等差數(shù)列前n項和教案

等差數(shù)列的前n項和(一)教學重點等差數(shù)列的前n項和公式的理解、推導及應用.教學難點靈活應用等差數(shù)列前n項和公式解決一些簡單的有關問題.教具準備多媒體課件等教學過程導入新課教師出示投影膠片1：印度泰姬陵是世界七大建筑奇跡之一，陵寢以寶石鑲飾，圖案之細致令人叫絕.傳說當時陵寢中有一個等邊三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層(如下圖)，奢華之程度，可見一斑.你知道這個圖案中一共有多少顆寶石嗎？(這問題賦予了課堂人文歷史的氣息，縮短了數(shù)學與現(xiàn)實之間的距離，引領學生步入探討高斯算法的階段)生只要計算出1+2+3+…+100的結果就是這些寶石的總數(shù).師對，問題轉化為求這100個數(shù)的和.怎樣求這100個數(shù)的和呢？教師出示投影膠片2：高斯是偉大的數(shù)學家，高斯十歲時，就解答出了這個難題.師高斯是采用了什么方法來巧妙地計算出來的呢？我們一起來看一下，高斯用的是首尾配對相加的方法.也就是：1+100=2+99=3+98=…=50+51=101，有50個101，所以1+2+3+…+100=50×101=5050.師對，高斯算法的高明之處在于他發(fā)現(xiàn)這100個數(shù)可以分為50組，第一個數(shù)與最后一個數(shù)一組，第二個數(shù)與倒數(shù)第二個數(shù)一組，第三個數(shù)與倒數(shù)第三個數(shù)一組，…，每組數(shù)的和均相等，都等于101，50個101就等于5050了.高斯算法將加法問題轉化為乘法運算，迅速準確得到了結果.師問：數(shù)列1，2，3，…，100是什么數(shù)列？而求這一百個數(shù)的和1+2+3+…+100相當于什么？生這個數(shù)列是等差數(shù)列，1+2+3+…+100這個式子實質(zhì)上是求這數(shù)列的前100項的和.師對，這節(jié)課我們就來研究等差數(shù)列的前n項的和的問題.推進新課［合作探究］師我們再回到前面的印度泰姬陵的陵寢中的等邊三角形圖案中，在圖中我們?nèi)∠碌?層到第21層，得到右圖，則圖中第1層到第21層一共有多少顆寶石呢?生這是求“1+2+3+…+21”奇數(shù)個項的和的問題，高斯的方法不能用了.要是偶數(shù)項的數(shù)求和就好首尾配成對了.師高斯的這種“首尾配對”的算法還得分奇、偶個項的情況求和，適用于偶數(shù)個項，我們是否有簡單的方法來解決這個問題呢?生有!我用幾何的方法，將這個全等三角形倒置，與原圖補成平行四邊形.平行四邊形中的每行寶石的個數(shù)均為22個，共21行.則三角形中的寶石個數(shù)就是.師妙得很!這種方法不需分奇、偶個項的情況就可以求和，真是太好了!我將他的幾何法寫成式子就是：1+2+3+…+21，21+20+19+…+1，對齊相加(其中下第二行的式子與第一行的式子恰好是倒序)這實質(zhì)上就是我們數(shù)學中一種求和的重要方法——“倒序相加法”.現(xiàn)在我將求和問題一般化：(1)求1到n的正整數(shù)之和，即求1+2+3+…+(n-1)+n.(注：這問題在前面思路的引導下可由學生輕松解決)(2)如何求等差數(shù)列{an}的前n項的和Sn?生對于問題(2)，我這樣來求：因為Sn=a1+a2+a3+…+an，Sn=an+an-1+…+a2+a1，再將兩式相加，因為有等差數(shù)列的通項的性質(zhì)：若m+n=p+q，則am+an=ap+aq，所以.(Ⅰ)師對于一般等差數(shù)列{an}，首項為a1公差為d,如何推導它的前n項和公式Sn呢？生(Ⅱ)［教師精講］我們得到了等差數(shù)列前n項求和的兩種不同的公式.這兩種求和公式都很重要,都稱為等差數(shù)列的前n項和公式.其中公式(Ⅰ)是基本的，我們可以發(fā)現(xiàn)，它可與梯形面積公式(上底+下底)×高÷2相類比，這里的上底是等差數(shù)列的首項a1，下底是第n項an，高是項數(shù)n,有利于我們的記憶.［方法引導］師如果已知等差數(shù)列的首項a1，項數(shù)為n，第n項為an，則求這數(shù)列的前n項和用公式(Ⅰ)來進行，若已知首項a1，項數(shù)為n，公差d，則求這數(shù)列的前n項和用公式(Ⅱ)來進行.［知識應用］【例1】根據(jù)下列各題中的條件，求相應的等差數(shù)列｛an｝的Sn：（1）a1=5，an=95，n=10500（2）a1=100，d=－2，n=502550師上面這兩個題目應該直接代公式就可求解，應當選用哪個公式求解？生第1小問采用的是公式一求解，第2小問用公式二求解【例2】計算：(1)1+3+5+…+(2n-1)；(2)1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n.請同學們先完成(1)～(2)，并請同學回答.生(1)1+3+5+…+(2n-1)==n2；師第(2)小題數(shù)列共有幾項？是否為等差數(shù)列？能否直接運用Sn公式求解？若不能，那應如何解答？(小組討論后，讓學生發(fā)言解答)生(2)中的數(shù)列共有2n項，不是等差數(shù)列，但把正項和負項分開，可看成兩個等差數(shù)列，所以原式=[1+3+5+…+(2n-1)]-(2+4+6+…+2n)=n2-n(n+1)=-n.生上題雖然不是等差數(shù)列，但有一個規(guī)律，兩項結合都為-1，故可得另一解法：原式=(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1)=-n.師很好！在解題時我們應仔細觀察，尋找規(guī)律，往往會尋找到好的方法.注意在運用求和公式時，要看清等差數(shù)列的項數(shù)，否則會引起錯解.【例3】（課本第49頁例1)分析：這是一道實際應用題目，同學們先認真閱讀此題，理解題意.你能發(fā)現(xiàn)其中的一些有用信息嗎?生由題意我發(fā)現(xiàn)了等差數(shù)列的模型，這個等差數(shù)列的首項是500，記為a1，公差為50，記為d，而從2022年到2022年應為十年，所以這個等差數(shù)列的項數(shù)為10.再用公式就可以算出來了.師這位同學說得很對，下面我們來完成此題的解答.(按課本解答示范格式)課堂練習學生獨立完成教師引導解題，并用課件展示詳細步驟并校對答案課堂小結師同學們，本節(jié)課我們學習了哪些數(shù)學內(nèi)容?生①等差數(shù)列的前n項和公式1：,②等差數(shù)列的前n項和公式2：.師通過等差數(shù)列的前n項和公式