第三章分層隨機(jī)抽樣

2023/1/91第三章分層隨機(jī)抽樣3.1概述

3.2簡(jiǎn)單估計(jì)量及其性質(zhì)

3.3樣本量在各層的分配

3.4回歸估計(jì)量及其性質(zhì)

3.5各層樣本量的分配

3.6總樣本量的確定2023/1/92簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣只適合小型的抽樣調(diào)查:1.抽樣框

2.代表性如:了解中國(guó)各民族的情況:(鄂倫春族)2023/1/93第一節(jié)概述

一．定義與作用

(一)分層抽樣和分層隨機(jī)抽樣先將總體Ｎ個(gè)單元?jiǎng)澐殖桑虃€(gè)互不重復(fù)的子總體，每個(gè)子

總體稱(chēng)為層，它們的大小分為別，這Ｌ個(gè)層合起來(lái)就是整個(gè)總體（Ｎ＝）。

然后，在每個(gè)層中分別獨(dú)立進(jìn)行抽樣，這種抽樣就是分層抽樣，所得到的樣本稱(chēng)為分層樣本。如果每層都是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，則稱(chēng)為分層隨機(jī)抽樣，所得到的樣本稱(chēng)為分層隨機(jī)樣本。不重不漏2023/1/94

各層中的抽樣是獨(dú)立進(jìn)行的，因此，在各層中所采取的抽樣手段完全可以不相同，在一個(gè)層進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，在另一層則可采用更復(fù)雜一些的抽樣，完全視各層的情況不同而定，這種因地制宜的手段將使樣本盡可能反映總體的特性以及子總體的特性。分層抽樣有時(shí)也稱(chēng)為類(lèi)型抽樣或分類(lèi)抽樣。2023/1/95

分層隨機(jī)抽樣三原則：（1）每層都抽樣；（2）各層都獨(dú)立地抽樣；（3）各層的抽樣都是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。2023/1/96

（二）特點(diǎn)：１.分層抽樣的抽樣效率較高，也就是說(shuō)分層抽樣的估計(jì)精度較高。

注意：分層抽樣估計(jì)量的方差只和層內(nèi)方差有關(guān)，和層間方差無(wú)關(guān)。２.分層抽樣不僅能對(duì)總體指標(biāo)進(jìn)行推算，而且能對(duì)各層指標(biāo)進(jìn)行推算。如:消費(fèi)物價(jià)指數(shù)(全國(guó)和各省)

３.層內(nèi)抽樣方法可以不同，而且便于抽樣工作的組織。2023/1/97(三)作用可以對(duì)各層的參數(shù)進(jìn)行估計(jì),

有助于提高估計(jì)精度。2023/1/98二．使用場(chǎng)合

應(yīng)用條件：適合于各層差異較大,有進(jìn)行分層的輔助信息。

層的劃分原則：１．層內(nèi)單元具有相同性質(zhì)，通常按調(diào)查對(duì)象的不同類(lèi)型進(jìn)行劃分，這時(shí)，分層抽樣能夠?qū)γ恳活?lèi)的目標(biāo)量進(jìn)行估計(jì)。２．盡可能使層內(nèi)單元的標(biāo)志值相近，層間單元的差異盡可能大，從而達(dá)到提高抽樣估計(jì)精度的目的。３．既按類(lèi)型又按層內(nèi)單元標(biāo)志值相近的原則進(jìn)行多重分層，同時(shí)達(dá)到實(shí)現(xiàn)估計(jì)類(lèi)值以及提高估計(jì)精度的目的。４．為了抽樣組織實(shí)施的方便，通常按行政管理機(jī)構(gòu)設(shè)置進(jìn)行分層。2023/1/99如：對(duì)全國(guó)汽車(chē)貨運(yùn)量調(diào)查，目的是不僅要了解全國(guó)貨運(yùn)量，而且推算不同經(jīng)濟(jì)成分貨運(yùn)量。首先為組織方便,按省分層；各省再按經(jīng)濟(jì)成分分層；為提高抽樣效率,再按噸位分層。2023/1/910三．符號(hào)說(shuō)明層號(hào)：h(h=1,2…,L)第h層的記號(hào)如下:單元總數(shù)：樣本單位數(shù)：第i個(gè)單元標(biāo)志值為:

從該層中抽取的樣本的單元值為:層權(quán)：抽樣比：總體均值：樣本均值：2022/12/2911層內(nèi)方差：樣本方差：2022/12/2912第二節(jié)簡(jiǎn)單單估計(jì)量及其其性質(zhì)一．總體均值值的估計(jì)(一)簡(jiǎn)單估計(jì)量的的定義對(duì)于分層樣本本，對(duì)總體均均值的的估計(jì)是通通過(guò)對(duì)各層的的的的估計(jì),按層權(quán)加加權(quán)平均得到到的。公式為為:2022/12/2913如果得得到的的是分層隨隨機(jī)樣樣本,則總體體均值值的的簡(jiǎn)簡(jiǎn)單估估計(jì)為為:(二)估計(jì)量量的性性質(zhì)性質(zhì)1對(duì)于一般的的分層層隨機(jī)機(jī)抽樣樣,如果是是的的無(wú)偏偏估計(jì)計(jì)(h=1,2,…L),則是是的的無(wú)無(wú)偏估估計(jì)。。即對(duì)對(duì)各層層估計(jì)計(jì)是無(wú)無(wú)偏的的，則則對(duì)總總體的的估計(jì)計(jì)也是是無(wú)偏偏的。。的方差差為:由于各各層的的抽樣樣是相相互獨(dú)獨(dú)立的的2022/12/2914證明：：因各各層抽抽樣是是相互互獨(dú)立立，則則也也相相互獨(dú)獨(dú)立，，則有有2022/12/2915性質(zhì)2對(duì)于分層隨隨機(jī)抽抽樣,是的的無(wú)無(wú)偏估估計(jì),的方差差為:2022/12/2916性質(zhì)3對(duì)于分分層隨隨機(jī)抽抽樣,的一個(gè)個(gè)無(wú)偏偏估計(jì)計(jì)為：：2022/12/2917注:當(dāng)適適當(dāng)當(dāng)?shù)牡拇蟠?，，各各層層樣樣本本平平均均?shù)數(shù)均均可可適適用用正正態(tài)態(tài)近近似似，，因因此此一一般般地地也也適適用用于于正正態(tài)態(tài)近近似似其其置置信信區(qū)區(qū)間間。。2022/12/2918二．．總總體體總總量量的的估估計(jì)計(jì)（一一））簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單估估計(jì)計(jì)量量的的定定義義總體體總總量量Y的估估計(jì)計(jì)為為：：分層層隨隨機(jī)機(jī)樣樣本本:（二二））估估計(jì)計(jì)量量的的性性質(zhì)質(zhì)性質(zhì)質(zhì)４４對(duì)對(duì)于于一般般的的分分層層抽抽樣樣，如如果果是是偏偏估估計(jì)計(jì)，，則則是是Y的無(wú)無(wú)偏偏估估計(jì)計(jì)。。的方方差差為為：：2022/12/29192022/12/2920性質(zhì)５對(duì)對(duì)于分層隨機(jī)機(jī)抽樣,的方差為為：性質(zhì)６對(duì)對(duì)于分分層隨機(jī)機(jī)抽樣,的一個(gè)無(wú)無(wú)偏估計(jì)計(jì)為：2022/12/2921【例3.1】調(diào)查某地地區(qū)的居居民奶制制品年消消費(fèi)費(fèi)支出，，以居民民戶(hù)為抽抽樣單元元，根據(jù)據(jù)經(jīng)濟(jì)及及收入水水平將居居民戶(hù)劃劃分為４４層，每每層按簡(jiǎn)簡(jiǎn)單隨機(jī)機(jī)抽樣抽抽?。保埃皯?hù)，調(diào)調(diào)查獲得得如下數(shù)數(shù)據(jù)（單單位：元元），估估計(jì)該地地區(qū)居民民奶制品品年消費(fèi)費(fèi)總支出出及估計(jì)計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差。2022/12/2922樣本戶(hù)奶奶制品年年消費(fèi)支支出層居民戶(hù)總數(shù)樣本戶(hù)奶制品年消費(fèi)支出１２３４５６７８９１０１２００１０４００１１０１５１０４０８０９００２４００５０１３０６０８０１００５５１６０８５１６０１７０３７５０１８０２６０１１００１４０６０２００１８０３００２２０４１５００５０３５１５０２０３０２５１０３０２５2022/12/2923解:N=200+400+750+1500=2850=10(h=1,2,3,4)各層的層層權(quán)及抽抽樣比為為：2022/12/2924各層樣本均均值及樣本本方差為：：2022/12/2925該地區(qū)居民民奶制品年年消費(fèi)總支支出:估計(jì)量方差差及標(biāo)準(zhǔn)差差的樣本估估計(jì)為:2022/12/2926在95%的概率保證證下該地區(qū)居民民

奶制品品年消費(fèi)總總支出區(qū)間間為:2022/12/2927【例3.2】某市進(jìn)行家家庭收入調(diào)調(diào)查,分城鎮(zhèn)居民民和農(nóng)村居居民兩部分分抽樣,在全部城鎮(zhèn)鎮(zhèn)23560戶(hù)中抽取300戶(hù),在全部農(nóng)村村148420戶(hù)中抽取250戶(hù)(均按簡(jiǎn)單隨隨機(jī)抽樣進(jìn)進(jìn)行),調(diào)查結(jié)果是是城鎮(zhèn)年平平均戶(hù)收入入為15180元,標(biāo)準(zhǔn)差為2972元；農(nóng)村年年平均收入入為9856元,標(biāo)準(zhǔn)差為2546元。求全市市年平均戶(hù)戶(hù)收入的估估計(jì)及其90%的置信區(qū)間間。2022/12/2928解:2022/12/29292022/12/2930全市年戶(hù)均收收入的置信區(qū)區(qū)間:10585.391.645142.287,即10351.33—10819.45(元)注:由于城鎮(zhèn)居民民與農(nóng)村居民民收入水平，，抽樣比不同同(前者大于后者者)。如果不分層層，計(jì)算樣本本平均數(shù)作為為全市戶(hù)均年年收入是不合合理的:2022/12/2931三.總體比比例的的估計(jì)計(jì)(一)簡(jiǎn)單估估計(jì)量量的定定義總體比比例P的估計(jì)計(jì)為:(二)估計(jì)量量的性性質(zhì)如果定定義1,第i個(gè)單元元具有有所考考慮的的特征征0,其他i=1,2…N2022/12/2932性質(zhì)7對(duì)于一般的的分層層抽樣樣，如果果是是的無(wú)偏偏估計(jì)計(jì)(h=1,2,…L),則是是P的無(wú)偏偏估計(jì)計(jì).的方差差為:性質(zhì)8對(duì)于分層隨隨機(jī)抽抽樣,是P的一個(gè)個(gè)無(wú)偏偏估計(jì)計(jì),的方差差為:因?yàn)?及2022/12/29332022/12/2934性質(zhì)質(zhì)９９對(duì)于于分分層層隨隨機(jī)機(jī)抽抽樣樣，，的的一一個(gè)個(gè)無(wú)無(wú)偏偏估估計(jì)計(jì)為為：：2022/12/2935【例3.3】了解某地地區(qū)居民民戶(hù)擁有有家庭電電腦的情情況如下下，估計(jì)計(jì)該地區(qū)區(qū)家庭擁?yè)碛须娔X腦的比例例及估計(jì)計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差。樣本戶(hù)擁?yè)碛屑彝ネル娔X情情況層居民戶(hù)總數(shù)樣本戶(hù)擁有家庭電腦情況１２３４５６７８９１０１２０００００１０００１００２４０００１００００００１０３７５０１１００００１０１０４１５００１００００００００

０2022/12/2936解：2022/12/2937該地區(qū)區(qū)家庭庭擁有有電腦腦的比比例的的估計(jì)計(jì)、估估計(jì)量量的方方差、、估計(jì)計(jì)的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差差為:2022/12/2938(三)總體具有所所考慮特征征單元總數(shù)數(shù)A的估計(jì)它的方差及及方差差估計(jì)分分別是是:2022/12/2939【例3.4】為調(diào)查某個(gè)個(gè)高血壓高高發(fā)病地區(qū)區(qū)青少年與與成年人高高血壓的患患病率,對(duì)14歲以上的人人分四個(gè)年年齡組進(jìn)行行分層隨機(jī)抽抽樣,調(diào)查結(jié)果如如下,求總體高血血壓的患病病率P的估計(jì)及其其標(biāo)準(zhǔn)差的的估計(jì)。高血壓患病病率調(diào)查數(shù)數(shù)據(jù)年齡組(歲)層權(quán)層樣本量14-250.2814000.0830.91726-400.3226500.1740.82641-600.2136000.3100.69061以上0.1843500.4640.5362022/12/2940解:P的估估計(jì)計(jì)量量為為:為求求的的方方差差估估計(jì)計(jì),取2022/12/29413.3比率估計(jì)及其其性質(zhì)(一)分別比率估計(jì)計(jì)條件：各層的樣本量量都比較大的情況下方法：各層分分別進(jìn)行比率率估計(jì)，將各各層加權(quán)匯總總得到總體指指標(biāo)的估計(jì)。。(先比后加權(quán))總體均值和和總體總量Y的分別比率估估計(jì)量:已知各層的均值和總量2022/12/2942對(duì)分別比估計(jì)計(jì)，若各層樣樣本量都比較較大，則有:為第h層X(jué)與Y的相關(guān)系數(shù)注：公式中S、R、用樣樣本數(shù)據(jù)替代代2022/12/2943證明：根據(jù)比比估計(jì)量的性性質(zhì)，當(dāng)比比較大時(shí)時(shí)，則有：所以2022/12/2944總量：2022/12/2945(二)聯(lián)合比比率估估計(jì)條件：：各層的的樣本本量不不是都都很大大的情況況方法：：先分分別對(duì)對(duì)作作分分層估估計(jì)，，然后后再采采用比比估計(jì)計(jì)方法法。（（先加加權(quán)后后比））總體均均值和和總體體總量量Y的聯(lián)合合比率率估計(jì)計(jì)量：：已知總體的均值和和總量量2022/12/2946的均方方誤差差為:對(duì)聯(lián)合合比估估計(jì)，，若總總樣本本量n比較大大，則則有:證明：：p75注意與與分別別比估估計(jì)方方差公公式的的差異異(Rh)2022/12/2947(三)分別比比率估估計(jì)量量與聯(lián)聯(lián)合比比率估估計(jì)量量的比比較如果各層的的樣本本量都都較大大，且有有理由由認(rèn)為為各層的的比率率差差異異較大大，則分別比比率估估計(jì)優(yōu)于聯(lián)聯(lián)合比比率估估計(jì)。。當(dāng)各層的的樣本本量不不大，或各層比比率差差異很很小，則聯(lián)合比比率估估計(jì)更好些些?！纠?.4】某市1996年對(duì)950家港口口生產(chǎn)產(chǎn)單位位完成成的吞吞吐量量進(jìn)行行了調(diào)調(diào)查，，1997年欲對(duì)對(duì)全市市港口口生產(chǎn)產(chǎn)單位位完成成的吞吞吐量量進(jìn)行行抽樣樣調(diào)查查。對(duì)對(duì)港口口生產(chǎn)產(chǎn)單位位按非非國(guó)有有(h=1)和國(guó)有有(h=2)分為兩兩層，，單位位數(shù)分分別為為800家和150家，分分別在在兩層層中調(diào)調(diào)查了了10家、15家港口口生產(chǎn)產(chǎn)單位位，調(diào)調(diào)查數(shù)數(shù)據(jù)如如下表表，試試估計(jì)計(jì)1997年全市市港口口生產(chǎn)產(chǎn)單位位完成成的吞吞吐量量。2022/12/29491997年非國(guó)有和和國(guó)有企業(yè)業(yè)調(diào)查數(shù)據(jù)據(jù)ii195801495530222021022103203359384336049641201174230400517718056006516253258610008807302349770056083322868110012309272215972082310137971031039011478465接上表128176501391911601411601070157356982022/12/2951h=1,非國(guó)有H=2,國(guó)有合計(jì)1015258001509500.8421050.15789510.01250.1171400102900274300214.25686226.7655.6217.6688.28477.34494665.2610704.7182541.899072.281071.510.9598591.0497252022/12/29521.按分別比比率估計(jì)計(jì)量估計(jì)計(jì):2022/12/29532.按聯(lián)合比率估估計(jì)量估計(jì)2022/12/2954兩種途徑：分別回歸估計(jì)計(jì)：對(duì)每層樣本分分別求取回歸歸估計(jì)量，然然后對(duì)各層的的回歸估計(jì)量量進(jìn)行加權(quán)平平均，即先““回歸”后““加權(quán)”；聯(lián)合回歸估計(jì)計(jì)：對(duì)兩個(gè)變量先先分別計(jì)算出出總體總值或或總體均值的的分層簡(jiǎn)單估估計(jì)量，然后后再對(duì)它們的的分層估計(jì)量量來(lái)構(gòu)造回歸歸估計(jì)，即先先“加權(quán)”后后“回歸”。。3.3回歸估計(jì)量及及其性質(zhì)分別回歸估計(jì)計(jì)量同樣要求求每層的樣本本量都比較大大，如果達(dá)不不到這個(gè)要求求，加之各層層的簡(jiǎn)單隨機(jī)機(jī)抽樣誤差較較大，整個(gè)分分層隨機(jī)抽樣樣就會(huì)產(chǎn)生較較大的偏差，，這時(shí)要使用用聯(lián)合比估計(jì)計(jì)量。2022/12/29563.3分層隨機(jī)抽樣樣下的回歸估估計(jì)(一)分別回歸估計(jì)計(jì)適用:各層樣本量不不小的情況方法:先對(duì)各層的平平均數(shù)或總和和作回歸估計(jì)計(jì)，然后按層層權(quán)平均或相相加，得到總總體指標(biāo)的估估計(jì)。（先回歸再再加權(quán)）定義3.6分別回歸估計(jì)計(jì)是指在分層層隨機(jī)抽樣中中，先在每層層中對(duì)層均值值或?qū)涌偤妥鲎龌貧w估計(jì)，，然后再對(duì)各各層的回歸估估計(jì)按總體層層權(quán)進(jìn)行加權(quán)權(quán)平均。對(duì)的的分分別回歸估計(jì)計(jì)為：2022/12/2957總體均值的的分別估計(jì)計(jì)量：總體總量的的分別估計(jì)計(jì)量：1、當(dāng)各層的的回歸系數(shù)數(shù)為給定的的常數(shù)時(shí)，，分別估計(jì)計(jì)量是無(wú)偏偏的，其方方差為：2022/12/2958并且當(dāng)時(shí)時(shí),達(dá)到最小,即2、通常未未知,可以用樣本本回歸系數(shù)數(shù)作作為為的的估估計(jì):這時(shí)分別估估計(jì)量是有有偏的，但但當(dāng)每一層層的樣本量量2022/12/2959都較較大大時(shí)時(shí)，，估估計(jì)計(jì)的的偏偏倚倚可可以以忽忽略略，，其其方方差差近近似似為為:方差差的的樣樣本本估估計(jì)計(jì)為為:式中中,第h層樣樣本本相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)的的平平方方2022/12/2961(二)聯(lián)合合回回歸歸估估計(jì)計(jì)條件件：：各各層層樣樣本本量量不不大大聯(lián)合合回回歸歸估估計(jì)計(jì)是是對(duì)對(duì)作作分分層層估估計(jì)計(jì)；；然然后后構(gòu)構(gòu)造造總總體體均均值值和和總總量量的的聯(lián)聯(lián)合合估估計(jì)計(jì)量量。。（先先分分層層再再回回歸歸））總體體均均值值、、總總量量的的聯(lián)聯(lián)合合估估計(jì)計(jì)量量：：其中中：：2022/12/29621、當(dāng)回回歸系系數(shù)為為事先先給定定的常常數(shù)時(shí)時(shí)，聯(lián)聯(lián)合估估計(jì)量量是是無(wú)無(wú)偏的的，其其方差差為：：2022/12/2963當(dāng)取取時(shí),達(dá)到最最小。。2、當(dāng)回回歸系系數(shù)未未知時(shí)時(shí)，取取為為的的樣本本估計(jì)計(jì)：第h層樣本本相關(guān)關(guān)系數(shù)數(shù)的平平方2022/12/2965這時(shí)聯(lián)聯(lián)合估估計(jì)是是有偏偏的,但當(dāng)樣樣本量量n較大時(shí)時(shí),估計(jì)量量的偏偏倚趨趨于零零,回歸估估計(jì)是是漸近近無(wú)偏偏的，，且方差的的樣本本估計(jì)計(jì)為:2022/12/2966(三)分別回歸歸估計(jì)與與聯(lián)合回回歸估計(jì)計(jì)的比較較當(dāng)回歸系系數(shù)事先設(shè)定定時(shí)，分別別回歸估估優(yōu)于聯(lián)聯(lián)合回歸歸估計(jì)，，尤其在在各層回歸歸系數(shù)相相差較大大時(shí)，分分別回歸歸估計(jì)更更好。當(dāng)回歸系系數(shù)由樣本估計(jì)計(jì)時(shí)，如果果各層的的樣本量不太小，，且各層層的回歸系數(shù)數(shù)相差較大大，還是是采用分分別回歸歸估計(jì)為為宜。若若各層的的樣本量量不太大大，且各各層的回回歸系數(shù)數(shù)大致相相同，則則采用聯(lián)聯(lián)合回歸歸估計(jì)較較好。若若層內(nèi)的的回歸系系數(shù)差別別不太大大，而每每層的樣樣本量并并非都相相當(dāng)大時(shí)時(shí)，聯(lián)合合回歸估估計(jì)可能能更保險(xiǎn)險(xiǎn)些。2022/12/2967【例4.6】P45:(續(xù)前例)利用回歸估計(jì)計(jì)量估計(jì)該市市港口生產(chǎn)單單位1997年完成的吞吐吐量。解:樣本回歸系數(shù)數(shù):(1)按分別回歸估估計(jì)量估計(jì):=163421.10+107135.19=270556.30h=1,非國(guó)有h=2,國(guó)有1.070170.8564022022/12/2968(2)按聯(lián)合回歸估估計(jì)量估計(jì):2022/12/29692022/12/2970小結(jié)比估計(jì)量與與回歸估計(jì)計(jì)量的異同同：1.從形式上看看，比估計(jì)計(jì)量是一個(gè)個(gè)簡(jiǎn)單估計(jì)計(jì)量的的線(xiàn)性組組合，而回回歸估計(jì)量量?jī)蓚€(gè)簡(jiǎn)單單估計(jì)量的的線(xiàn)線(xiàn)性組合；；但實(shí)質(zhì)上上都是利用用兩個(gè)簡(jiǎn)單單估計(jì)量和和輔助變量量來(lái)估計(jì)總總體指標(biāo)。。2.比估計(jì)量借借助主要變變量與輔助助變量之間間的比值關(guān)關(guān)系；回歸歸估計(jì)量借借助兩者之之間的線(xiàn)性性相關(guān)關(guān)系系。2022/12/2971第四節(jié)樣樣本量量在各層的的分配簡(jiǎn)單隨機(jī)抽抽樣只需要要根據(jù)調(diào)查查精度的要要求與費(fèi)用用的限制來(lái)來(lái)確定抽樣樣容量的大大小，而分分層抽樣則則提出另一一個(gè)重要的的問(wèn)題，一一旦確定n，又如何在在各層中分分配抽樣容容量，，其其中有些問(wèn)問(wèn)題要考慮慮，比如在在各層中各各有精度的的要求以及及費(fèi)用的限限制，由于于各層具有有各自的鮮鮮明特征，，其花費(fèi)自自然不同，，因而在樣樣本容量分分配上必須須帶有經(jīng)濟(jì)濟(jì)觀點(diǎn)。另另一個(gè)重要要考慮因素素是由于的的不同而帶帶來(lái)數(shù)據(jù)處處理的困難難。樣本量的分分配必須盡盡可能地使使估計(jì)量及及其方差具具有較簡(jiǎn)單單的形式，，從而使數(shù)數(shù)據(jù)匯總工工作量小，，做到省時(shí)時(shí)省力。2022/12/2972樣本量分配配對(duì)精度的的影響2022/12/2973某個(gè)總體分為為三層，其層層權(quán)及及層標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差見(jiàn)見(jiàn)下表，，設(shè)總樣本量量為300，考慮四種不不同的樣本量量分配，并計(jì)計(jì)算出每一種種分配下，總總體均值估計(jì)計(jì)量的方差：：樣本量的不同同分配對(duì)方差差的影響h常數(shù)分配與成正比與成正比與成正比10.22010049604020.330100110909030.5341001411501703.863.113.093.002022/12/29742022/12/2975(一)比例分分配（（proportionalallocation）即在分分層抽抽樣中中，若若每層層的樣樣本量量nh都與層層的大大小Nh成比例例，即即也就是是按各各層的的層權(quán)權(quán)進(jìn)行行分配配，即即大的的子總總體多多抽一一些，，小的的子總總體少少抽一一些。。比例分分配時(shí)時(shí)，也也與與層權(quán)權(quán)成成比例例。簡(jiǎn)單隨隨機(jī)抽抽樣中中總體體的每每一個(gè)個(gè)單元元入樣樣的概概率即即為抽抽樣比比f(wàn)。因而而按比例分分配而在各各層中中進(jìn)行行簡(jiǎn)單隨隨機(jī)抽抽樣的分層層方法法，任任何一一層中中的樣樣本被被抽中中的概概率都都為f。因此此比例例分配配的分分層隨隨機(jī)抽抽樣是是一種種等概率率抽樣。。或2022/12/2976總體均值的的估計(jì)是是:顯然估計(jì)量量有相當(dāng)簡(jiǎn)簡(jiǎn)單的形式式。2022/12/2977自加權(quán)：如果總體總總量(或均值)的無(wú)偏估計(jì)計(jì)量可以寫(xiě)寫(xiě)成樣本觀觀測(cè)值的總總和(或平均數(shù))的常數(shù)倍（（如：Y=ky或）），，那么這種種樣本(或估計(jì)量)稱(chēng)作自加權(quán)的或等加權(quán)的。按比例分配配的分層抽抽樣就是自自加權(quán)的。。簡(jiǎn)單隨機(jī)機(jī)抽樣(放回的和不不放回的)也是自加權(quán)權(quán)的。2022/12/2978的方差為為:注意：是各層方差按層權(quán)的加權(quán)平均!2022/12/2979二.最優(yōu)分配配(一)最優(yōu)分配配在分層隨隨機(jī)抽樣樣中，在在總費(fèi)費(fèi)用給定定的條件件下，估估計(jì)量的的方差達(dá)達(dá)到最小??；或在在給定估估計(jì)量方方差的條條件下，，使總費(fèi)費(fèi)用最小小的各層層樣本量量的分配配稱(chēng)為最最優(yōu)分配配(optimumallocation)。簡(jiǎn)單線(xiàn)性性費(fèi)用函函數(shù)：2022/12/2980建立目標(biāo)函數(shù)數(shù)：根據(jù)柯西-許瓦茲（Cauchy-Schwarz）不等式，對(duì)對(duì)于任意的，有通過(guò)極小化目目標(biāo)函數(shù)，可可同時(shí)達(dá)到給給定方差下費(fèi)費(fèi)用最小和給給定費(fèi)用下方方差最小的效效果。2022/12/2981當(dāng)且僅當(dāng)(K為常數(shù))時(shí)，上式等號(hào)號(hào)成立。所以以對(duì)于目標(biāo)函函數(shù)則有：上式成立的條條件是:2022/12/2982所以則使目標(biāo)標(biāo)函數(shù)數(shù)達(dá)到到最小小時(shí)的的最優(yōu)優(yōu)分配配為：：2022/12/2983上式表表明，，越越大大(即層越越大)，則層層內(nèi)抽抽樣應(yīng)應(yīng)越多多；又又若越越大大(即層內(nèi)內(nèi)變差差越大大)，則層層內(nèi)抽抽樣也也應(yīng)越越多；；但如如果越越大大(即層內(nèi)內(nèi)平均均每單單元費(fèi)費(fèi)用越越大)，則在在該層層中的的抽樣樣應(yīng)少少一些些。即即最優(yōu)優(yōu)分配配的與與或或成成正比比，與與成成反比比。2022/12/2984由此此得得出出下下面面的的行行為為準(zhǔn)準(zhǔn)則則，，如如果果某某一一層層：：?jiǎn)卧獢?shù)數(shù)較較多多內(nèi)部部差差異異較較大大費(fèi)用用比比較較省省則對(duì)對(duì)這這一一層層的的樣樣本本量量分分配配較較多多些些。。2022/12/2985(二)Neyman(內(nèi)曼曼)分配配條件件：：如如果果每每層層抽抽樣樣的的費(fèi)費(fèi)用用相相同同，，即即時(shí)時(shí)，，最最優(yōu)優(yōu)分分配配可可簡(jiǎn)簡(jiǎn)化化為為：：將代代入入即即得得：：2022/12/2986達(dá)到最小:【例3.5】(續(xù)例3.1)p69如果樣本本量為n=40,則按比例例分配和和Neyman分配,各層的樣樣本量應(yīng)應(yīng)為多少少?解:按比例分分配時(shí),各層的樣樣本量為為:即各層的的樣本量量分別為為:3，6，11，20（公式計(jì)計(jì)算結(jié)果果如果帶帶小數(shù)，，這時(shí)樣樣本容量量不按四四舍五入入法則取取整數(shù)，，取比這個(gè)個(gè)數(shù)大的的最小整整數(shù)代替替。如：n=56.03則n=57）2022/12/2987按Neyman分配:2022/12/2988各層的樣樣本量為為:即各層的的樣本量量分別為為:3，7，23，7。2022/12/2989【例3.6】在例3.2中若固固定n=550不變,城鎮(zhèn)居居民與與農(nóng)村村居民民年收收入的的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差估估計(jì)分分別為為元,元,對(duì)城鎮(zhèn)鎮(zhèn)居民民與農(nóng)農(nóng)村居居民抽抽樣平平均每每戶(hù)的的費(fèi)用用比1:2,試求城城鎮(zhèn)與與農(nóng)村村兩層層比例例分配配與最最優(yōu)分分配的的樣本本量。。又若若不考考慮費(fèi)費(fèi)用因因素,那么最最優(yōu)分分配的的結(jié)果果又有有何變變化?如何計(jì)計(jì)算呢呢？2022/12/2990解：城鎮(zhèn)與與農(nóng)村村居民民年收收入調(diào)調(diào)查樣樣本量量分配配的計(jì)計(jì)算h12356000411.021484200.863250022157.51525.61719802568.51936.62022/12/2991(1)比例分配(2)最優(yōu)分配(3)內(nèi)曼分配2022/12/2992不考慮費(fèi)用用的內(nèi)曼分分配在農(nóng)村村的樣本量量比考慮費(fèi)費(fèi)用的最優(yōu)優(yōu)分配在農(nóng)農(nóng)村的樣本本量更大。。這是因?yàn)闉檗r(nóng)村調(diào)查查費(fèi)用較高高，因此最最優(yōu)原則是是適當(dāng)增加加城鎮(zhèn)樣本本量，減少少農(nóng)村樣本本量。2022/12/2993(三)某些層要求大大于100%抽樣時(shí)的修正正按最優(yōu)分配時(shí)時(shí)，當(dāng)某些層層的標(biāo)準(zhǔn)差特特別別大，而層的大小小相相對(duì)指定的的總樣本量n又小很多，若若加上對(duì)這些些層抽樣的平平均單位費(fèi)用用又又很低，而而抽樣比f(wàn)比較大，則可能出現(xiàn)現(xiàn)按最優(yōu)分配配計(jì)算的這個(gè)個(gè)層的樣本量量超超過(guò)的的情情況。實(shí)際工作中，，如果第k層出現(xiàn)這種情情況，最優(yōu)分分配是對(duì)這個(gè)個(gè)層進(jìn)行100%的抽樣，即取取，，然后后，將剩下的的樣本量按按最優(yōu)優(yōu)分配分到各各層。2022/12/2994以不考慮費(fèi)用用的內(nèi)曼分配配為例，實(shí)際際操作步驟如如下：2022/12/2995在這種情況下下，對(duì)于方差差的的一一般公式，可可以直接將修修正后的最優(yōu)優(yōu)分配所得的的帶帶入，而而內(nèi)曼分配最最小方差公式式則需必要的的調(diào)整：其中，是是僅對(duì)對(duì)最后實(shí)際分分配的樣本量量嚴(yán)嚴(yán)格小于的的各層求和，，也也只是這些層層中抽取的單單元總數(shù)。修正的含義可可理解為：因因?yàn)閷?duì)于那些些實(shí)施普查（（））的的層來(lái)說(shuō)，已已經(jīng)不存在所所謂的抽樣誤誤差了，自然然需要從原來(lái)來(lái)的公式中將將它們舍去。。2022/12/2996【例3.7】某個(gè)個(gè)模模擬擬的的總總體體分分為為4層，，和和的的值值見(jiàn)見(jiàn)下下表表，，設(shè)設(shè)n=80，請(qǐng)請(qǐng)問(wèn)問(wèn)該該如如何何進(jìn)進(jìn)行行內(nèi)內(nèi)曼曼分分配配？？一個(gè)個(gè)模模擬擬總總體體的的分分配配情情況況h154002000210500500032001020004400208000合計(jì)615—170002022/12/2997解：：計(jì)算算各各層層的的樣樣本本量量：：（1）第第一一層層樣樣本本量量的的分分配配：：而，，可可見(jiàn)見(jiàn)，，則則（2）將將個(gè)個(gè)待待分分配配的的樣樣本本量量分分到到2——4層：：2022/12/2998而，，可可見(jiàn)，，則（3）將個(gè)個(gè)待待分配的的樣本量量分到3、4層：因?yàn)椋?，，，所以以?）將個(gè)待分配配的樣本本量分到到第4層：2022/12/2999因?yàn)?，，，，所所以因此，各各層所分分配的樣樣本量是是?，10，13，52此時(shí)上題題計(jì)算總總體均值值估計(jì)量量的最小小方差為為：對(duì)第三、、四層計(jì)計(jì)算2022/12/29100第五節(jié)節(jié)總總樣樣本量量的確確定一.影響樣樣本總總量n的因素素1.估計(jì)量量精度度的要要求:(1)對(duì)總體體參數(shù)數(shù)估計(jì)計(jì)的精精度(2)對(duì)各層層參數(shù)數(shù)估計(jì)計(jì)的精精度2.費(fèi)用的的限制制(1)總費(fèi)用用的限限制(2)不同層層中平平均抽抽取一一個(gè)單單元的的費(fèi)用用3.層的劃劃分和和層的的樣本本量的的分配配形式式2022/12/29101由于估估計(jì)量量的精精度實(shí)實(shí)際上上取決決于每每層樣樣本量量的大大小，，因此此在總總樣本本量給給定的的情況況下，，對(duì)層層樣本本量的的不同同分配配，其其精度度也不不同。。反之之對(duì)同同一精精度要要求，，對(duì)不不同的的樣本本量分分配形形式,計(jì)算得得到的的總樣樣本量量也有有差異異，因因此在在確定定總樣樣本時(shí)時(shí)，要要求先先確定定樣本本量的的分配配形式式。2022/12/29102二.估計(jì)總體均均值情形1.一般公式令其其中中已已經(jīng)選選定，在調(diào)調(diào)查的目標(biāo)標(biāo)是估計(jì)總體均均值時(shí)時(shí),當(dāng)給定方差差V的上限或d時(shí),2022/12/29103如果估計(jì)精精度是由誤誤差限的形形式給出,則這時(shí)上式可可以表示為為:由上式可得得:2022/12/29104(1)當(dāng)按比例分配配時(shí),即則則上式為為:2022/12/29105實(shí)際工作作中，n的計(jì)算可可以分兩兩步:先計(jì)算，，當(dāng)當(dāng)不不能忽忽略不計(jì)計(jì)時(shí)，再計(jì)計(jì)算：(2)當(dāng)按內(nèi)曼分配配時(shí)，即2022/12/29106【例3.7】(續(xù)例3.1)如果在95%置信度下，相相對(duì)誤差不超超過(guò)10%，則按比例分分配和Neyman分配時(shí)，總樣樣本量分別為為多少?解:按比例分配時(shí)時(shí):2022/12/291072022/12/29108對(duì)進(jìn)進(jìn)行修修正得得n:按Neyman分配時(shí)時(shí):2022/12/29109(3)最優(yōu)優(yōu)分分配配需需要要考考慮慮費(fèi)費(fèi)用用時(shí)時(shí)簡(jiǎn)單單線(xiàn)線(xiàn)性性函函數(shù)數(shù)：：C=將代代入入n的一一般般公公式式,得:2022/12/29110當(dāng)總總費(fèi)費(fèi)用用C給定定時(shí)時(shí)：：(P92式3.139)2022/12/291112022/12/29112第六節(jié)分分層層時(shí)的若若干問(wèn)題題一.抽樣效果果分析與簡(jiǎn)單隨隨機(jī)抽樣樣相比。。分層隨隨機(jī)抽樣樣的精度度與樣本本量的分分配及各各層的方方差有關(guān)關(guān)。在固定樣本本的情況下下，如果果相相對(duì)1可以忽略略，則分別為分分層隨機(jī)機(jī)抽樣最最優(yōu)分配配、分層層隨機(jī)抽抽樣按比比例分配配、簡(jiǎn)單單隨機(jī)抽抽樣簡(jiǎn)單單估計(jì)的的方差。。2022/12/29113如果各層層的均值差異異越大，則用比比例分配配法較好好，而當(dāng)當(dāng)各層的的標(biāo)準(zhǔn)差較大時(shí)，，用最優(yōu)優(yōu)分配法法較好。。在調(diào)查查多個(gè)目標(biāo)標(biāo)量時(shí)，按比比例分配配的分層層抽樣可可能更好好些。通常用比比例分配配法較多多，因?yàn)闉椋海?）最優(yōu)分分配并不不是對(duì)每每個(gè)指標(biāo)標(biāo)都是最最優(yōu)的。。（2）由于最優(yōu)分分配時(shí)需對(duì)層標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行估計(jì)，估估計(jì)又不可能能十分精確，，加上計(jì)算時(shí)時(shí)樣本量必須取取整數(shù)，因此理論上上的最優(yōu)分配配的最小方差差并不一定能能達(dá)到。（3）而且當(dāng)實(shí)際際分配偏離最最優(yōu)分配時(shí)，，方差增加并并不明顯?？伎紤]到比例分分配樣本的自加權(quán)性質(zhì)的簡(jiǎn)單性性，除非層標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差異十分分明顯從而考考慮最優(yōu)分配配有較大的改改進(jìn)，否則還還是可以采用用比例分配法法。對(duì)于最優(yōu)分配配，需要各層層標(biāo)準(zhǔn)差Sh的值，可以用用調(diào)查指標(biāo)的的歷史數(shù)據(jù)或或通過(guò)輔助指指標(biāo)的信息推推算。2022/12/291141.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣樣與分層隨機(jī)機(jī)抽樣的效果果比較(1)與比例分配的的分層隨機(jī)抽抽樣的效果比比較前提：相同樣本量的情況下簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣樣(對(duì)均值估計(jì)量量)的方差:比例分配的分分層隨機(jī)抽樣樣相應(yīng)估計(jì)量量的方差:2022/12/29115根據(jù)總體單單元指標(biāo)的的平方和分分解,簡(jiǎn)單隨機(jī)抽抽樣的方差差分解如下下:層內(nèi)方差層間方差2022/12/29116故若所有的都都比較大大，則從而2022/12/29117上式式右右邊邊的的第第二二項(xiàng)項(xiàng)是是層層間間平平方方和和,它一一定定是是非非負(fù)負(fù)的的，，因因此此有有上式式意意味味著著，，當(dāng)當(dāng)所所有有的的都都比比較較大大時(shí)時(shí)，，比比例例分分配配的的分分層層隨隨機(jī)機(jī)抽抽樣樣的的方方差差小小于于簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單隨隨機(jī)機(jī)抽抽樣樣的的方方差差，，也也就就是是說(shuō)說(shuō)，，比比例例分分配配分分層層隨隨機(jī)機(jī)抽抽樣樣的的精精度度比比后后者者高高，，設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)效效應(yīng)應(yīng)小小于于1。2022/12/29118方差差值為:這表明層平均均數(shù)的的差異越越大，分層的的效果就越好好,若層平均數(shù)都都相等，那么么分層的效果果與不分層的的一樣。事實(shí)實(shí)上正因?yàn)閷訉娱g的這種變變異不進(jìn)入分分層隨機(jī)抽樣樣的方差，因因此才有分層層隨機(jī)抽樣精精度高于簡(jiǎn)單單隨機(jī)抽樣的的結(jié)果。2022/12/29119(2)與最優(yōu)分配的的分層隨機(jī)抽抽樣的比較按定義，最優(yōu)優(yōu)分配的精度度應(yīng)高于相同同樣本量的任任何其他分配配，當(dāng)然也高高于比例分配配的精度，但但最優(yōu)分配在在精度上的改改進(jìn)究竟有多多大？為此比比較比例分配配方差與最優(yōu)優(yōu)分配（內(nèi)曼曼情形）方差差之差．2022/12/29120從上式式可以以看出出，最最優(yōu)分分配在在精度度取決決于各各層標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差差的差差異，，差異異越大大，最最優(yōu)分分配的的效果果越好好，反反之若若各層層間標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差差（方方差））差別別不大大，那那么最最優(yōu)分分配的的效果果就不不會(huì)比比比例例分配配的效效果好好很多多。2022/12/29121使用條件件:最優(yōu)分配配:各層標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差異異大，尤尤其是調(diào)調(diào)查多個(gè)個(gè)目標(biāo)量量時(shí)。比例分配配:各層的均均值差異異大二.層的劃分分基本原則則:使層內(nèi)差異異盡可能能小---各層有自自己鮮明明特色，，使層間差異異明顯地地較大---各層之間間有顯著著不同。。在多指標(biāo)標(biāo)問(wèn)題中中可采用用聚類(lèi)分分析的手手段進(jìn)行行分層,在此我們們考慮單單指標(biāo)如如何分層層。2022/12/29122(一)最優(yōu)分層層目的不同同，分層層方法不不同，構(gòu)構(gòu)造層的的原則如如下：１．若為為了便于于組織、、估計(jì)子子總體的的參數(shù)，，則按自自然層或單元元的類(lèi)型型劃分。。２．若是是提高抽抽樣效率率,減少估計(jì)計(jì)量的方方差，則則按目標(biāo)標(biāo)量分分層層，但在在調(diào)查之之間目標(biāo)標(biāo)量是未未知的，，因此分層通常常選擇一一個(gè)與調(diào)調(diào)查指較較大線(xiàn)性性相關(guān)的的指標(biāo)來(lái)進(jìn)行。。這個(gè)標(biāo)標(biāo)志可以以是目標(biāo)標(biāo)量的前前期值，，也可以完全是是另一個(gè)個(gè)變量。。2022/12/29123如何利用用一個(gè)分分層標(biāo)志志具體分分層呢？？實(shí)際上上也就是是說(shuō)如何何確定各各層的分分點(diǎn)。思路:設(shè)總體分分成h層,假定與與分分別別為總體體的最小小與最大大可能值值。按數(shù)數(shù)值分層層即為在在與與之之間插上上(h-1)個(gè)分點(diǎn):如果各層層的抽樣樣分配方方案已定定，即設(shè)設(shè)法求這這些分點(diǎn)點(diǎn)以使得得達(dá)達(dá)到最最小。2022/12/29124確定層界的的快速近似似法:累積平方根根法:由戴倫紐斯斯(Daleniues)與霍捷斯(Hodges)提出的根據(jù)據(jù)等分分層層變量分布布的累積平平方根的最最優(yōu)分層方方法，簡(jiǎn)稱(chēng)稱(chēng)累積平方方根法。累積平方根根法2022/12/29125【例3.９】某地區(qū)電信信部門(mén)在對(duì)對(duì)利用電話(huà)話(huà)上網(wǎng)的居居民家庭安安裝ADSL意愿進(jìn)行調(diào)調(diào)查時(shí),以轄區(qū)內(nèi)最最近三個(gè)月月有電話(huà)上上網(wǎng)支出的的居民用戶(hù)戶(hù)為總體(上網(wǎng)電話(huà)費(fèi)費(fèi)為0.02元/分鐘),并準(zhǔn)備按上上網(wǎng)電話(huà)支支出(x)進(jìn)行分層，，試確定各各層的分點(diǎn)點(diǎn)。2022/12/29126范圍x

頻數(shù)f累計(jì)0~565328255.5934255.59345~1089240298.7306554.324110~1536128190.0737744.397715~2077525278.43311022.83120~2562407249.81391272.64525~3024591156.81521429.4630~4024586221.74761651.20840~509582138.43411789.64250~6015761177.54441967.18660~708099127.27142094.45770~805676106.54582201.003不等等距距678135620342022/12/2912780~90345383.102352284.10690~100425692.26052376.366100~1501246111.62442487.99150~20080089.442722577.433200~25036560.415232637.848250~30090302667.848300~3503518.708292686.557350~40057.0710682693.628400~4501210.954452704.582450以上78.36662712.9492022/12/29128最終累計(jì)頻數(shù)數(shù)是2712.949,如果取層數(shù)為為4,則應(yīng)每隔分分一一層.因此應(yīng)該使得得累計(jì)最最接近678.237,1356.474,2034.712,即較合理的分層是是:2022/12/29129(二)層數(shù)的的確定定層數(shù)的的增加加能提提高估估計(jì)的的精度度，但但當(dāng)層層數(shù)增增加到到一定定的時(shí)時(shí)候，，在精精度上上的收收益將將很小??；若若樣本本量n已確定定，由由于每每層至至少必必須抽抽取一一個(gè)樣樣本單單元，，因此此最多多的層層數(shù)為為n，如果果要給給出估估計(jì)量量方差差的無(wú)無(wú)偏估估計(jì),則每層層至少少2個(gè)樣本本單元元，那那么層層數(shù)不不能超超過(guò)n/2。分層時(shí)時(shí)應(yīng)考考慮：：１．分分層考考慮精精度的的要求求。一般以以目標(biāo)標(biāo)量作作為分分層指指標(biāo),但未未知知，一一般通過(guò)與與高度度相關(guān)關(guān)的輔輔助指指標(biāo)來(lái)來(lái)進(jìn)進(jìn)行。。根據(jù)據(jù)研究究，除除非Y與X的相關(guān)關(guān)系數(shù)數(shù),層數(shù)一一般不不超過(guò)過(guò)6為宜。。２．分分層考考慮費(fèi)費(fèi)用。。2022/12/29130三.事后分分層(或抽樣樣后分分層)前面討討論的的分層層抽樣樣是建建立在在抽樣樣之前前總體體已經(jīng)經(jīng)分好好層,但有時(shí)時(shí)這種種事先先分層層會(huì)遇遇到較較大困困難，，而我我們又又很想想利用用分層層抽樣樣的優(yōu)優(yōu)勢(shì)之之處，，此時(shí)時(shí)可以以采用用事后后分層層的方方法。。適用情情況:沒(méi)有層層的抽抽樣框框，或或總體體特別別大來(lái)來(lái)不及及事先先分層層,或幾個(gè)個(gè)變量量都適適合于于分層層。或或存存在在極大大(小)值。條件:需知各各層的的大小小或或?qū)訉訖?quán)。。不適合合：層層權(quán)與與實(shí)際際情況況相差差很大大層權(quán):用近似似層權(quán)權(quán)進(jìn)行行校正正或重重新抽抽樣2022/12/29131,則用估估計(jì)量量來(lái)來(lái)替代代先抽取取一個(gè)個(gè)樣本本量n的簡(jiǎn)單單隨機(jī)機(jī)樣本本,然后后將將樣樣本按按某某個(gè)個(gè)特特征征進(jìn)進(jìn)行行分分層層,落到到第第h層的的單單元元數(shù)數(shù)為為樣本本均均值值。。式式中中2022/12/29132當(dāng)固固定定且且都都大大于于零零的的條條件件下下,落到到各各層層的的樣樣本本可可以以看看成成是是獨(dú)獨(dú)立立地地從從各各層層中中抽抽取取的的簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單隨隨機(jī)機(jī)樣樣本本,這時(shí)時(shí),事后后分分層層估估計(jì)計(jì)量量的的方方差差為