4數(shù)值積分與數(shù)值微分

第5章數(shù)值積分與數(shù)值微分內(nèi)容提要5.1問題的提出5.2插值型求積公式5.3復(fù)合求積公式5.4龍貝格（Romberg)求積公式5.5高斯求積公式5.6數(shù)值微分

5.1問題的提出在一元函數(shù)的積分學(xué)中,我們已經(jīng)熟知,若函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)且其原函數(shù)為F(x),則可用牛頓―萊布尼茲公式來求定積分。牛頓―萊布尼茲公式雖然在理論上或在解決實(shí)際問題中都起了很大的作用,但它并不能完全解決定積分的計(jì)算問題。因?yàn)槎ǚe分的計(jì)算常常會(huì)碰到以下三種情況:5.1問題的提出(1)被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)F(x)不易找到。許多很簡(jiǎn)單的函數(shù),例如等,其原函數(shù)都不能用初等函數(shù)表示成有限形式。5.1問題的提出(2)被積函數(shù)f(x)沒有具體的解析表達(dá)式。其函數(shù)關(guān)系由表格或圖形表示,無法求出原函數(shù)。(3)盡管f(x)的原函數(shù)能表示成有限形式但其表達(dá)式相當(dāng)復(fù)雜。例如定積分的被積函數(shù)的原函數(shù)就比較復(fù)雜,從數(shù)值計(jì)算角度來看,計(jì)算量太大。5.1問題的提出5.1問題的提出5.2插值型求積公式建立數(shù)值積分公式最基本的思想是選取一個(gè)既簡(jiǎn)單又有足夠精度的函數(shù)φ(x),用φ(x)代替被積函數(shù)f(x),于是有現(xiàn)用插值多項(xiàng)式Pn(x)來代替被積函數(shù)f(x),即5.2插值型求積公式取基點(diǎn)為等距,即a=x0＜x1＜…＜xn=b

利用拉格朗日插值多項(xiàng)式5.2插值型求積公式其中這里yi=f(xi),5.2插值型求積公式5.2插值型求積公式牛頓―柯特斯求積公式牛頓―柯特斯求積公式的余項(xiàng)5.2插值型求積公式令x=x0+sh,0≤s≤n5.2插值型求積公式稱C(n)i為柯特斯求積系數(shù)。很顯然,當(dāng)n=1時(shí),可算得得到梯形公式5.2插值型求積公式當(dāng)n=2時(shí),可得得到辛普生公式5.2插值型求積公式當(dāng)n=3時(shí),可得得到數(shù)值積分公式為5.2插值型求積公式類似地可分別求出n=4,5,…時(shí)的柯特斯系數(shù),從而建立相應(yīng)的求積公式。具體結(jié)果下表。5.2插值型求積公式從表中可以看出,當(dāng)n≤7時(shí),柯特斯系數(shù)為正;當(dāng)n≥8時(shí),誤差有可能傳播擴(kuò)大?？绿厮瓜禂?shù)C(n)i僅與n和i有關(guān),與被積函數(shù)f(x)無關(guān),且滿足事實(shí)上,牛頓―柯特斯求積公式對(duì)f(x)=1是準(zhǔn)確成立的5.2插值型求積公式例1試分別用梯形公式和拋物線公式計(jì)算積分解利用梯形公式利用辛普生公式原積分的準(zhǔn)確值5.2插值型求積公式誤差估計(jì)：牛頓―柯特斯求積公式的余項(xiàng)為易知,牛頓―柯特斯求積公式對(duì)任何不高于n次的多項(xiàng)式是準(zhǔn)確成立的。這是因?yàn)閒(n+1)(ξ)≡0故Rn(f)≡05.2插值型求積公式牛頓―柯特斯求積公式的代數(shù)精確度至少為n。通常在基點(diǎn)個(gè)數(shù)相等的情況下,代數(shù)精確度愈高,求積公式就愈精確。Weierstrass定理：設(shè)f(x)是［a，b］上的連續(xù)函數(shù)，則對(duì)任意ε＞0，存在多項(xiàng)式p(x)，使對(duì)一切x(a≤x≤b)有|f(x)-p(x)|＜ε。代數(shù)精度的概念是：若某個(gè)求積公式對(duì)f(x)=1，x，x2，…，xm恒精確成立，而當(dāng)f(x)=xm+1時(shí)就不精確成立，我們就稱這一求積公式的代數(shù)精度為m。5.2插值型求積公式定理1(梯形公式的誤差)設(shè)f(x)在區(qū)間［a,b］上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),則梯形求積公式的誤差為證明：因梯形公式的余項(xiàng)為5.2插值型求積公式首先，復(fù)習(xí)第二積分中值定理。若函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間［a，b］上有界且可積，f(x)連續(xù)，g(x)在區(qū)間［a，b］內(nèi)不變號(hào)，則在區(qū)間［a，b］內(nèi)至少存在一個(gè)數(shù)ξ(a＜ξ＜b)，使得5.2插值型求積公式由于ω1(x)=(x-a)(x-b)在區(qū)間(a,b)內(nèi)不變號(hào),f″(ξ)是x的函數(shù)且在［a,b］上連續(xù),故根據(jù)積分第二中值定理知,存在某一η∈(a,b)使5.2插值型求積公式定理2(辛普生公式的誤差)：設(shè)f(x)在［a,b］上有連續(xù)的四階導(dǎo)數(shù),則辛普生公式的誤差為證明與梯形公式的誤差公式類似。5.3復(fù)合求積公式復(fù)合梯形公式對(duì)于定積分將積分區(qū)間［a,b］分成n個(gè)相等的子區(qū)間［xi，xi+1］,這里步長(zhǎng)在每一個(gè)子區(qū)間［xi,xi+1］上使用梯形公式,則5.3復(fù)合求積公式相加后得5.3復(fù)合求積公式若f″(x)在［a,b］上連續(xù),由連續(xù)函數(shù)的介值定理,存在某一ξ∈(a,b)使得5.3復(fù)合求積公式于是得到復(fù)合梯形公式其余項(xiàng)為5.3復(fù)合求積公式例2若用復(fù)合梯形公式計(jì)算積分問積分區(qū)間要等分多少才能保證有五位有效數(shù)字解:由余項(xiàng)公式5.3復(fù)合求積公式由于原積分的準(zhǔn)確值具有一位整數(shù),因此要使近似積分值有五位有效數(shù)字(精確到小數(shù)點(diǎn)后面4位),只需取n滿足5.3復(fù)合求積公式例3根據(jù)給出的函數(shù)的數(shù)據(jù)表,用復(fù)合梯形公式計(jì)算5.3復(fù)合求積公式5.3復(fù)合求積公式解:用復(fù)合梯形公式而I的準(zhǔn)確值為0.9460831…,可見復(fù)合梯形公式還不夠精確。5.4龍貝格(Romberg)積分方法我們已經(jīng)知道,當(dāng)被積函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)時(shí),要使得復(fù)合梯形公式比較精確地代替定積分可將分點(diǎn)(即基點(diǎn))加密,也就是將區(qū)間［a,b］細(xì)分,然后利用復(fù)合梯形公式求積。梯形法的遞推化事先給出一個(gè)合適的步長(zhǎng)很困難，所以需要變步長(zhǎng)的計(jì)算方案，即在步長(zhǎng)逐步分半的過程中，反復(fù)利用復(fù)化求積公式進(jìn)行計(jì)算，直到所求得的積分值滿足精度要求為止。設(shè)表示復(fù)化梯形求得的積分值，其下標(biāo)是等分?jǐn)?shù)，由此則有遞推公式

其中梯形法的加速梯形法的算法簡(jiǎn)單，但精度低，收斂的速度緩慢，如何提高收斂速度以節(jié)省計(jì)算量呢？由復(fù)化梯形公式的截?cái)嗾`差公式，由此可知，

這樣導(dǎo)出的加速公式是辛甫生公式：龍貝格算法我們可以在步長(zhǎng)逐步分半過程中將粗糙的積分值逐步加工為精度較高的積分值：龍貝格算法或者說將收斂緩慢的梯形值序列加工成收斂迅速的積分值序列，這種加速方法稱為龍貝格算法。梯形辛卜生柯特斯龍貝格T0T3T2T1S0S2S1C0C1D0龍貝格算法例題例4.用Romberg公式計(jì)算積分解：按Romberg公式的求積步驟進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如下：龍貝格算法例題(續(xù)1）龍貝格算法例題(續(xù)2）龍貝格算法例題(續(xù)3）把區(qū)間再分半，重復(fù)步驟(4)，可算出結(jié)果：至此得，因?yàn)橛?jì)算只用小數(shù)點(diǎn)后五位，故精確度只要求到0.00001因此積分5.5高斯求積公式不失一般性，設(shè)，考慮下列求積公式，適當(dāng)?shù)倪x取求積節(jié)點(diǎn)可以使上述求積公式具有階代數(shù)精度，這種高精度的求積公式稱為高斯（Gauss）公式，高斯公式的求積節(jié)點(diǎn)稱為高斯點(diǎn)。高斯點(diǎn)的基本特性盡管高斯點(diǎn)的確定原則上可以化為代數(shù)問題，但是由于所歸結(jié)的方程組是非線性的，而它的求解存在實(shí)質(zhì)性的困難，所以我們要從研究高斯點(diǎn)的基本特性著手解決高斯公式的構(gòu)造問題。設(shè)是求積公式中的高斯點(diǎn)，令

則有如下結(jié)論：定理節(jié)點(diǎn)是高斯點(diǎn)的充分必要條件是多項(xiàng)式與一切次數(shù)的多項(xiàng)式正交，即成立帶權(quán)的高斯公式高斯公式例題高斯公式例題(續(xù))例題運(yùn)用高斯公式計(jì)算積分解：兩點(diǎn)公式兩點(diǎn)梯形公式例題（續(xù)）三點(diǎn)公式：三點(diǎn)辛卜生公式：5.6數(shù)值微分當(dāng)函數(shù)f(x)以離散點(diǎn)列給出時(shí)，要求我們給出導(dǎo)數(shù)值，函數(shù)f(x)過于復(fù)雜這兩種情況都要求我們用數(shù)值的方法求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值微積分中，關(guān)于導(dǎo)數(shù)的定義如下：自然而又簡(jiǎn)單的方法就是，取極限的近似值，即差商5.6數(shù)值微分向前差商5.6數(shù)值微分由Taylor展開因此，有誤差5.6數(shù)值微分向后差商5.6數(shù)值微分由Taylor展開因此，有誤差5.6數(shù)值微分中心差商5.6數(shù)值微分由Taylor展開因此，有誤差5.6數(shù)值微分5.6數(shù)值微分例：f(x)=exp(x)hf’(1.15)R(x)hf’(1.15)R(x)0.103.1630-0.00480.053.1590-0.00080.093.1622-0.00400.043.1588-0.00060.083.1613-0.00310.033.1583-0.00010.073.1607-0.00250.023.1575-0.00070.063.1600-0.00180.013.1550-0.00325.6數(shù)值微分插值型數(shù)值微分插值是建立逼近函數(shù)的手段，用以研究原函數(shù)的性質(zhì)。因此，可以用插值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)近似為原函數(shù)的