ACB＝900，D、F分別為AC、AB的中點，點E在BC的延長線上，∠CDE＝∠A?！?〕求證：四邊形DECF是平行四邊形；〔2〕假設(shè)，四邊形EBFD的周長為22，求DE的長。跟蹤訓(xùn)練參考答案一、填空題：1、1＜＜6；2、9；3、600；4、12；5、8；6、或12.8；7、cm2；二、選擇題：DBCABCC三、解答題：1、提示：由∠B＝∠ADC＝600，BE＝2，AE⊥BC可得AB＝4，再證DF＝DC－CF＝3，∴AD＝6，EC＝BC－BE＝4＝DC，又∠BCD＝1200，∴∠EDC＝300，求得∠APE＝∠EAP＝600，△AEP為等邊三角形，EP＝AE＝。2、①是；②任意正數(shù)；③BD⊥AC；④AC＝BD3、①和②；③和④；⑤和⑥；①和⑤；①和⑥；③和⑤；③和⑥；②和④；①和③4、〔1〕證EC∥DF，ED∥CF；〔2〕DE＝57.矩形、菱形知識考點：理解并掌握矩形的判定與性質(zhì)，并能利用所學(xué)知識解決有關(guān)問題。精典例題：【例1】如圖，矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AE⊥BD，垂足為E，∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠EAC的度數(shù)。分析：此題充分利用矩形對角線把矩形分成四個等腰三角形的根本圖形進(jìn)行求解。解略，答案450?！纠?】如圖，菱形ABCD的邊長為3，延長AB到點E，使BE＝2AB，連結(jié)EC并延長交AD的延長線于點F，求AF的長。分析：此題利用菱形的性質(zhì)，結(jié)合平行線分線段成比例的性質(zhì)定理，可使問題得解。解略，答案AF＝4.5。【例3】如圖，在矩形ABCD中，M是BC上的一動點，DE⊥AM，垂足為E，3AB＝2BC，并且AB、BC的長是方程的兩根?！?〕求的值；〔2〕當(dāng)點M離開點B多少時，△ADE的面積是△DEM面積的3倍？請說明理由。分析：用韋達(dá)定理建立線段AB、AC與一元二次方程系數(shù)的關(guān)系，求出。略解：〔1〕由韋達(dá)定理可得AB＋BC＝，AB·BC＝，又由BC＝AB可消去AB，得出一個關(guān)于的一元二次方程，解得＝12，＝，因AB＋BC＝＞0，∴＞2，故＝應(yīng)舍去?！?〕當(dāng)＝12時，AB＋BC＝10，AB·BC＝＝24，由于AB＜BC，所以AB＝4，BC＝6，由可得AE＝3EM＝AM。易證△AED∽△MBA得＝，設(shè)AE＝，AM＝，那么MB＝，而AB2＋BM2＝AM2，故，解得＝2，MB＝＝4。即當(dāng)MB＝4時，。評注：此題將幾何問題從“形〞向“數(shù)〞轉(zhuǎn)化，這類綜合題既有幾何證明中的分析和推理，又有代數(shù)式的靈活變換、計算，其解題過程層次較多，步驟較復(fù)雜，書寫過程也要加強訓(xùn)練。探索與創(chuàng)新：【問題一】如圖，四邊形ABCD中，AB＝，BC＝，CD＝6，且∠ABC＝1350，∠BCD＝1200，你知道AD的長嗎？分析：這個四邊形是一個不規(guī)那么四邊形，應(yīng)將它補割為規(guī)那么四邊形才便于求解。略解：作AE⊥CB的延長線于E，DF⊥BC的延長線于F，再作AG⊥DF于G∵∠ABC＝1350，∴∠ABE＝450∴△ABE是等腰直角三角形又∵AB＝，∴AE＝BE＝∵∠BCD＝1200，∴∠FCD＝600∴△DCF是含300的直角三角形∵CD＝6，CF＝3，DF＝∴EF＝＝8由作圖知四邊形AGFE是矩形∴AG＝EF＝8，F(xiàn)G＝AE＝從而DG＝DF－FG＝在△ADG中，∠AGD＝900∴AD＝＝＝＝【問題二】把矩形ABCD沿BD折疊至如上圖所示的情形，請你猜測四邊形ABDE是什么圖形，并證明你的猜測。分析與結(jié)論：此題根據(jù)題設(shè)并結(jié)合圖形猜測該四邊形是等腰梯形，利用對稱及全等三角形的有關(guān)知識易證。跟蹤訓(xùn)練：一、填空題：1、假設(shè)矩形的對稱中心到兩邊的距離差為4，周長為56，那么這個矩形的面積為。2、菱形的銳角是600，邊長是20cm，那么較短的對角線長是cm3、如圖，矩形ABCD中，O是對角線的交點，假設(shè)AE⊥BD于E，且OE∶OD＝1∶2，AE＝cm，那么DE＝cm。4、如圖，P是矩形ABCD內(nèi)一點，PA＝3，PD＝4，PC＝5，那么PB＝。5、如圖，在菱形ABCD中，∠B＝∠EAF＝600，∠BAE＝200，那么∠CEF＝。二、選擇題：6、在矩形ABCD的各邊AB、BC、CD、DA上分別取點E、F、G、H，使EFGH為矩形，那么這樣的矩形〔〕A、僅能作一個B、可以作四個C、一般情況下不可作D、可以作無窮多個7、如圖，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，P點在AD邊上以每秒1cmA、1B、2C、3D、48、如圖，矩形紙片ABCD中，AD＝9cm，AB＝3A、4cm、cmB、5cm、cmC、4cm、cmD、5cm、cm9、給出下面四個命題：①對角線相等的四邊形是矩形；②對角線互相垂直的四邊形是菱形；③有一個角是直角且對角線互相平分的四邊形是矩形；④菱形的對角線的平方和等于邊長平方的4倍。其中正確的命題有〔〕A、①②B、③④C、③D、①②③④10、平行四邊形四個內(nèi)角的平分線，如果能圍成一個四邊形，那么這個四邊形一定是〔〕A、矩形B、菱形C、正方形D、等腰梯形三、解答題：11、如圖，在矩形ABCD中，F(xiàn)是BC邊上一點，AF的延長線交DC的延長線于點G，DE⊥AG于E，且DE＝DC，根據(jù)上述條件，請在圖中找出一對全等三角形，并證明你的結(jié)論。12、如圖，在△ABC中，∠ACB＝900，CD是AB邊上的高，∠BAC的平分線AE交CD于F，EG⊥AB于G，求證：四邊形GECF是菱形。13、如圖，以△ABC的三邊為邊在BC的同一側(cè)分別作三個等邊三角形，即△ABD、△BCE、△ACF。請答復(fù)以下問題〔不要求證明〕：〔1〕四邊形ADEF是什么四邊形？〔2〕當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是矩形？〔3〕當(dāng)△ABC滿足什么條件時，以A、D、E、F為頂點的四邊形不存在？跟蹤訓(xùn)練參考答案一、填空題：1、180；2、20cm；3、3；4、；5、200提示：4題過點P作矩形任一邊的垂線，利用勾股定理求解；5題連結(jié)AC，證△ABE≌△ACF得AE＝AF，從而△AEF是等邊三角形。二、DDBBA三、解答題：11、可證△DEA≌△ABF12、略證：AE平分∠BAC，且EG⊥AB，EC⊥AC，故EG＝EC，易得∠AEC＝∠CEF，∵CF＝EC，EG＝CF，又因EG⊥AB，CD⊥AB，故EG∥CF。四邊形GECF是平行四邊形，又因EG＝FG，故GECF是菱形。13、〔1〕平行四邊形；〔2〕∠BAC＝1500；〔3〕當(dāng)∠BAC＝600時，以A、D、E、F為頂點的四邊形不存在。8.正方形知識考點：理解正方形的性質(zhì)和判定，并能利用它進(jìn)行有關(guān)的證明和計算。精典例題：【例1】如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊AB、BC上的點，且EF∥AC，在DA的延長線上取一點G，使AG＝AD，EG與DF相交于點H。求證：AH＝AD。分析：因為A是DG的中點，故在△DGH中，假設(shè)AH＝AD，當(dāng)且僅當(dāng)△DGH為直角三角形，所以只須證明△DGH為直角三角形〔證明略〕。評注：正方形除了具備平行四邊形的一般性質(zhì)外，還特別注意其直角的條件。本例中直角三角形的中線性質(zhì)使此題證明簡單?！纠?】如圖，在正方形ABCD中，P、Q分別是BC、CD上的點，假設(shè)∠PAQ＝450，求證：PB＋DQ＝PQ。分析：利用正方形的性質(zhì)，通過構(gòu)造全等三角形來證明。變式：假設(shè)條件改為PQ＝PB＋DQ，那么∠PAQ＝？你還能得到哪些結(jié)論？探索與創(chuàng)新：【問題一】如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E是AC上一點，過A作AG⊥EB于G，AG交BD于點F，那么OE＝OF，對上述命題，假設(shè)點E在AC的延長線上，AG⊥EB，交EB的延長線于點G，AG的延長線交DB的延長線于點F，其它條件不變，那么結(jié)論“OE＝OF〞還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，說明理由。分析：對于圖1通過全等三角形證明OE＝OF，這種證法是否能應(yīng)用到圖2的情境中去，從而作出正確的判斷。結(jié)論：〔2〕的結(jié)論“OE＝OF〞仍然成立。提示：只須證明△AOF≌△BOE即可。評注：此題以正方形為背景，突破了單純的計算與證明，著重考查了學(xué)生觀察、分析、判斷等多種能力?！締栴}二】操作，將一把三角尺放在邊長為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點P在對角線AC上滑行，直角的一邊始終經(jīng)過點B，另一邊與射線DC相交于點Q。探究：設(shè)A、P兩點間的距離為?！?〕當(dāng)點Q在邊CD上時，線段PQ與線段PB之間有怎樣的關(guān)系？試證明你觀察得到的結(jié)論；〔2〕當(dāng)點Q在邊CD上時，設(shè)四邊形PBCQ的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；〔3〕當(dāng)點P在線段AC上滑行時，△PCQ是否可能成為等腰三角形，如果可能，指出所有能使△PCQ成為等腰三角形的點Q的位置，并求出相應(yīng)的值；如果不可能，請說明理由〔題目中的圖形形狀大小都相同，供操作用〕。分析：〔1〕實驗猜測：PQ＝PB，再利用正方形性質(zhì)證明；〔2〕將四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積求；〔3〕可能。略解：〔1〕如圖1，易證BP＝PD，∠1＝∠2，∠PQD＝1800－∠PQC＝∠PBC＝∠PDQ∴PB＝PD＝PQ〔2〕如圖2，易證△BOP≌△PEQ∴QE＝PO＝AO－AP＝∴∴〔0≤＜〕〔3〕△PCQ可能成為等腰三角形。①當(dāng)點P與點A重合時，點Q與點D重合，這時PQ＝QC，△PCQ是等腰三角形，此時＝0；②當(dāng)點Q在邊DC的延長線上，且CP＝CQ時，△PCQ是等腰三角形〔如圖3〕。此時，QN＝PM＝，CN＝CP＝，所以CQ＝QN－CN＝，當(dāng)時，解得。評注：此題是一道新穎別致的好題，它考查學(xué)生實踐操作能力和探究問題的能力。跟蹤訓(xùn)練：一、填空題：1、給出下面三個命題：①對角線相等的四邊形是矩形；②對角線互相垂直的四邊形是菱形；③對角線互相垂直的矩形是正方形。其中真命題是〔填序號〕。2、如圖，將正方形ABCD的BC邊延長到E，使CE＝AC，AE與CD邊相交于F點，那么CE∶FC＝。3、如圖，把正方形ABCD沿著對角線AC的方向移動到正方形的位置，它們的重疊局部的面積是正方形ABCD面積的一半，假設(shè)AC＝，那么正方形移動的距離是。4、四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，給出以下題設(shè)條件：①AB＝BC＝CD＝DA；②AO＝BO＝CO＝DO；③AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD；④AB＝BC，CD＝DA。其中能判斷它是正方形的題設(shè)條件是〔把正確的序號填在橫線上〕。二、選擇題：1、如圖，把正方形ABCD的對角線AC分成段，以每一段為對角線作正方形，設(shè)這個小正方形的周長和為，正方形ABCD的周長為，那么與的關(guān)系式是。A、＜B、＞C、＝D、與無關(guān)2、如圖，在正方形ABCD中，DE＝EC，∠CDE＝600，那么以下關(guān)系式：①∠1∶∠4＝4∶1；②∠1∶∠3＝1∶1；③〔∠1＋∠2〕∶〔∠3＋∠4〕＝5∶3中，正確的選項是〔〕A、①②③B、僅①C、僅②和③D、僅①和③3、如圖，正方形ABCD的面積為256，點F在AD上，點E在AB的延長線上，Rt△CEF的面積為200，那么BE的值為〔〕A、10B、11C、12D、154、有假設(shè)干張如下圖的正方形和長方形紙片，表中所列四種方案能拼成邊長為的正方形的是〔〕數(shù)量〔張〕卡片方案〔1〕〔2〕〔3〕A112B111C121D211三、解答題：1、如圖，在正方形ABCD中，E是AD的中點，BD與CE交于F點，求證：AF⊥BE。2、正方形ABCD中，M是AB的中點，E是AB延長線上一點，MN⊥DM且交∠CBE的平分線于N。〔1〕求證：MD＝MN；〔2〕假設(shè)將上述條件中的“M是AB的中點〞改為“M是AB上任意一點〞，其余條件不變，那么結(jié)論“MD＝MN〞還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由。3、如圖，ABCD是正方形，P是對角線上的一點，引PE⊥BC于E，PF⊥DC于F。求證：〔1〕AP＝EF；〔2〕AP⊥EF。4、如圖，過正方形ABCD的頂點B作BE∥CA，作AE＝AC，又CF∥AE，求證：∠BCF＝∠AEB。跟蹤訓(xùn)練參考答案一、填空題：1、③；2、；3、；4、②二、選擇題：CDCA三、解答題：1、易證△ABF≌△CFB和△BAE≌△CDE，由△ABF≌△CFB∠AFB＝∠BFC∠FAD＝∠DCE；由△BAE≌△CDE∠DCE＝∠ABF。所以∠DAF＝∠EAB，故∠EHA＝∠EAB＝900，AF⊥BE。2、〔1〕如圖1，取AD中點F，連結(jié)MF，由MN⊥DM得∠DAM＝900，易證∠1＝∠2，又因∠MNB＝∠NBE－∠2＝450－∠2，∠DMF＝∠AFM－∠1＝450－∠1，所以∠DMF＝∠MNB，又因DF＝BM，所以△DMF≌△MNB，故MD＝MN?！?〕成立，如圖2，在AD上取DF＝MB，那么易知：∠1＝900－∠DMA，又∠2＋∠DMA＝900，∴∠1＝∠2，又∠DMF＝450－∠1，∠MNB＝450－∠2，∴∠DMF＝∠MNB，又DF＝MB，∴△DMF≌△MNB，故MD＝MN。3、略證：延長AP與EF相交于點H，連結(jié)PC，因為BD是對角線，易證PA＝PC，∠1＝∠2，根據(jù)PE⊥BC于E，PF⊥DC于F，知PECF為矩形，PC＝EF，且∠DAH＝∠FPH，又因為∠1＝∠2＝∠3，所以在△PHF中，∠FPH＋∠3＝∠4＋∠1＝900，所以△PHF為直角三角形，故AP⊥EF。4、提示：證AEFC是菱形，過A點作BE的垂線構(gòu)造300角的直角三角形。9.梯形知識考點：掌握梯形、直角梯形、等腰梯形的判定和性質(zhì)，并能熟練解決實際問題。精典例題：【例1】如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，中位線EF＝7，對角線AC⊥BD，∠BDC＝300，求梯形的高AH。分析：根據(jù)對角線互相垂直，將對角線平移后可構(gòu)造直角三角形求解。略解：過A作AM∥BD交CD的延長線于M?！逜B∥DC，∴DM＝AB，∠AMC＝∠BDC＝300又∵中位線EF＝7∴CM＝CD＋DM＝CD＋AB＝2EF＝14又∵AC⊥BD，∴AC⊥AM，AC＝CM＝7∵AH⊥CD，∴∠ACD＝600∴AH＝＝評注：平移梯形對角線、平移梯形的腰是解梯形問題時常用的輔助線。【例2】如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分別是AD、BC的中點，∠B＋∠C＝900，AD＝7，BC＝15，求EF的長。分析：將AB、CD平移至E點構(gòu)成直角三角形即可。答案：EF＝4探索與創(chuàng)新：【問題】，在梯形ABCD中，AD∥BC，點E在AB上，點F在DC上，且AD＝，BC＝?！?〕如果點E、F分別為AB、DC的中點，求證：EF∥BC且EF＝；〔2〕如圖2，如果，判斷EF和BC是否平行？請證明你的結(jié)論，并用、、、的代數(shù)式表示EF。分析：〔2〕根據(jù)〔1〕可猜測EF∥BC，連結(jié)AF并延長交BC的延長線于點M，利用平行線分線段成比例定理證明即可。略證：連結(jié)AF并延長交BC的延長線于點M∵AD∥BM，，∴在△ABM中有∴EF∥BC，∴EF＝＝而，故∴EF＝＝＝評注：此題是一道探索型試題，其目的是考查學(xué)生觀察、歸納、抽象、概括、猜測的能力，它要求學(xué)生能通過觀察進(jìn)行分析和比擬，從特殊到一般去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能概括地用數(shù)學(xué)公式表達(dá)出來。跟蹤訓(xùn)練：一、填空題：1、梯形的上底長為3，下底長為7，梯形的中位線所分成的上下兩局部的面積之比為。2、等腰梯形中，上底∶腰∶下底＝1∶2∶3，那么下底角的度數(shù)是。3、如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，CD＝10，∠C＝600，那么AB的長為。4、如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＝，CD＝，那么AB的長是。5、在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝3，BD＝4，AC＝3，那么梯形ABCD的面積是。6、如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，CD＝BC，E是BA、CD延長線的交點，∠E＝400，那么∠ACD＝度。二、選擇題：1、在課外活動課上，老師讓同學(xué)們做一個對角線互相垂直的等腰梯形形狀的風(fēng)箏，其面積為450cm2A、cmB、30cmC、60cmD、cm2、如圖，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝1，BC＝3，CD＝4，EF為梯形的中位線，DH為梯形的高，以下結(jié)論：①∠BCD＝600；②四邊形EHCF是菱形；③④以AB為直徑的圓與CD相切于點F。其中正確的結(jié)論有〔〕A、1個B、2個C、3個D、4個3、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝450，∠C＝1200，AB＝8，那么CD的長為〔〕A、B、C、D、4、如圖，在直角梯形ABCD中，底AB＝13，CD＝8，AD⊥AB，并且AD＝12，那么A到BC的距離為〔〕A、12B、13C、10D、12×21＋135、如圖，等腰梯形ABCD中，對角線AC＝BC＋AD那么∠DBC的度數(shù)為〔〕A、300B、450C、600三、解答題：1、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，在AB、DC上各取一點F、G，使BF＝CG，E是AD的中點。求證：∠EFG＝∠EGF。2、，在等腰△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC于H，D是底邊上任意一點，過D作BC的垂線交AC于M，交BA的延長線于N。求證：DM＋DN＝2AH。3、如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝6，CD＝2，延長BD到E，使DE＝DB，作EF⊥BA的延長線于點F，求AF的長。4、如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，對角線AC、BD相交于點O，∠ACD＝600，點S、P、Q分別是OD、OA、BC的中點?！?〕求證：△PQS是等邊三角形；〔2〕假設(shè)AB＝8，CD＝6，求的值。〔3〕假設(shè)∶＝4∶5，求CD∶AB的值。5、如圖，直角坐標(biāo)系內(nèi)的梯形AOBC，AC∥OB，AC、OB的長分別是關(guān)于的方程的兩根，并且∶＝1∶5。〔1〕求AC、OB的長；〔2〕當(dāng)BC⊥OC時，求OC的長及OC所在的直線解析式；〔3〕在第〔2〕問的條件下，線段OC上是否存在一點M，過M點作軸的平行線，交軸于F，交BC于D，過D點作軸的平行線交軸于E，使，假設(shè)存在，請直接寫出M點的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由。跟蹤訓(xùn)練參考答案一、填空題：1、2∶3；2、600；3、；4、；5、6；6、150二、選擇題：CBAAC三；解答題：1、證△AFE≌△DEG；2、作AH⊥MN于N，那么MN＝MH，AH＝MH＋MD易證NH＋DM＝AH；3、24、〔1〕連結(jié)CS、BP；〔2〕∵SB＝DO＋OB＝11，CS＝，BC＝＝，SQ＝，∴＝；〔3〕設(shè)CD＝，AB＝，＝。∴＝，又∶＝∶，那么＝，∵∶＝4∶5，∴。整理得：，，又∵，∴。即：。5、〔1〕AC＝1，OB＝5；〔2〕C〔1，2〕；〔3〕存在，〔，1〕，〔，〕10.三角形、梯形的中位線知識考點：掌握三角形、梯形的中位線定理，并會用它們進(jìn)行有關(guān)的論證和計算。精典例題：【例1】如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，M是腰AB的中點，且AD＋BC＝DC。求證：MD⊥MC。分析：遇到腰上中點的問題構(gòu)造梯形中位線可證明，也可以因為腰上有中點，延長DM與CB的延長線交于E點進(jìn)行證明。【例2】如圖，△ABC的三邊長分別為AB＝14，BC＝16，AC＝26，P為∠A的平分線AD上一點，且BP⊥AD，M為BC的中點，求PM的長。分析：∠A的平分線與BP邊上的垂線互相重合，通過作輔助線延長BP交AC于點Q，由△ABP≌△AQP知AB＝AQ＝14，又知M是BC的中點，所以PM是△BQC的中位線，于是此題得以解決。答案：PM＝6探索與創(chuàng)新：【問題一】E、F為凸四邊形ABCD的一組對邊AD、BC的中點，假設(shè)EF＝，問：ABCD為什么四邊形？請說明理由。分析與結(jié)論：如圖，利用三角形和梯形的中位線定理，連結(jié)AC，取AC的中點G，連EG、FG，那么EG∥CD，F(xiàn)G∥AB，∴EG＋FG＝，即EG＋FG＝EF，那么G點在EF上，EF∥CD，EF∥AB，故AB∥CD?！?〕假設(shè)AD∥BC，那么凸四邊形ABCD為平行四邊形；〔2〕假設(shè)AD不平行于BC，那么凸四邊形ABCD為梯形。評注：利用中位線構(gòu)造出CD、AB，其關(guān)鍵是連AC，并取其中點G。跟蹤訓(xùn)練：一、填空題：1、三角形各邊長為5、9、12，那么連結(jié)各邊中點所構(gòu)成的三角形的周長是。2、一個等腰梯形的周長為100cm，如果它的中位線與腰長相等，它的高為20cm，那么這個梯形的面積是3、假設(shè)梯形中位線被它的兩條對角線分成三等分，那么梯形的兩底之比為。4、直角梯形的中位線長