第十二章 推理與證明、算法、復(fù)數(shù)

第一節(jié)合情推理與演繹推理考綱要求：1.了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用．2．了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理．3．了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異．1．合情推理(1)歸納推理①定義：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理．②特點：是由部分到整體、由個別到一般的推理．(2)類比推理①定義：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理．②特點：是由特殊到特殊的推理．2．演繹推理(1)演繹推理從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理．簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段論”是演繹推理的一般模式①大前提——已知的一般原理．②小前提——所研究的特殊情況．③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷．eq\a\vs4\al([自我查驗])1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確．()(2)由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理．()(3)在類比時，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適．()(4)演繹推理的結(jié)論一定是正確的．()(5)演繹推理是由特殊到一般再到特殊的推理．()(6)在演繹推理中，只要符合演繹推理的形式，結(jié)論就一定正確．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×(6)×2．下列表述正確的是()①歸納推理是由部分到整體的推理；②歸納推理是由一般到一般的推理；③演繹推理是由一般到特殊的推理；④類比推理是由特殊到一般的推理；⑤類比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤解析：選D由歸納推理、類比推理及演繹推理的特征可知①③⑤正確．3．“因為指數(shù)函數(shù)y＝ax是增函數(shù)(大前提)，而y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x是指數(shù)函數(shù)(小前提)，所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x是增函數(shù)(結(jié)論)”，上面推理的錯誤在于()A．大前提錯導(dǎo)致結(jié)論錯B．小前提錯導(dǎo)致結(jié)論錯C．推理形式錯導(dǎo)致結(jié)論錯D．大前提和小前提都錯導(dǎo)致結(jié)論錯解析：選Ay＝ax是增函數(shù)這個大前提是錯誤的，從而導(dǎo)致結(jié)論錯誤．4．已知數(shù)列{an}的第1項a1＝1，且an＋1＝eq\f(an,1＋an)(n＝1,2,3，…)，歸納該數(shù)列的通項公式an＝________.答案：eq\f(1,n)5．在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4.類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長的比為1∶2，則它們的體積比為________．解析：eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,3)S1h1,\f(1,3)S2h2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(S1,S2)))·eq\f(h1,h2)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).答案：1∶8歸納推理是發(fā)現(xiàn)問題、找出規(guī)律的具體鮮明的方法，也是創(chuàng)新的一種思維方式，因而成為高考考查的亮點，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，且主要有以下幾個命題角度：角度一：數(shù)的歸納[典題1](1)給出以下數(shù)對序列：(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)……記第i行的第j個數(shù)對為aij，如a43＝(3,2)，則anm＝()A．(m，n－m＋1)B．(m－1，n－m)C．(m－1，n－m＋1)D．(m，n－m)(2)兩旅客坐火車外出旅游，希望座位連在一起，且有一個靠窗，已知火車上的座位如圖所示，則下列座位號碼符合要求的應(yīng)當(dāng)是()A.48,49B．62,63C．75,76D．84[聽前試做](1)由前4行的特點，歸納可得：若anm＝(a，b)，則a＝m，b＝n－m＋1，∴anm＝(m，n－m＋1)．(2)由已知圖形中座位的排序規(guī)律可知，被5除余1的數(shù)和能被5整除的座位號靠窗，由于兩旅客希望座位連在一起，且有一個靠窗，分析答案中的4組座位號知，只有D符合條件．答案：(1)A(2)D解決此類問題時，需要細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關(guān)系，同時還要聯(lián)系相關(guān)的知識，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等．角度二：式的歸納[典題2](1)(2015·陜西高考)觀察下列等式：1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)，1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)，……據(jù)此規(guī)律，第n個等式__________________．(2)已知f(x)＝eq\f(x,ex)，f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝[f1(x)]′，…，fn＋1(x)＝[fn(x)]′，n∈N*，經(jīng)計算：f1(x)＝eq\f(1－x,ex)，f2(x)＝eq\f(x－2,ex)，f3(x)＝eq\f(3－x,ex)，…，照此規(guī)律，則fn(x)＝________.(3)(2016·日照模擬)設(shè)n為正整數(shù)，f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)，計算得f(2)＝eq\f(3,2)，f(4)>2，f(8)>eq\f(5,2)，f(16)>3，觀察上述結(jié)果，可推測一般的結(jié)論為________．[聽前試做](1)觀察所給等式的左右可以歸納出1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n).(2)因為f1(x)＝eq\f(－1x－1,ex)，f2(x)＝eq\f(－12x－2,ex)，f3(x)＝eq\f(－13x－3,ex)，…，所以fn(x)＝eq\f(－1nx－n,ex).(3)∵f(21)＝eq\f(3,2)，f(22)>2＝eq\f(4,2)，f(23)>eq\f(5,2)，f(24)>eq\f(6,2)，∴歸納得f(2n)≥eq\f(n＋2,2)(n∈N*)．答案：(1)1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)(2)eq\f(－1nx－n,ex)(3)f(2n)≥eq\f(n＋2,2)(n∈N*)(1)與數(shù)字有關(guān)的等式的推理．觀察數(shù)字特點，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號后可解．(2)與不等式有關(guān)的推理．觀察每個不等式的特點，注意是縱向看，找到規(guī)律后可解．角度三：形的歸納[典題3](1)(2016·重慶模擬)某種樹的分枝生長規(guī)律如圖所示，第1年到第5年的分枝數(shù)分別為1,1,2,3,5，則預(yù)計第10年樹的分枝數(shù)為()A．21B．34C．52D(2)蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖．其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規(guī)律，以f(n)表示第n個圖的蜂巢總數(shù)．則f(4)＝________，f(n)＝________.[聽前試做](1)因為2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即從第三項起每一項都等于前兩項的和，所以第10年樹的分枝數(shù)為21＋34＝55.(2)因為f(1)＝1，f(2)＝7＝1＋6，f(3)＝19＝1＋6＋12，所以f(4)＝1＋6＋12＋18＝37，所以f(n)＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n－1)＝3n2－3n＋1.答案：(1)D(2)373n2－3n＋1(1)歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷出一般現(xiàn)象，因而由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包含的范圍．(2)歸納的前提是特殊的情況，所以歸納是立足于觀察、經(jīng)驗或試驗的基礎(chǔ)之上．(3)歸納推理所得結(jié)論未必正確，有待進一步證明，但對數(shù)學(xué)結(jié)論和科學(xué)的發(fā)現(xiàn)有很大作用．[典題4](1)(2016·南昌模擬)如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝a，CD＝b(a>b)．若EF∥AB，EF到CD與AB的距離之比為m∶n，則可推算出：EF＝eq\f(ma＋nb,m＋n).用類比的方法，推想出下面問題的結(jié)果．在上面的梯形ABCD中，分別延長梯形的兩腰AD和BC交于O點，設(shè)△OAB，△ODC的面積分別為S1，S2，則△OEF的面積S0與S1，S2的關(guān)系是()A．S0＝eq\f(mS1＋nS2,m＋n)B．S0＝eq\f(nS1＋mS2,m＋n)C.eq\r(S0)＝eq\f(m\r(S1)＋n\r(S2),m＋n)D.eq\r(S0)＝eq\f(n\r(S1)＋m\r(S2),m＋n)(2)已知面積為S的凸四邊形中，四條邊長分別記為a1，a2，a3，a4，點P為四邊形內(nèi)任意一點，且點P到四條邊的距離分別記為h1，h2，h3，h4，若eq\f(a1,1)＝eq\f(a2,2)＝eq\f(a3,3)＝eq\f(a4,4)＝k，則h1＋2h2＋3h3＋4h4＝eq\f(2S,k).類比以上性質(zhì)，體積為V的三棱錐的每個面的面積分別記為S1，S2，S3，S4，此三棱錐內(nèi)任一點Q到每個面的距離分別為H1，H2，H3，H4，若eq\f(S1,1)＝eq\f(S2,2)＝eq\f(S3,3)＝eq\f(S4,4)＝K，則H1＋2H2＋3H3＋4H4＝()A.eq\f(4V,K)B.eq\f(3V,K)C.eq\f(2V,K)D.eq\f(V,K)[聽前試做](1)在平面幾何中類比幾何性質(zhì)時，一般是由平面幾何中點的性質(zhì)類比推理線的性質(zhì)；由平面幾何中線段的性質(zhì)類比推理面積的性質(zhì)．故由EF＝eq\f(ma＋nb,m＋n)類比到關(guān)于△OEF的面積S0與S1，S2的關(guān)系是eq\r(S0)＝eq\f(m\r(S1)＋n\r(S2),m＋n).(2)根據(jù)三棱錐的體積公式，得eq\f(1,3)S1H1＋eq\f(1,3)S2H2＋eq\f(1,3)S3H3＋eq\f(1,3)S4H4＝V，即KH1＋2KH2＋3KH3＋4KH4＝3V，∴H1＋2H2＋3H3＋4H4＝eq\f(3V,K).答案：(1)C(2)B(1)類比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步驟為：①找出兩類事物之間的相似性或一致性；②用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題(猜想)．(2)類比推理的關(guān)鍵是找到合適的類比對象．平面幾何中的一些定理、公式、結(jié)論等，可以類比到立體幾何中，得到類似的結(jié)論．在平面幾何中：△ABC的∠C內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比為eq\f(AC,BC)＝eq\f(AE,BE).把這個結(jié)論類比到空間：在三棱錐A-BCD中(如圖)，DEC平分二面角A-CD-B且與AB相交于E，則得到類比的結(jié)論是_____________________．解析：由平面中線段的比轉(zhuǎn)化為空間中面積的比可得eq\f(AE,EB)＝eq\f(S△ACD,S△BCD).答案：eq\f(AE,EB)＝eq\f(S△ACD,S△BCD)[典題5]已知函數(shù)f(x)＝－eq\f(\r(a),ax＋\r(a))(a>0，且a≠1)．(1)證明：函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))對稱；(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．[聽前試做](1)證明：函數(shù)f(x)的定義域為全體實數(shù)，任取一點(x，y)，它關(guān)于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))對稱的點的坐標(biāo)為(1－x，－1－y)．由已知y＝－eq\f(\r(a),ax＋\r(a))，則－1－y＝－1＋eq\f(\r(a),ax＋\r(a))＝－eq\f(ax,ax＋\r(a))，f(1－x)＝－eq\f(\r(a),a1－x＋\r(a))＝－eq\f(\r(a),\f(a,ax)＋\r(a))＝－eq\f(\r(a)·ax,a＋\r(a)·ax)＝－eq\f(ax,ax＋\r(a))，∴－1－y＝f(1－x)，即函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))對稱．(2)由(1)知－1－f(x)＝f(1－x)，即f(x)＋f(1－x)＝－1.∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，f(0)＋f(1)＝－1.故f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.演繹推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式為三段論，演繹推理的前提和結(jié)論之間有著某種蘊含關(guān)系，解題時要找準(zhǔn)正確的大前提．一般地，若大前提不明確時，可找一個使結(jié)論成立的充分條件作為大前提．已知函數(shù)y＝f(x)滿足：對任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，試證明：f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù)．證明：設(shè)任意x1，x2∈R，取x1<x2，則由題意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，∵x1<x2，∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)．∴y＝f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù)．—————————————[課堂歸納——感悟提升]——————————————[方法技巧]1．合情推理的過程概括為eq\x(從具體問題出發(fā))→eq\x(觀察、分析、比較、聯(lián)想)→eq\x(歸納、類比)→eq\x(提出猜想)2．演繹推理是從一般的原理出發(fā)，推出某個特殊情況的結(jié)論的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段論．?dāng)?shù)學(xué)問題的證明主要通過演繹推理來進行．[易錯防范]1．在進行類比推理時要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表面現(xiàn)象迷惑，如果只抓住一點表面現(xiàn)象的相似甚至假象就去類比，那么就會犯機械類比的錯誤．2．合情推理是從已知的結(jié)論推測未知的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)與猜想的結(jié)論都要經(jīng)過進一步嚴(yán)格證明．3．演繹推理是由一般到特殊的推理，它常用來證明和推理數(shù)學(xué)問題，解題時應(yīng)注意推理過程的嚴(yán)密性，書寫格式的規(guī)范性．eq\a\vs4\al([全盤鞏固])一、選擇題1．觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(－x)＝()A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)解析：選D由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，因此當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時，其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù)，故g(－x)＝－g(x)．2．觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝()A．121B．123C．231D解析：選B法一：由a＋b＝1，a2＋b2＝3，得ab＝－1，代入后三個等式中符合，則a10＋b10＝(a5＋b5)2－2a5b5法二：令an＝an＋bn，則a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝7，…，得an＋2＝an＋an＋1，從而a6＝18，a7＝29，a8＝47，a9＝76，a10＝123.3．在平面幾何中有如下結(jié)論：正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1，外接圓面積為S2，則eq\f(S1,S2)＝eq\f(1,4)，推廣到空間可以得到類似結(jié)論：已知正四面體P-ABC的內(nèi)切球體積為V1，外接球體積為V2，則eq\f(V1,V2)＝()A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,64)D.eq\f(1,27)解析：選D正四面體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為1∶3，故eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,27).4．(2016·陜西商洛期中)對于任意的兩個實數(shù)對(a，b)和(c，d)，規(guī)定：(a，b)＝(c，d)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c，b＝d；運算“”為：(a，b)(c，d)＝(ac－bd，bc＋ad)；運算“”為：(a，b)(c，d)＝(a＋c，b＋d)，設(shè)p，q∈R，若(1,2)(p，q)＝(5,0)，則(1,2)(p，q)＝()A．(4,0)B．(2,0)C．(0,2)D．(0，－4)解析：選B由(1,2)(p，q)＝(5,0)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p－2q＝5，,2p＋q＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝1，,q＝－2，))所以(1,2)(p，q)＝(1,2)(1，－2)＝(2,0)．5．(2016·西安五校聯(lián)考)已知“整數(shù)對”按如下規(guī)律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，則第60個“整數(shù)對”是()A．(7,5)B．(5,7)C．(2,10)D．(10,1)解：選B依題意，把“整數(shù)對”的和相同的分為一組，不難得知第n組中每個“整數(shù)對”的和均為n＋1，且第n組共有n個“整數(shù)對”，這樣的前n組一共有eq\f(nn＋1,2)個“整數(shù)對”，注意到eq\f(10×10＋1,2)＜60＜eq\f(11×11＋1,2)，因此第60個“整數(shù)對”處于第11組(每個“整數(shù)對”的和為12的組)的第5個位置，結(jié)合題意可知每個“整數(shù)對”的和為12的組中的各對數(shù)依次為：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60個“整數(shù)對”是(5,7)．二、填空題6．觀察下列不等式：1＋3＋3<π2，1＋3×2＋3×22<π4，1＋3×3＋3×32<π6，……照此規(guī)律，第n－1(n≥2，n∈N*)個不等式是________．解析：根據(jù)所給不等式易歸納推理出第n(n∈N*)個不等式是1＋3n＋3n2<π2n，所以可以歸納推測出第n－1(n≥2，n∈N*)個不等式是1＋3(n－1)＋3(n－1)2<π2n－2.答案：1＋3(n－1)＋3(n－1)2<π2n－27．(2016·日照模擬)對于實數(shù)x，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，觀察下列等式：[eq\r(1)]＋[eq\r(2)]＋[eq\r(3)]＝3，[eq\r(4)]＋[eq\r(5)]＋[eq\r(6)]＋[eq\r(7)]＋[eq\r(8)]＝10，[eq\r(9)]＋[eq\r(10)]＋[eq\r(11)]＋[eq\r(12)]＋[eq\r(13)]＋[eq\r(14)]＋[eq\r(15)]＝21，……按照此規(guī)律第n個等式的等號右邊的結(jié)果為________．解析：因為[eq\r(1)]＋[eq\r(2)]＋[eq\r(3)]＝1×3，[eq\r(4)]＋[eq\r(5)]＋[eq\r(6)]＋[eq\r(7)]＋[eq\r(8)]＝2×5，[eq\r(9)]＋[eq\r(10)]＋[eq\r(11)]＋[eq\r(12)]＋[eq\r(13)]＋[eq\r(14)]＋[eq\r(15)]＝3×7，……，以此類推，第n個等式的等號右邊的結(jié)果為n(2n＋1)，即2n2＋n.答案：2n2＋n8．如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，那么對于區(qū)間D內(nèi)的任意x1，x2，…，xn，都有eq\f(fx1＋fx2＋…＋fxn,n)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n))).若y＝sinx在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．解析：由題意知，凸函數(shù)滿足eq\f(fx1＋fx2＋…＋fxn,n)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n)))，又y＝sinx在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)，則sinA＋sinB＋sinC≤3sineq\f(A＋B＋C,3)＝3sineq\f(π,3)＝eq\f(3\r(3),2).答案：eq\f(3\r(3),2)三、解答題9．定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和．已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1＝2，公和為5.求：(1)a18的值；(2)該數(shù)列的前n項和Sn.解：(1)由等和數(shù)列的定義，數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1＝2，公和為5，易知a2n－1＝2，a2n＝3(n＝1,2，…)，故a18＝3.(2)當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an)＝2＋2＋…＋eq\o(2,\s\do4(\f(n,2)個2))＋3＋3＋…＋eq\o(3,\s\do4(\f(n,2)個3))＝eq\f(5,2)n；當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn＝Sn－1＋an＝eq\f(5,2)(n－1)＋2＝eq\f(5,2)n－eq\f(1,2).綜上所述，Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)n，n為偶數(shù)，,\f(5,2)n－\f(1,2)，n為奇數(shù).))10．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求證：eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).在四面體ABCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想？并說明理由．解：如圖所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,BD·DC)＝eq\f(BC2,BD·BC·DC·BC)＝eq\f(BC2,AB2·AC2).又BC2＝AB2＋AC2，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(AB2＋AC2,AB2·AC2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).猜想，在四面體ABCD中，AB、AC、AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD，則eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).證明：如圖，連接BE并延長交CD于F，連接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.∵AF?平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AF2).∵AB⊥平面ACD，∴AB⊥CD.∵AE⊥平面BCD，∴AE⊥CD.又AB與AE交于點A，∴CD⊥平面ABF，∴CD⊥AF.∴在Rt△ACD中eq\f(1,AF2)＝eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2)，∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).eq\a\vs4\al([沖擊名校])1．(2016·太原模擬)某單位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲說：我在1日和3日都有值班；乙說：我在8日和9日都有值班；丙說：我們?nèi)烁髯灾蛋嗟娜掌谥拖嗟龋畵?jù)此可判斷丙必定值班的日期是()A．2日和5日B．5日和6日C．6日和11日D．2日和11日解析：選C這12天的日期之和S12＝eq\f(12,2)(1＋12)＝78，甲、乙、丙各自的日期之和是26.對于甲，剩余2天日期之和22，因此這兩天是10日和12日，故甲在1日，3日，10日，12日有值班；對于乙，剩余2天日期之和是9，可能是2日，7日，也可能是4日，5日，因此丙必定值班的日期是6日和11日．2．如圖，將平面直角坐標(biāo)系中的格點(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點)按如下規(guī)則標(biāo)上數(shù)字標(biāo)簽：原點處標(biāo)0，點(1,0)處標(biāo)1，點(1，－1)處標(biāo)2，點(0，－1)處標(biāo)3，點(－1，－1)處標(biāo)4，點(－1,0)處標(biāo)5，點(－1,1)處標(biāo)6，點(0,1)處標(biāo)7，依此類推，則標(biāo)簽為20132的格點的坐標(biāo)為()A．(1006,1005)B．(1007,1006)C．(1008,1007)D．(1009,1008)解析：選B因為點(1,0)處標(biāo)1＝12，點(2,1)處標(biāo)9＝32，點(3,2)處標(biāo)25＝52，點(4,3)處標(biāo)49＝72，依此類推得點(1007，1006)處標(biāo)20132.故選B.3．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x>0)，觀察：f1(x)＝f(x)＝eq\f(x,x＋2)，f2(x)＝f(f1(x))＝eq\f(x,3x＋4)，f3(x)＝f(f2(x))＝eq\f(x,7x＋8)，f4(x)＝f(f3(x))＝eq\f(x,15x＋16)，……根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：當(dāng)n∈N*且n≥2時，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.解析：根據(jù)題意知，分子都是x，分母中的常數(shù)項依次是2,4,8,16，…，可知fn(x)的分母中常數(shù)項為2n，分母中x的系數(shù)為2n－1，故fn(x)＝f(fn－1(x))＝eq\f(x,2n－1x＋2n).答案：eq\f(x,2n－1x＋2n)4．(2016·淄博模擬)如圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茨調(diào)和三角形”，它是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第n行有n個數(shù)且兩端的數(shù)均為eq\f(1,n)(n≥2)，每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，如eq\f(1,1)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)，eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)，eq\f(1,3)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,12)，則第7行第4個數(shù)(從左往右)為________．eq\f(1,1)eq\f(1,2)eq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,4)eq\f(1,12)eq\f(1,12)eq\f(1,4)eq\f(1,5)eq\f(1,20)eq\f(1,30)eq\f(1,20)eq\f(1,5)……解析：設(shè)第n行第m個數(shù)為a(n，m)，由題意知a(6,1)＝eq\f(1,6)，a(7,1)＝eq\f(1,7)，∴a(7,2)＝a(6,1)－a(7,1)＝eq\f(1,6)－eq\f(1,7)＝eq\f(1,42)，a(6,2)＝a(5,1)－a(6,1)＝eq\f(1,5)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,30)，a(7,3)＝a(6,2)－a(7,2)＝eq\f(1,30)－eq\f(1,42)＝eq\f(1,105)，a(6,3)＝a(5,2)－a(6，2)＝eq\f(1,20)－eq\f(1,30)＝eq\f(1,60)，∴a(7,4)＝a(6,3)－a(7,3)＝eq\f(1,60)－eq\f(1,105)＝eq\f(1,140).答案：eq\f(1,140)5．對于三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，給出定義：設(shè)f′(x)是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)，f″(x)是f′(x)的導(dǎo)數(shù)，若方程f″(x)＝0有實數(shù)解x0，則稱點(x0，f(x0))為函數(shù)y＝f(x)的“拐點”．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．若f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)x2＋3x－eq\f(5,12)，請你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，(1)求函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)x2＋3x－eq\f(5,12)的對稱中心；(2)計算feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2017)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2017)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2017)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2017)))＋…＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2016,2017))).解：(1)f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1，由f″(x)＝0，即2x－1＝0，解得x＝eq\f(1,2).feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3－eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋3×eq\f(1,2)－eq\f(5,12)＝1.由題中給出的結(jié)論，可知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)x2＋3x－eq\f(5,12)的對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).(2)由(1)，知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)x2＋3x－eq\f(5,12)的對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋x))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－x))＝2，即f(x)＋f(1－x)＝2.故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2017)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2016,2017)))＝2，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2017)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2015,2017)))＝2，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2017)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2014,2017)))＝2，……feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2016,2017)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2017)))＝2，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2017)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2017)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2017)))＋…＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2016,2017)))＝eq\f(1,2)×2×2016＝2016.第二節(jié)直接證明與間接證明考綱要求：1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程和特點．2．了解反證法的思考過程和特點．1．直接證明(1)綜合法①定義：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法．②框圖表示：eq\x(P?Q1)→eq\x(Q1?Q2)→eq\x(Q2?Q3)→…→eq\x(Qn?Q)(P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，Q表示所要證明的結(jié)論)．(2)分析法①定義：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)，這種證明方法叫做分析法．②框圖表示：eq\x(Q?P1)→eq\x(P1?P2)→eq\x(P2?P3)→…→eq\x(得到一個明顯成立的條件).2．間接證明反證法：假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．eq\a\vs4\al([自我查驗])1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)綜合法是直接證明，分析法是間接證明．()(2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件．()(3)在解決問題時，常常用分析法尋找解題的思路與方法，再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程．()(4)證明不等式eq\r(2)＋eq\r(7)＜eq\r(3)＋eq\r(6)最合適的方法是分析法．()(5)用反證法證明結(jié)論“a＞b”時，應(yīng)假設(shè)“a＜b”．()(6)反證法是指將結(jié)論和條件同時否定，推出矛盾．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×(6)×2．用分析法證明：欲使①A>B，只需②C<D，這里①是②的()A．充分條件B．必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選B由題意可知，應(yīng)有②?①，故①是②的必要條件．3．用反證法證明“如果a＞b，那么a3＞b3”時假設(shè)的內(nèi)容為________答案：a3≤b3[典題1]對于定義域為[0,1]的函數(shù)f(x)，如果同時滿足：①對任意的x∈[0,1]，總有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù)．(1)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù)，證明：f(0)＝0；(2)試判斷函數(shù)f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝eq\r(x)(x∈[0,1])是否是理想函數(shù)．[聽前試做](1)證明：取x1＝x2＝0，則x1＋x2＝0≤1，∴f(0＋0)≥f(0)＋f(0)，∴f(0)≤0.又對任意的x∈[0,1]，總有f(x)≥0，∴f(0)≥0.于是f(0)＝0.(2)對于f(x)＝2x，x∈[0,1]，f(1)＝2不滿足新定義中的條件②，∴f(x)＝2x(x∈[0,1])不是理想函數(shù)．對于f(x)＝x2，x∈[0,1]，顯然f(x)≥0，且f(1)＝1.對任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1，有f(x1＋x2)－f(x1)－f(x2)＝(x1＋x2)2－xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＝2x1x2≥0，即f(x1)＋f(x2)≤f(x1＋x2)．∴f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函數(shù)．對于f(x)＝eq\r(x)，x∈[0,1]，顯然滿足條件①②.對任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1，有f2(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]2＝(x1＋x2)－(x1＋2eq\r(x1x2)＋x2)＝－2eq\r(x1x2)≤0，即f2(x1＋x2)≤[f(x1)＋f(x2)]2.∴f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，不滿足條件③.∴f(x)＝eq\r(x)(x∈[0,1])不是理想函數(shù)．綜上，f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函數(shù)，f(x)＝2x(x∈[0,1])與f(x)＝eq\r(x)(x∈[0,1])不是理想函數(shù)．用綜合法證題是從已知條件出發(fā)，逐步推向結(jié)論，綜合法的適用范圍是：(1)定義明確的問題，如證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，求證無條件的等式或不等式；(2)已知條件明確，并且容易通過分析和應(yīng)用條件逐步逼近結(jié)論的題型．設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函數(shù)f(x＋1)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，求證：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))為偶函數(shù)．證明：由函數(shù)f(x＋1)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，可知f(x＋1)＝f(－x)．將x換成x－eq\f(1,2)代入上式可得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)＋1))＝feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))))，即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＝f－x＋eq\f(1,2)，由偶函數(shù)的定義可知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))為偶函數(shù)．[典題2]已知a>0，證明eq\r(a2＋\f(1,a2))－eq\r(2)≥a＋eq\f(1,a)－2.[聽前試做]要證eq\r(a2＋\f(1,a2))－eq\r(2)≥a＋eq\f(1,a)－2，只需證eq\r(a2＋\f(1,a2))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))－(2－eq\r(2))．因為a>0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))－(2－eq\r(2))>0，所以只需證eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(\r(a2＋\f(1,a2)))))2≥eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))－2－\r(2)))2，即2(2－eq\r(2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))≥8－4eq\r(2)，只需證a＋eq\f(1,a)≥2.因為a>0，a＋eq\f(1,a)≥2顯然成立當(dāng)且僅當(dāng)a＝eq\f(1,a)＝1時等號成立，所以要證的不等式成立．(1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件．正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利獲解的關(guān)鍵．(2)證明較復(fù)雜的問題時，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個與結(jié)論等價(或充分)的中間結(jié)論，然后通過綜合法證明這個中間結(jié)論，從而使原命題得證．已知m>0，a，b∈R，求證：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋mb,1＋m)))2≤eq\f(a2＋mb2,1＋m).證明：∵m>0，∴1＋m>0.所以要證原不等式成立，只需證(a＋mb)2≤(1＋m)·(a2＋mb2)，即證m(a2－2ab＋b2)≥0，即證(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0顯然成立，故原不等式得證.反證法的應(yīng)用是高考的?？純?nèi)容，題型為解答題，難度適中，為中高檔題，且主要有以下幾個命題角度：角度一：證明否定性命題[典題3]已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋Sn＝2.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求證：數(shù)列{an}中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列．[聽前試做](1)當(dāng)n＝1時，a1＋S1＝2a1＝2，則a1又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，兩式相減得an＋1＝eq\f(1,2)an，所以{an}是首項為1，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，所以an＝eq\f(1,2n－1).(2)證明：假設(shè)存在三項按原來順序成等差數(shù)列，記為ap＋1，aq＋1，ar＋1(p<q<r，且p，q，r∈N*)，則2·eq\f(1,2q)＝eq\f(1,2p)＋eq\f(1,2r)，所以2·2r－q＝2r－p＋1.(*)又因為p<q<r，所以r－q，r－p∈N*.所以(*)式左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，等式不成立．所以假設(shè)不成立，原命題得證．[解題模板]用反證法證明問題的一般步驟角度二：證明存在性問題[典題4]若f(x)的定義域為[a，b]，值域為[a，b](a<b)，則稱函數(shù)f(x)是[a，b]上的“四維光軍”函數(shù)．(1)設(shè)g(x)＝eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2)是[1，b]上的“四維光軍”函數(shù)，求常數(shù)b的值；(2)是否存在常數(shù)a，b(a>－2)，使函數(shù)h(x)＝eq\f(1,x＋2)是區(qū)間[a，b]上的“四維光軍”函數(shù)？若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由．[聽前試做](1)由已知得g(x)＝eq\f(1,2)(x－1)2＋1，其圖象的對稱軸為x＝1，區(qū)間[1，b]在對稱軸的右邊，所以函數(shù)在區(qū)間[1，b]上單調(diào)遞增．由“四維光軍”函數(shù)的定義可知，g(1)＝1，g(b)＝b，即eq\f(1,2)b2－b＋eq\f(3,2)＝b，解得b＝1或b＝3.因為b>1，所以b＝3.(2)假設(shè)函數(shù)h(x)＝eq\f(1,x＋2)在區(qū)間[a，b](a>－2)上是“四維光軍”函數(shù)，因為h(x)＝eq\f(1,x＋2)在區(qū)間(－2，＋∞)上單調(diào)遞減，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ha＝b，,hb＝a，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a＋2)＝b，,\f(1,b＋2)＝a，))解得a＝b，這與已知矛盾．故不存在．利用反證法進行證明時，一定要對所要證明的結(jié)論進行否定性的假設(shè)，并以此為條件進行歸謬，得到矛盾，則原命題成立．角度三：證明唯一性命題[典題5]已知四棱錐S-ABCD中，底面是邊長為1的正方形，又SB＝SD＝eq\r(2)，SA＝1.(1)求證：SA⊥平面ABCD；(2)在棱SC上是否存在異于S，C的點F，使得BF∥平面SAD？若存在，確定F點的位置；若不存在，請說明理由．[聽前試做](1)證明：由已知得SA2＋AD2＝SD2，∴SA⊥AD.同理SA⊥AB.又AB∩AD＝A，∴SA⊥平面ABCD.(2)假設(shè)在棱SC上存在異于S，C的點F，使得BF∥平面SAD.∵BC∥AD，BC?平面SAD.∴BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B，∴平面FBC∥平面SAD.這與平面SBC和平面SAD有公共點S矛盾，∴假設(shè)不成立．故不存在這樣的點F，使得BF∥平面SAD.當(dāng)一個命題的結(jié)論是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時，可用反證法來證，反證法關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是與已知條件矛盾，與假設(shè)矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與事實矛盾等．—————————————[課堂歸納——感悟提升]——————————————[方法技巧]分析法與綜合法相輔相成，對較復(fù)雜的問題，常常先從結(jié)論進行分析，尋求結(jié)論與條件的關(guān)系，找到解題思路，再運用綜合法證明；或兩種方法交叉使用．[易錯防范]1．用分析法證明時，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)……”“即證……”“只需證……”等，逐步分析，直至一個明顯成立的結(jié)論出現(xiàn)為止．2．利用反證法證明數(shù)學(xué)問題時，要假設(shè)結(jié)論錯誤，并用假設(shè)的命題進行推理，如果沒有用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果，其推理過程是錯誤的．eq\a\vs4\al([全盤鞏固])一、選擇題1．用反證法證明命題：“若a，b，c，d∈R，a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd>1，則a，b，c，d中至少有一個負數(shù)”的假設(shè)為()A．a(chǎn)，b，c，d中至少有一個正數(shù)B．a(chǎn)，b，c，d全都為正數(shù)C．a(chǎn)，b，c，d全都為非負數(shù)D．a(chǎn)，b，c，d中至多有一個負數(shù)解析：選C用反證法證明命題時，應(yīng)先假設(shè)結(jié)論的否定成立，而“a，b，c，d中至少有一個負數(shù)”的否定是“a，b，c，d全都為非負數(shù)”．2．若a，b，c是不全相等的正數(shù)，給出下列判斷：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b與a<b及a＝b中至少有一個成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同時成立．其中判斷正確的個數(shù)是()A．0B．1C．2D解析：選C由于a，b，c不全相等，則a－b，b－c，c－a中至少有一個不為0，故①正確；②顯然成立；令a＝2，b＝3，c＝5，滿足a≠c，b≠c，a≠b，故③錯．3．分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a”索的因應(yīng)是()A．a(chǎn)－b>0B．a(chǎn)－c>0C．(a－b)(a－c)>0D．(a－b)(a－c)<0解析：選Ceq\r(b2－ac)<eq\r(3)a?b2－ac<3a2?(a＋c)2－ac<3a2?a2＋2ac＋c2－ac－3?－2a2＋ac＋c2<0?2a2－ac－c?(a－c)(2a＋c)>0?(a－c)(a－b)4．設(shè)a＝eq\r(3)－eq\r(2)，b＝eq\r(6)－eq\r(5)，c＝eq\r(7)－eq\r(6)，則a、b、c的大小順序是()A．a(chǎn)>b>cB．b>c>aC．c>a>bD．a(chǎn)>c>b解析：選A∵a＝eq\r(3)－eq\r(2)＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq\r(6)－eq\r(5)＝eq\f(1,\r(6)＋\r(5))，c＝eq\r(7)－eq\r(6)＝eq\f(1,\r(7)＋\r(6))，且eq\r(7)＋eq\r(6)>eq\r(6)＋eq\r(5)>eq\r(3)＋eq\r(2)>0，∴a>b>c.5．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，a，b為正實數(shù)，A＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，B＝f(eq\r(ab))，C＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))，則A，B，C的大小關(guān)系為()A．A≤B≤CB．A≤C≤BC．B≤C≤AD．C≤B≤A解析：選A因為eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b)，又f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在R上是單調(diào)減函數(shù)，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))≤f(eq\r(ab))≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b))).二、填空題6．用反證法證明命題“a，b∈R，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一個能被5整除”，那么假設(shè)的內(nèi)容是________．解析：“至少有n個”的否定是“最多有n－1個”，故應(yīng)假設(shè)a，b中沒有一個能被5整除．答案：a，b中沒有一個能被5整除7．已知點An(n，an)為函數(shù)y＝eq\r(x2＋1)圖象上的點，Bn(n，bn)為函數(shù)y＝x圖象上的點，其中n∈N*，設(shè)cn＝an－bn，則cn與cn＋1的大小關(guān)系為________．解析：由條件得cn＝an－bn＝eq\r(n2＋1)－n＝eq\f(1,\r(n2＋1)＋n)，∴cn隨n的增大而減小，∴cn＋1<cn.答案：cn＋1<cn8．若二次函數(shù)f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在區(qū)間[－1,1]內(nèi)至少存在一點c，使f(c)>0，則實數(shù)p的取值范圍是________．解析：法一：(補集法)令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1＝－2p2＋p＋1≤0，,f1＝－2p2－3p＋9≤0，))解得p≤－3或p≥eq\f(3,2)，故滿足條件的p的范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2))).法二：(直接法)依題意有f(－1)>0或f(1)>0，即2p2－p－1<0或2p2＋3p－9<0，得－eq\f(1,2)<p<1或－3<p<eq\f(3,2)，故滿足條件的p的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2)))三、解答題9．若a＞b＞c＞d＞0且a＋d＝b＋c，求證：eq\r(d)＋eq\r(a)＜eq\r(b)＋eq\r(c).證明：要證eq\r(d)＋eq\r(a)＜eq\r(b)＋eq\r(c)，只需證(eq\r(d)＋eq\r(a))2＜(eq\r(b)＋eq\r(c))2，即證a＋d＋2eq\r(ad)＜b＋c＋2eq\r(bc)，因為a＋d＝b＋c，所以只需證eq\r(ad)＜eq\r(bc)，即證ad＜bc，設(shè)a＋d＝b＋c＝t，則ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c＝(c－d)(c＋d－t)＜0，故ad＜bc成立，從而eq\r(d)＋eq\r(a)＜eq\r(b)＋eq\r(c)成立．10．已知a1＋a2＋a3＋a4>100，求證：a1，a2，a3，a4中至少有一個數(shù)大于25.證明：假設(shè)a1，a2，a3，a4均不大于25，即a1≤25，a2≤25，a3≤25，a4≤25，則a1＋a2＋a3＋a4≤25＋25＋25＋25＝100，這與已知a1＋a2＋a3＋a4＞100矛盾，故假設(shè)錯誤．所以a1，a2，a3，a4中至少有一個數(shù)大于25.eq\a\vs4\al([沖擊名校])1．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1＋eq\r(2)，S3＝9＋3eq\r(2).(1)求數(shù)列{an}的通項an與前n項和Sn；(2)設(shè)bn＝eq\f(Sn,n)(n∈N*)，求證：數(shù)列{bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列．解：(1)由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\r(2)＋1，,3a1＋3d＝9＋3\r(2)，))所以d＝2，故an＝2n－1＋eq\r(2)，Sn＝n(n＋eq\r(2))．(2)證明：由(1)，得bn＝eq\f(Sn,n)＝n＋eq\r(2).假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比數(shù)列，則beq\o\al(2,q)＝bpbr，即(q＋eq\r(2))2＝(p＋eq\r(2))(r＋eq\r(2))，所以(q2－pr)＋eq\r(2)(2q－p－r)＝0.因為p，q，r∈N*，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q2－pr＝0，,2q－p－r＝0，))所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p＋r,2)))2＝pr，(p－r)2＝0.所以p＝r，這與p≠r矛盾，所以數(shù)列{bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列．2．已知函數(shù)f(x)＝tanx，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，若x1，x2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且x1≠x2，求證：eq\f(1,2)[f(x1)＋f(x2)]>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2))).證明：要證eq\f(1,2)[f(x1)＋f(x2)]>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))，即證明eq\f(1,2)(tanx1＋tanx2)>taneq\f(x1＋x2,2)，只需證明eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinx1,cosx1)＋\f(sinx2,cosx2)))>taneq\f(x1＋x2,2)，只需證明eq\f(sinx1＋x2,2cosx1cosx2)>eq\f(sinx1＋x2,1＋cosx1＋x2).由于x1，x2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，故x1＋x2∈(0，π)．∴cosx1cosx2>0，sin(x1＋x2)>0,1＋cos(x1＋x2)>0，故只需證明1＋cos(x1＋x2)>2cosx1cosx2，即證1＋cosx1cosx2－sinx1sinx2>2cosx1cosx2，即證cos(x1－x2)<1.由x1，x2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，x1≠x2知上式顯然成立，因此eq\f(1,2)[f(x1)＋f(x2)]>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2))).第三節(jié)算法與程序框圖考綱要求：1.了解算法的含義，了解算法的思想．2．理解程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)．3．理解幾種基本算法語句——輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環(huán)語句的含義．1．算法的含義與程序框圖(1)算法：算法是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟．(2)程序框圖：程序框圖又稱流程圖，是一種用程序框、流程線及文字說明來表示算法的圖形．(3)程序框圖中圖形符號的含義：圖形符號名稱功能終端框(起止框)表示一個算法的起始和結(jié)束輸入、輸出框表示一個算法輸入和輸出的信息eq\x()處理框(執(zhí)行框)賦值、計算判斷框判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標(biāo)明“是”或“Y”；不成立時標(biāo)明“否”或“N”流程線連接程序框○連接點連接程序框圖的兩部分2.(人教A)三種基本邏輯結(jié)構(gòu)及相應(yīng)語句名稱示意圖相應(yīng)語句順序結(jié)構(gòu)輸入語句：INPUT“提示內(nèi)容”；變量②輸出語句：PRINT“提示內(nèi)容”；表達式③賦值語句：變量＝表達式條件結(jié)構(gòu)IF條件THEN語句體ENDIFIF條件THEN語句體1ELSE語句體2ENDIF循環(huán)結(jié)構(gòu)直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)DO循環(huán)體LOOPUNTIL條件當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)WHILE條件循環(huán)體WEND2.(人教B)三種基本邏輯結(jié)構(gòu)(1)順序結(jié)構(gòu)描述的是最簡單的算法結(jié)構(gòu)，語句與語句之間，框與框之間按從上到下的順序進行．(2)條件分支結(jié)構(gòu)，它是依據(jù)指定條件選擇執(zhí)行不同指令的控制結(jié)構(gòu)．(3)根據(jù)指定條件決定是否重復(fù)執(zhí)行一條或多條指令的控制結(jié)構(gòu)稱為循環(huán)結(jié)構(gòu)．3．(人教B)賦值、輸入和輸出語句(1)賦值語句①概念：用來表明賦給某一個變量一個具體確定值的語句．②一般格式：變量名＝表達式．③作用：先計算出賦值號右邊表達式的值，然后把該值賦給賦值號左邊的變量，使該變量的值等于表達式的值．(2)輸入語句①概念：用來控制輸入相應(yīng)數(shù)值的語句．②作用：把程序和初始數(shù)據(jù)分開．(3)輸出語句①概念：用來控制把求解的結(jié)果在屏幕上顯示(或打印)的語句．②作用：把求解結(jié)果輸出出來．eq\a\vs4\al([自我查驗])1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)算法的每一步都有確定的意義，且可以無限地運算．()(2)一個程序框圖一定包含順序結(jié)構(gòu)，也包含條件結(jié)構(gòu)(選擇結(jié)構(gòu))和循環(huán)結(jié)構(gòu)．()(3)一個循環(huán)結(jié)構(gòu)一定包含條件結(jié)構(gòu)．()(4)當(dāng)型循環(huán)是給定條件不成立時，執(zhí)行循環(huán)體，反復(fù)進行，直到條件成立為止．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．閱讀如圖的程序框圖，若輸入x＝2，則輸出的y值為________．解析：∵2>0，∴y＝2×2－3＝1.答案：13．如圖所示，程序框圖(算法流程圖)的輸出結(jié)果為________．解析：第一次循環(huán)后：s＝0＋eq\f(1,2)，n＝4；第二次循環(huán)后：s＝0＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)，n＝6；第三次循環(huán)后：s＝0＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)，n＝8，跳出循環(huán)，輸出s＝0＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝eq\f(11,12).答案：eq\f(11,12)4．已知函數(shù)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x≥2，,2－x，x<2.))如圖是給定x的值，求其對應(yīng)的函數(shù)值y的程序框圖．①處應(yīng)填寫________；②處應(yīng)填寫________．解析：由框圖可知只要滿足①中的條件則對應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝2－x，故此處應(yīng)填寫“x<2？”，則②處應(yīng)填寫y＝log2x.答案：x<2？y＝log2x[典題1](1)(2015·福建高考)閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，若輸入x的值為1，則輸出y的值為()A．2B．7C．8D．128(2)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的x，y∈R，那么輸出的S的最大值為()A．0B．1C．2D[聽前試做](1)由程序框圖知，y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≥2，,9－x，x<2.))∵輸入x的值為1，比2小，∴執(zhí)行的程序要實現(xiàn)的功能為9－1＝8，故輸出y的值為8.(2)當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋y≤1))時，由線性規(guī)劃的圖解法知，目標(biāo)函數(shù)S＝2x＋y的最大值為2；當(dāng)x≥0，y≥0，x＋y≤1不成立時，S的值為1.所以輸出的S的最大值為2.答案：(1)C(2)C[探究1]若將本例(1)中“x≥2？”改為“x<2？”，則y為何值？解：由程序框圖可知，y＝21＝2.[探究2]在本例(1)中，能否輸入一個數(shù)x，使輸出的y值與x值相等？解：當(dāng)x≥2時，2x＝x，顯然無解；當(dāng)x<2時，9－x＝x，解得x＝eq\f(9,2)>2，與x<2矛盾．綜上可知，不存在這樣的x使輸出的y值與x值相等．[探究3]在本例(1)中，若將“x的值為1”改為“x∈[－1,3]”，求y的取值范圍解：由程序框圖可知y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≥2，,9－x，x<2.))又因為x∈[－1,3]，所以當(dāng)x∈[－1,2)時，y＝9－x，此時y∈(7,10]．當(dāng)x∈[2,3]時，y＝2x∈[4,8]．故y的取值范圍為[4,10]．(1)順序結(jié)構(gòu)是最簡單的算法結(jié)構(gòu)，語句與語句之間、框與框之間是按從上到下的順序進行的．(2)解決此類問題，只需分清運算步驟，賦值量及其范圍進行逐步運算即可．(3)條件結(jié)構(gòu)中條件的判斷關(guān)鍵是明確條件結(jié)構(gòu)的功能，然后根據(jù)“是”的分支成立的條件進行判斷．(4)對條件結(jié)構(gòu)，無論判斷框中的條件是否成立，都只能執(zhí)行兩個分支中的一個，不能同時執(zhí)行兩個分支．定義一種運算“*”：a*b＝s，其運算原理是如圖所示的程序框圖，閱讀程序框圖，則式子.解析：13×120=1560答案：1560循環(huán)結(jié)構(gòu)是高考命題的一個熱點問題，多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題，且主要有以下幾個命題角度：角度一：由程序框圖求輸出結(jié)果[典題2](1)(2015·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的t＝0.01，則輸出的n＝()A．5B．6C．7D(2)(2015·新課標(biāo)全國卷Ⅱ)下邊程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”．執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a，b分別為14,18，則輸出的a＝()A．0B．2C．4D[聽前試做](1)運行第一次：S＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)＝0.5，m＝0.25，n＝1，S>0.01；運行第二次：S＝0.5－0.25＝0.25，m＝0.125，n＝2，S>0.01；運行第三次：S＝0.25－0.125＝0.125，m＝0.0625，n＝3，S>0.01；運行第四次：S＝0.125－0.0625＝0.0625，m＝0.03125，n＝4，S>0.01；運行第五次：S＝0.03125，m＝0.015625，n＝5，S>0.01；運行第六次：S＝0.015625，m＝0.0078125，n＝6，S>0.01；運行第七次：S＝0.0078125，m＝0.00390625，n＝7，S<0.01.輸出n＝7.故選C.(2)a＝14，b＝18.第一次循環(huán)：14≠18且14<18，b＝18－14＝4；第二次循環(huán)：14≠4且14>4，a＝14－4＝10；第三次循環(huán)：10≠4且10>4，a＝10－4＝6；第四次循環(huán)：6≠4且6>4，a＝6－4＝2；第五次循環(huán)：2≠4且2<4，b＝4－2＝2；第六次循環(huán)：a＝b＝2，跳出循環(huán)，輸出a＝2，故選B.答案：(1)C(2)B利用循環(huán)結(jié)構(gòu)表示算法，第一要確定是利用當(dāng)型還是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；第二準(zhǔn)確表示累計變量；第三要注意從哪一步開始循環(huán)．弄清進入或終止的循環(huán)條件、循環(huán)次數(shù)是做題的關(guān)鍵．角度二：完善程序框圖[典題3](1)(2015·重慶高考)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出k的值為8，則判斷框內(nèi)可填入的條件是()A．s≤eq\f(3,4)B．s≤eq\f(5,6)C．s≤eq\f(11,12)D．s≤eq\f(25,24)(2)如圖，給出的是計算eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,100)的值的一個程序框圖，則圖中判斷框內(nèi)(1)處和執(zhí)行框中的(2)處應(yīng)填的語句是()A．i>100，n＝n＋1B．i>100，n＝n＋2C．i>50，n＝n＋2D．i≤50，n＝n＋2[聽前試做](1)由s＝0，k＝0滿足條件，則k＝2，s＝eq\f(1,2)，滿足條件；k＝4，s＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，滿足條件；k＝6，s＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,6)＝eq\f(11,12)，滿足條件；k＝8，s＝eq\f(11,12)＋eq\f(1,8)＝eq\f(25,24)，不滿足條件，輸出k＝8，所以應(yīng)填s≤eq\f(11,12).(2)經(jīng)第一次循環(huán)得到的結(jié)果是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S＝\f(1,2)，,n＝4，,i＝2，))經(jīng)第二次循環(huán)得到的結(jié)果是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S＝\f(1,2)＋\f(1,4)，,n＝6，,i＝3，))經(jīng)第三次循環(huán)得到的結(jié)果是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S＝\f(1,2)＋\f(1,4)＋\f(1,6)，,n＝8，,i＝4.))據(jù)觀察S中最后一項的分母與i的關(guān)系是分母＝2(i－1)，令2(i－1)＝100，解得i＝51，即需要i＝51時輸出．故圖中判斷框內(nèi)(1)處和執(zhí)行框中的(2)處應(yīng)填的語句分別是i>50，n＝n＋2.答案：(1)C(2)C解決程序框圖填充問題的思路(1)要明確程序框圖的順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)．(2)要識別、運行程序框圖，理解框圖所解決的實際問題．(3)按照題目的要求完成解答并驗證．角度三：與統(tǒng)計的交匯問題[典題4]某地區(qū)為了了解70～80歲老人的平均日睡眠時間(單位：h)，隨機選擇了50位老人進行調(diào)查．如下表所示是這50位老人日睡眠時間的頻率分布表.序號(i)分組(睡眠時間)組中值(Gi)頻數(shù)(人數(shù))頻率(Fi)1[4,5)4.560.122[5,6)5.5100.203[6,7)6.5200.404[7,8)7.5100.205[8,9]8.540.08在上述統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析中，一部分計算見如下程序框圖，則輸出的S的值是________．[聽前試做]由程序框圖，知S為5組數(shù)據(jù)中的組中值(Gi)與對應(yīng)頻率(Fi)之積的和，則S＝G1F1＋G2F2＋G3F3＋G4F4＋G5F5＝4.5×0.12＋5.5×0.20＋6.5×答案：6.42解決此類問題的關(guān)鍵是讀懂程序框圖，明晰循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的真正含義．對于本題，要認清程序框圖運算的意義，即求5組數(shù)據(jù)中的組中值(Gi)與對應(yīng)頻率(Fi)之積的和．[典題5](人教A)(1)按照如圖程序運行，則輸出K的值是________．(2)執(zhí)行下邊的程序，輸出的結(jié)果是________．eq\x(\a\al(S＝1,i＝3,WHILES＜＝200,S＝S*i,i＝i＋2,WEND,PRINTi,END))[聽前試做](1)第一次循環(huán)，X＝7，K＝