第56講 參數(shù)方程（練）解析版

11/11第56講參數(shù)方程【練基礎(chǔ)】1．將圓x2＋y2＝4上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的eq\f(1,2)，得曲線C.(1)寫(xiě)出曲線C的參數(shù)方程；(2)設(shè)直線l：2x＋y＋2＝0與曲線C的交點(diǎn)為P1，P2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過(guò)線段P1P2的中點(diǎn)且與直線l垂直的直線的極坐標(biāo)方程．【解析】(1)因?yàn)閳Ax2＋y2＝4的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosφ，,y＝2sinφ))(φ為參數(shù))，所以曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosφ，,y＝2sinφ))(φ為參數(shù))．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosφ，,y＝2sinφ))得x2＋eq\f(y2,4)＝1.解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(y2,4)＝1，,2x＋y＋2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝0.))所以P1(0，－2)，P2(－1,0)．所以線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1)).易知與直線l垂直的直線的斜率k＝eq\f(1,2)，所以過(guò)線段P1P2的中點(diǎn)且與直線l垂直的直線的方程為y－(－1)＝eq\f(1,2)x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，即2x－4y－3＝0.又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以其極坐標(biāo)方程為2ρcosθ－4ρsinθ－3＝0.2．已知曲線C1，C2的參數(shù)方程分別為C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4cos2θ，,y＝4sin2θ))(θ為參數(shù))，C2：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t＋\f(1,t)，,y＝t－\f(1,t)))(t為參數(shù))．(1)將C1，C2的參數(shù)方程化為普通方程；(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．設(shè)C1，C2的交點(diǎn)為P，求圓心在極軸上，且經(jīng)過(guò)極點(diǎn)和P的圓的極坐標(biāo)方程．【解析】(1)C1的普通方程為x＋y＝4(0≤x≤4)．由C2的參數(shù)方程得x2＝t2＋eq\f(1,t2)＋2，y2＝t2＋eq\f(1,t2)－2，所以x2－y2＝4.故C2的普通方程為x2－y2＝4.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝4，,x2－y2＝4))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2)，,y＝\f(3,2)，))所以P的直角坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(3,2))).設(shè)所求圓的圓心的直角坐標(biāo)為(x0,0)，由題意得xeq\o\al(2,0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(5,2)))2＋eq\f(9,4)，解得x0＝eq\f(17,10).因此，所求圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝eq\f(17,5)cosθ.3．已知直線l的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)t，,y＝\f(\r(2),2)t＋4\r(2)))(t是參數(shù))，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))).(1)求圓心C的直角坐標(biāo)；(2)由直線l上的點(diǎn)向圓C引切線，求切線長(zhǎng)的最小值．【解析】(1)∵ρ＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝2eq\r(2)cosθ－2eq\r(2)sinθ，∴ρ2＝2eq\r(2)ρcosθ－2eq\r(2)ρsinθ，∴圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2eq\r(2)x＋2eq\r(2)y＝0，即(x－eq\r(2))2＋(y＋eq\r(2))2＝4.∴圓心C的直角坐標(biāo)為(eq\r(2)，－eq\r(2))．(2)由直線l上的點(diǎn)向圓C引切線，則切線長(zhǎng)為eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)t－\r(2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)t＋4\r(2)＋\r(2)))2－4)＝eq\r(t2＋8t＋48)＝eq\r(t＋42＋32)，又eq\r(t＋42＋32)≥4eq\r(2)，∴由直線l上的點(diǎn)向圓C引切線，切線長(zhǎng)的最小值為4eq\r(2).4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosα，,y＝2＋sinα))(α為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2＝eq\f(4,1＋3sin2θ).(1)寫(xiě)出曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)已知P為曲線C2上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作曲線C1的切線，切點(diǎn)為A，求|PA|的最大值．【解析】(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosα，,y＝2＋sinα，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosα，,y－2＝sinα，))又sin2α＋cos2α＝1，所以曲線C1的普通方程為x2＋(y－2)2＝1.由ρ2＝eq\f(4,1＋3sin2θ)得ρ2＋3(ρsinθ)2＝4.因?yàn)棣?＝x2＋y2，ρsinθ＝y(tǒng)，所以曲線C2的直角坐標(biāo)方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線C2：eq\f(x2,4)＋y2＝1上，所以可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2cosφ，sinφ)．因?yàn)榍€C1的方程為x2＋(y－2)2＝1，所以圓心為C1(0,2)，半徑r＝1.所以|PA|＝eq\r(|PC1|2－r2)＝eq\r(2cosφ2＋sinφ－22－1)＝eq\r(－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinφ＋\f(2,3)))2＋\f(25,3))當(dāng)sinφ＝－eq\f(2,3)時(shí)，|PA|有最大值eq\f(5\r(3),3).所以|PA|的最大值為eq\f(5\r(3),3).5．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a＋\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2＝eq\f(3,1＋2cos2θ).(1)求直線l的普通方程以及曲線C的參數(shù)方程；(2)當(dāng)a＝1時(shí)，P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最大值．【解析】(1)直線l的普通方程為y＝eq\r(3)(x－a)，曲線C的極坐標(biāo)方程可化為ρ2＋2ρ2cos2θ＝3，化簡(jiǎn)可得x2＋eq\f(y2,3)＝1，故曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝\r(3)sinθ))(θ為參數(shù))．(2)當(dāng)a＝1時(shí)，直線l的普通方程為eq\r(3)x－y－eq\r(3)＝0.由曲線C的參數(shù)方程，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(cosθ，eq\r(3)sinθ)，因此點(diǎn)P到直線l的距離可表示為d＝eq\f(|\r(3)cosθ－\r(3)sinθ－\r(3)|,2)＝eq\f(\r(3),2)|cosθ－sinθ－1|＝eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(2)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))－1)).當(dāng)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝－1時(shí)，d取得最大值為eq\f(\r(6)＋\r(3),2).6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋\f(\r(2),2)t，,y＝\f(\r(2),2)t))(t為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ＝2acosθ(a>0)．(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程，直線l的普通方程；(2)設(shè)直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)P(－2,0)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的值．【解析】(1)由ρsin2θ＝2acosθ(a>0)兩邊同乘以ρ得，曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2＝2ax(a＞0)．由直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋\f(\r(2),2)t，,y＝\f(\r(2),2)t))(t為參數(shù))，消去t，得直線l的普通方程為x－y＋2＝0.(2)將eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋\f(\r(2),2)t，,y＝\f(\r(2),2)t))代入y2＝2ax，得t2－2eq\r(2)at＋8a＝0，由Δ>0得a>4，設(shè)M，N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1＋t2＝2eq\r(2)a，t1t2＝8a，∵|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，∴|t1－t2|2＝|t1t2|，∴(2eq\r(2)a)2－4×8a＝8a，∴a＝5.7．已知曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cosα，,y＝sinα))(α為參數(shù))，以平面直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\r(2).(1)求直線l的直角坐標(biāo)方程及曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離|OP|的最大值；(2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且與x軸相交于點(diǎn)E，求|eq\o(EA,\s\up6(→))|＋|eq\o(EB,\s\up6(→))|的值．【解析】(1)由ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\r(2)，得ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)cosθ－\f(\r(2),2)sinθ))＝eq\r(2)，所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y－2＝0.根據(jù)題意，得|OP|＝eq\r(9cos2α＋sin2α)＝eq\r(8cos2α＋1)，因此曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離|OP|的最大值為3.(2)由(1)知直線l：x－y－2＝0與x軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,0)，得直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)t＋2，,y＝\f(\r(2),2)t))(t為參數(shù))，曲線C的直角坐標(biāo)方程為eq\f(x2,9)＋y2＝1，聯(lián)立得5t2＋2eq\r(2)t－5＝0，則t1＋t2＝－eq\f(2\r(2),5)，t1t2＝－1，所以|eq\o(EA,\s\up6(→))|＋|eq\o(EB,\s\up6(→))|＝|t1－t2|＝eq\r(t1＋t22－4t1t2)＝eq\f(6\r(3),5).8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù))，過(guò)點(diǎn)(0，－eq\r(2))且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點(diǎn)．(1)求α的取值范圍；(2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程．【解析】(1)⊙O的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝1.當(dāng)α＝eq\f(π,2)時(shí)，l與⊙O交于兩點(diǎn)．當(dāng)α≠eq\f(π,2)時(shí)，記tanα＝k，則l的方程為y＝kx－eq\r(2).l與⊙O交于兩點(diǎn)需滿足eq\f(\r(2),\r(1＋k2))<1，解得k<－1或k>1，即α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))或α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))).綜上，α的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))).(2)l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝－\r(2)＋tsinα))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t為參數(shù)，eq\f(π,4)<α<eq\f(3π,4))).設(shè)A，B，P對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，tP，則tP＝eq\f(tA＋tB,2)，且tA，tB滿足t2－2eq\r(2)tsinα＋1＝0.于是tA＋tB＝2eq\r(2)sinα，tP＝eq\r(2)sinα.又點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tPcosα，,y＝－\r(2)＋tPsinα，))所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)sin2α，,y＝－\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)cos2α))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α為參數(shù)，eq\f(π,4)<α<eq\f(3π,4))).【練提升】1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－5＋\r(2)cost，,y＝3＋\r(2)sint))(t為參數(shù))，在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝－eq\r(2).(1)求圓C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線l與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是圓C上任意一點(diǎn)，求A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)和△PAB面積的最小值．【解析】(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－5＋\r(2)cost，,y＝3＋\r(2)sint))消去參數(shù)t，得(x＋5)2＋(y－3)2＝2，所以圓C的普通方程為(x＋5)2＋(y－3)2＝2.由ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝－eq\r(2)，得ρcosθ－ρsinθ＝－2，所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y＋2＝0.(2)直線l與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為A(－2,0)，B(0,2)，化為極坐標(biāo)為A(2，π)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,2))).設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－5＋eq\r(2)cost,3＋eq\r(2)sint)，則點(diǎn)P到直線l的距離為d＝eq\f(|－5＋\r(2)cost－3－\r(2)sint＋2|,\r(2))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－6＋2cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(π,4))))),\r(2)).所以dmin＝eq\f(4,\r(2))＝2eq\r(2)，又|AB|＝2eq\r(2)，所以△PAB面積的最小值是S＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)＝4.2．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝m＋tcosα，,y＝tsinα))(t是參數(shù))．在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C：ρ＝4cosθ.(1)當(dāng)m＝－1，α＝30°時(shí)，判斷直線l與曲線C的位置關(guān)系；(2)當(dāng)m＝1時(shí)，若直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)P(1,0)，且||PA|－|PB||＝1，求直線l的傾斜角．【解析】(1)由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4，所以曲線C是以點(diǎn)M(2,0)為圓心，2為半徑的圓．由直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋\f(\r(3),2)t，,y＝\f(1,2)t))(t為參數(shù))，得直線l的直角坐標(biāo)方程為x－eq\r(3)y＋1＝0.由圓心M到直線l的距離d＝eq\f(|2－0＋1|,\r(1＋3))＝eq\f(3,2)<2，可知直線l與曲線C相交．(2)由題意可得直線l是經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,0)，傾斜角為α的直線，將eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosα，,y＝tsinα))代入(x－2)2＋y2＝4，整理得t2－2tcosα－3＝0，Δ＝(－2cosα)2＋12>0.設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1＋t2＝2cosα，t1t2＝－3<0，所以t1，t2異號(hào)，則||PA|－|PB||＝|t1＋t2|＝|2cosα|＝1，所以cosα＝±eq\f(1,2).又α∈[0，π)，所以直線l的傾斜角為eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).3．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosα，,y＝1＋tsinα))(t為參數(shù))，在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為ρ＝6cosθ.(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A，B，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1)，求|PA|＋|PB|的最小值．【解析】(1)由ρ＝6cosθ得ρ2＝6ρcosθ，化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝6x，即(x－3)2＋y2＝9.(2)將直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得t2＋2(sinα－cosα)t－7＝0.由Δ＝4(sinα－cosα)2＋4×7>0，故可設(shè)t1，t2是上述方程的兩根，所以t1＋t2＝2(cosα－sinα)，t1t2＝－7，又由直線過(guò)點(diǎn)(2,1)，故結(jié)合參數(shù)的幾何意義得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|＝eq\r(4sinα－cosα2＋28)＝eq\r(32－4sin2α)≥2eq\r(7)，當(dāng)sin2α＝1時(shí)取等號(hào)．所以|PA|＋|PB|的最小值為2eq\r(7).4．平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosα，,y＝tsinα))(其中t為參數(shù)，且0<α<π)，在以O(shè)為極點(diǎn)、x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系(兩種坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度)中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρtan2θ＝eq\f(2,cosθ).設(shè)直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P，且與曲線C交于A，B兩點(diǎn)．(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)及曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)求證：不論α為何值，eq\f(1,|PA|2)＋eq\f(1,|PB|2)為定值．【解析】(1)直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosα，,y＝tsinα))(其中t為參數(shù)，且0<α<π)，當(dāng)t＝0時(shí)，得點(diǎn)P(1,0)，即定點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0)．又曲線C的極坐標(biāo)方程為ρtan2θ＝eq\f(2,cosθ)，∴ρsin2θ＝2cosθ≠0，∴ρ2sin2θ＝2ρcosθ≠0，∴y2＝2x(x≠0)，即曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2＝2x(x≠0)．(2)證明：將直線l的參數(shù)方程代入y2＝2x(x≠0)，整理，得t2sin2α－2tcosα－2＝0，其中0<α<π，Δ＝4cos2α＋8sin2α＝4＋4sin2α>0，∴t1＋t2＝eq\f(2cosα,sin2α)，t1t2＝eq\f(－2,sin2α)，∴eq\f(1,|PA|2)＋eq\f(1,|PB|2)＝eq\f(1,t\o\al(2,1))＋eq\f(1,t\o\al(2,2))＝eq\f(t1＋t22－2t1t2,t1t22)＝eq\f(4cos2α＋4sin2α,4)＝1.∴不論α為何值，eq\f(1,|PA|2)＋eq\f(1,|PB|2)都為定值1.5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝eq\f(4cosθ,1－cos2θ)，直線l的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosα，,y＝2＋tsinα))(t為參數(shù)，0≤α<π)．(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為M(2,2)，求α.【解析】(1)曲線C：ρ＝eq\f(4cosθ,1－cos2θ)，即ρsin2θ＝4cosθ，于是有ρ2sin2θ＝4ρcosθ，化為直角坐標(biāo)方程為y2＝4x.(2)法一：聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x＝2＋tcosα，,y＝2＋tsinα，))則(2＋tsinα)2＝4(2＋tcosα)，即t2sin2α＋(4sinα－4cosα)t－4＝0.由AB的中點(diǎn)為M(2,2)，得t1＋t2＝0，有4sinα－4cosα＝0，所以k＝tanα＝1，由0≤α<π得α＝eq\f(π,4).法二：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝4x1，,y\o\al(2,2)＝4x2))?(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，∵y1＋y2＝4，∴k＝tanα＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝1，由0≤α<π得α＝eq\f(π,4).法三：設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),4)，y1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,2),4)，y2))(y1<y2)，則由M(2,2)是AB的中點(diǎn)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),4)＋\f(y\o\al(2,2),4)＝4，,y1＋y2＝4))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝4，,y1y2＝0，))∵y1<y2，∴y1＝0，y2＝4，知A(0,0)，B(4,4)，∴k＝tanα＝1，由0≤α<π得α＝eq\f(π,4).法四：依題意設(shè)直線l：y－2＝k(x－2)，與y2＝4x聯(lián)立得y－2＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y2,4)－2))，即ky2－4y－8k＋8＝0.由y1＋y2＝eq\f(4,k)＝4，得k＝tanα＝1，因?yàn)?≤α<π，所以α＝eq\f(π,4).6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝m＋2t，,y＝\r(2)t))(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2＝eq\f(4,1＋sin2θ).(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)P為曲線C上的點(diǎn)，PQ⊥l，垂足為Q，若|PQ|的最小值為2，求m的值．【解析】(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝m＋2t，,y＝\r(2)t))消去參數(shù)t，得x－eq\r(2)y＝m，所以直線l的普通方程為x－eq\r(2)y－m＝0.因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為ρ2＝eq\f(4,1＋sin2θ)，即ρ2＋ρ2sin2θ＝4，將ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y(tǒng)代入上式并化簡(jiǎn)得eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)設(shè)P(2cosθ，eq\r(2)sinθ)．由點(diǎn)到直線的距離公式，得|PQ|＝eq\f(|2cosθ－2sinθ－m|,\r(3))＝eq\f(2\r(2)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))－m,\r(3)).由題意知m≠0.當(dāng)m>0時(shí)，|PQ|min＝eq\f(|2\r(2)－m|,\r(3))＝2，解得m＝2eq\r(3)＋2eq\r(2)；當(dāng)m<0時(shí)，|PQ|min＝eq\f(|－2\r(2)－m|,\r(3))＝2，解得m＝－2eq\r(3)－2eq\r(2).所以m＝2eq\r(3)＋2eq\r(2)或m＝－2eq\r(3)－2eq\r(2).7．已知曲線C1的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線C2的極坐標(biāo)方程是ρ＝2sinθ.(1)寫(xiě)出曲線C1的極坐標(biāo)方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)已知點(diǎn)M1，M2的極坐標(biāo)分別為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))和(2,0)，直線M1M2與曲線C2相交于P，Q兩點(diǎn)，射線OP與曲線C1相交于點(diǎn)A，射線OQ與曲線C1相交于點(diǎn)B，求eq\f(1,|OA|2)＋eq\f(1,|OB|2)的值．【解析】(1)曲線C1的普通方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1，化成極坐標(biāo)方程為eq\f(ρ2cos2θ,4)＋ρ2sin2θ＝1.曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋(y－1)2＝1.(2)在直角坐標(biāo)系下，M1(0,1)，M2(2,0)，M1M2：x＋2y－2＝0，恰好過(guò)x2＋(y－1)2＝1的圓心，所以∠POQ＝90°.由OP⊥OQ得OA⊥OB，A，B是橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1上的兩點(diǎn)．在極坐標(biāo)下，設(shè)A(ρ1，θ)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ2，θ＋\f(π,2)))，分別代入eq\f(ρ2cos2θ,4)＋ρ2sin2θ＝1中，有eq\f(ρ\o\al(2,1)cos2θ,4)＋ρeq\o\al