地震數(shù)字處理-1de wolf、薄板和屏近似

利用DeWolf近似和相屏傳播算子計(jì)算反向散射波基于DeWolf近似和相屏單程傳播，給出了一種在地面反射地震觀測中計(jì)算一次反射波或反向散射波的合成地震記錄的方法。具體實(shí)現(xiàn)時(shí)有兩種不同的算法：一種是直接利用MFSB近似，其中計(jì)算反向散射波的步長等于網(wǎng)格間隔，但計(jì)算正向傳播的步長使用遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于網(wǎng)格間隔的屏間隔；另一種是對正向和反向散射波的屏近似，這樣兩種步長都能采用屏間隔，從而大大提高了計(jì)算效率。

在復(fù)雜不均勻介質(zhì)（尤其是3-D介質(zhì)）中，快速模擬方法和算法是發(fā)展復(fù)雜構(gòu)造成像和反演方法、地震方法解釋和用于復(fù)雜構(gòu)造的關(guān)鍵。有限差分和有限元法從原理上能模擬在任意不均勻介質(zhì)中波的傳播，但計(jì)算工作量大、效率低。在大型3-D彈性波問題的情況下更是不可想象。下面我們給出了一種基于多次正向散射-單次反向散射（Multiple-forescatteringsingle-backscatteringMFSB）近似，即DeWolf近似，在地面反射地震觀測中計(jì)算反向散射場的新方法。為快速實(shí)現(xiàn)該方法，我們推出了雙域算法。當(dāng)不均勻體尺度大于地震主波長時(shí)，這一理論可進(jìn)一步通過薄板近似和屏散射近似得到合理近似和簡化。屏近似能減少計(jì)算工作量、提高計(jì)算效率。數(shù)值模型試算驗(yàn)證了所提方法的有效性。一．多次正向散射-單次反向散射（MFSB）近似---DeWolf近似當(dāng)介質(zhì)體內(nèi)的不連續(xù)性不是很強(qiáng)或不均勻體的參數(shù)擾動(dòng)不太大時(shí)，在不均勻體和諧振散射之間的混響通?？梢院雎圆挥?jì)。但正向散射的累加效應(yīng)一般不能忽略掉。實(shí)際上，對于大型不均勻體介質(zhì)或長傳播距離，多次散射對正演模擬和反問題來講是很重要的。在這種情況下，Born近似不滿足，但可應(yīng)用DeWolf近似。1．Lipmann-Schwinger方程從標(biāo)量波動(dòng)方程出發(fā)（1）定義（2）得到（3）由地震疊加原理，令（4）那么，基于Green’s函數(shù)，有（5）其中，是背景介質(zhì)中的Green’s函數(shù)。上式就是Lipmann-Schwinger方程。2．散射序列的重新歸一化和DeWolf近似

Lipmann-Schwinger方程有一多次散射Born序列的標(biāo)準(zhǔn)解。廣泛應(yīng)用的Born近似是該序列的第一項(xiàng)。Born近似僅當(dāng)非勻質(zhì)體較弱和傳播距離較短時(shí)適用。在對多次散射序列重新歸一化后，DeWolf推出了MFSB近似：（6）其中，和分別是重新歸一化的多次正向散射場和Green’s函數(shù)。利用相屏算子可計(jì)算和。值得注意的是：DeWolf近似用重新歸一化的多次正向散射近似代替總的實(shí)際波場和自由空間的Green’s函數(shù)，優(yōu)于由Wu和Huang給出的近似，它是僅近似總的實(shí)際波場，而自由空間的Green’s函數(shù)保持不變。MFSB近似適用的條件是反向散射場遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于正向散射場。3．利用相屏傳播算子實(shí)現(xiàn)MFSB合成記錄利用（6）式可計(jì)算反向散射場（7）其中，是在深度z處接收器的水平位置。方程（7）利用相屏傳播算子可由數(shù)值法實(shí)現(xiàn)。為提高反向散射場的計(jì)算效率，在一薄板內(nèi)可使用局部Born近似。這意味著在薄板內(nèi)正向散射場可保持不擾動(dòng)，可由常速介質(zhì)中的Green’s函數(shù)來替代。對方程（7）相對做Fourier變換，得到（8）其中，（9）

（10）這樣，（8）式變?yōu)椋海?1）其中，是薄板的底。注意，二維內(nèi)積分是2-DFourier變換。因此，可使用雙域技術(shù)進(jìn)行反向散射計(jì)算。計(jì)算散射場的流程可概括如下：

1.把每一薄板入口處的入射波場變換到波數(shù)域；

2.在波數(shù)域通過自由傳播，計(jì)算薄板內(nèi)的一次波場；

3.在薄板內(nèi)的每一深度處，把一次波反變換到空間域，通過介質(zhì)的作用計(jì)算反向散射場；4.把反向散射場變換到波數(shù)域，與加權(quán)算子相乘，然后自由傳播到薄板入口處。通過薄板的總反向散射場利用相屏傳播算子可傳播到地表面；5.在薄板出口計(jì)算正向散射場，并與一次波場相加得到總波場作為下一薄板入口處的入射波場；6.重復(fù)以上步驟；7.對所有反向散射波求和得到地表處的總散射波場。

二．薄板散射近似在MFSB近似下，我們可利用正向傳播方向上的行進(jìn)算法更新總波場。我們把整個(gè)介質(zhì)切成與傳播方向相垂直的若干薄板。對每一薄板符合弱散射條件，這樣每一薄板可應(yīng)用Born近似。對每一正向步長，把通過和