2021-2022學(xué)年山西省太原市英才學(xué)校高二數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析

2021-2022學(xué)年山西省太原市英才學(xué)校高二數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)，則，，（

）A．都不大于2

B．都不小于2C．至少有一個(gè)不大于2

D．至少有一個(gè)大于2參考答案：D2.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，則（

）A．1

B．

C．

D．參考答案：D由正弦定理，故選D.

3.已知若則等于（

）A.

B.

C.0

D.1參考答案：B考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的應(yīng)用．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了河南省的奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)值的求解，其中解答中涉及到實(shí)數(shù)指數(shù)冪的化簡(jiǎn)與運(yùn)算、對(duì)數(shù)的運(yùn)算與化簡(jiǎn)、函數(shù)奇偶性的判定與證明，解答中根據(jù)函數(shù)的解析式，得出（定值）是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵，著重考查學(xué)生分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．4..已知曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），M是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，若曲線T的極坐標(biāo)方程為，則點(diǎn)M到曲線T的距離的最大值為（

）A. B. C. D.參考答案：B在曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；曲線的直角坐標(biāo)方程為：，則點(diǎn)到的距離為，的最大值為，故選.點(diǎn)睛：（1）在解決極坐標(biāo)方程這類題型時(shí)，常用的方法是轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程求解。（2）求解橢圓、圓上的點(diǎn)到直線距離的最值問(wèn)題時(shí)，將橢圓、圓的參數(shù)方程求出，帶入點(diǎn)到值線的距離公式轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)求解。5.已知是R上的單調(diào)增函數(shù)，則的取值范圍是（

）A.

B.C.D.參考答案：D略6.正方體中，E、F分別是棱AB，的中點(diǎn)，與所成的角是，則

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C7.設(shè)函數(shù)，若，則的值為A.

B.

C.

D.

參考答案：D略8.設(shè)數(shù)集，且M、N都是集合的子集，如果把叫做集合的“長(zhǎng)度”，那么集合的“長(zhǎng)度”的最小值是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C9.已知復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在（

）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限參考答案：D【分析】原等式兩邊同乘以，從而可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為第四象限的點(diǎn)，故選D【點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí)，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算．要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過(guò)分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡(jiǎn)，防止簡(jiǎn)單問(wèn)題出錯(cuò)，造成不必要的失分.10.不等式的解集為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，且，則

參考答案：512.若△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊a、b、c滿足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，則a+b的最小值為．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理．【分析】利用余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC與（a+b）2﹣c2=4可得：ab=，由基本不等式即可求得a+b的最小值．【解答】解：∵（a+b）2﹣c2=4，∴c2=a2+b2+2ab﹣4①∵△ABC中，C=60°，∴c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab②由①②得：3ab=4，ab=．∴a+b≥2=2=（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)取“=”）．∴a+b的最小值為．故答案為：．13.如圖是樣本容量為200的頻率分布直方圖。根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計(jì)，樣本數(shù)據(jù)落在【6，10】?jī)?nèi)的頻數(shù)為

。參考答案：6414.已知函數(shù)（其中為常數(shù)），若在和時(shí)分別取得極大值和極小值，則

．參考答案：略15.若命題:方程有兩不等正根；:方程無(wú)實(shí)根.求使為真，為假的實(shí)數(shù)的取值范圍____________。參考答案：16.甲、乙、丙3人站到共有7級(jí)的臺(tái)階上，若每級(jí)臺(tái)階最多站2人，同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法總數(shù)是．參考答案：336【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題．【分析】由題意知本題需要分組解決，共有兩種情況，對(duì)于7個(gè)臺(tái)階上每一個(gè)只站一人，若有一個(gè)臺(tái)階有2人另一個(gè)是1人，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．【解答】解：由題意知本題需要分組解決，∵對(duì)于7個(gè)臺(tái)階上每一個(gè)只站一人有A73種；若有一個(gè)臺(tái)階有2人另一個(gè)是1人共有C31A72種，∴根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有不同的站法種數(shù)是A73+C31A72=336種．故答案為：336．17.直線與直線垂直，則=

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知拋物線：，直線交于兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，過(guò)作

軸的垂線交于點(diǎn)．（Ⅰ）證明：過(guò)點(diǎn)與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線（的斜率存在）與平行；（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)使若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由．參考答案：.解：（Ⅰ）如圖，設(shè)，，把代入得，由韋達(dá)定理得，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線的方程為，將代入上式得，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，，．即．（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，則，又是的中點(diǎn)，．由（Ⅰ）知．軸，．又

．，解得．即存在，使19.已知函數(shù)f（x）=xlnx（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；（Ⅱ）若直線l過(guò)點(diǎn)（0，﹣1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（Ⅰ）由原函數(shù)的解析式，我們易求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)函數(shù)的定義域進(jìn)行分段討論后，即可得到答案．（Ⅱ）由f'（x）=lnx+1，知f（x）=xlnx在（x0，x0lnx0）處的切線方程為y﹣x0lnx0=（lnx0+1）（x﹣x0），由切線l過(guò)點(diǎn)（0，﹣1），解得x0=1，由此能求出直線l的方程．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=lnx+1，x∈（0，+∞）又∵當(dāng)f'（x）=lnx+1=0，得x=，如下表∴f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增，在x=處取得極小值，且極小值為f（）=﹣．（Ⅱ）∵f'（x）=lnx+1，∴f（x）=xlnx在（x0，x0lnx0）處的切線方程為y﹣x0lnx0=（lnx0+1）（x﹣x0），∵切線l過(guò)點(diǎn)（0，﹣1），∴﹣1﹣x0lnx0=（lnx0+1）（﹣x0），解得x0=1，∴直線l的方程為：y=x﹣1．20.（本小題滿分12分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列前n項(xiàng)和為，首項(xiàng)為，且成等差數(shù)列。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.參考答案：解：（1）由題意知

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，兩式相減得整理得：∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。（2）∴，①②①-②得

21.（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）若函數(shù)的圖象在處的切線斜率為，求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；參考答案：（Ⅰ）

…………2分

由已知，解得.

…………4分

（II）

函數(shù)的定義域?yàn)?

…………5分（1）當(dāng)時(shí),，的單調(diào)遞增區(qū)間為；…………7分（2）當(dāng)時(shí).

…………9分

當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下：-+↘極小值↗

由上表可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是；單調(diào)遞增區(qū)間是.…………12分22.如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E與二面角C﹣BE﹣F都是60°．（1）證明平面ABEF⊥平面EFDC；（2）證明：CD∥EF（3）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定．【分析】（1）由AF⊥EF，得AF⊥DF，從而AF⊥平面EFDC，由此能證明平面ABEF⊥平面EFDC．（2）由AF⊥DF，AF⊥EF，得∠DFE為二面角D﹣AF﹣E的平面角，由CE⊥BE，BE⊥EF，得∠CEF為二面角C﹣BE﹣F的平面角．從而∠DFE=∠CEF=60°．由此能證明CD∥EF．（3）以E為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】證明：（1）∵ABEF為正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF?平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC．（2）由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE為二面角D﹣AF﹣E的平面角，由CE⊥BE，BE⊥EF，可得∠CEF為二面角C﹣BE﹣F的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB?平面EFDC，EF?平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB?平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF．解：（3）以E為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)FD=a，則E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0