2022-2023學(xué)年北京市高一年級上冊學(xué)期段考數(shù)學(xué)試題【含答案】

北京二中2022—2023學(xué)年度第二學(xué)段高一年級學(xué)段考試試卷數(shù)學(xué)必修I命題人：范方兵審核人：覃怡得分：一、選擇題（每小題5分，共60分）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)交集的定義即可得出答案.【詳解】解：方法一：，，，故選：B.方法二：，，，排除ACD，故選：B.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】全稱量詞命題的否定為存在量詞命題【詳解】命題“，”的否定是：“，”.故選：D.3.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理依次判斷各選項(xiàng)中區(qū)域端點(diǎn)處的符號即可.【詳解】對于A，當(dāng)時，，，，在內(nèi)無零點(diǎn)，A錯誤；對于B，當(dāng)從正方向無限趨近于時，，則；又，內(nèi)無零點(diǎn)，B錯誤；對于C，，，且在上連續(xù)，在內(nèi)有零點(diǎn)，C正確；對于D，，，在內(nèi)無零點(diǎn)，D錯誤.故選：C.4.已知函數(shù)，則與相等的函數(shù)是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩個函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，即可判斷它們是相等函數(shù)．【詳解】對于A，函數(shù)，與函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同，不是相等函數(shù)；對于B，函數(shù)，與函數(shù)的定義域不同，不是相等函數(shù)；對于C，函數(shù)，與函數(shù)的定義域不同，對應(yīng)關(guān)系不同，不是相等函數(shù)；對于D，函數(shù)，與函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，是相等函數(shù)．故選：D5.已知，則下列不等式中恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】對于A：根據(jù)在R上為增函數(shù)即可判斷；對于B：根據(jù)在上為增函數(shù)即可判斷；對于C：根據(jù)在R上為增函數(shù)即可判斷；對于D：根據(jù)在上為減函數(shù)即可判斷..【詳解】對于A：要判斷是否成立，根據(jù)在R上為增函數(shù)，∵，所以，即，故A錯誤；對于B：要判斷是否成立，根據(jù)在上為增函數(shù)，∵，∴，∴，故B錯誤；對于C：要判斷是否成立，根據(jù)在R上為增函數(shù)，∵，所以，即，故C錯誤；對于D：要判斷是否成立，根據(jù)在上為減函數(shù)，∵，所以，即，故D正確.故選：D【點(diǎn)睛】結(jié)構(gòu)相同的式子比較大小，可以根據(jù)式子結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.6.為得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）A.向下平移3個單位長度 B.向上平移3個單位長度C.向左平移3個單位長度 D.向右平移3個單位長度【答案】A【解析】【分析】首先對函數(shù)化簡可得，再根據(jù)上加下減即可.【詳解】由，將函數(shù)的圖象向下平移3個單位長度得到的圖象.故選：A7.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】對每一個選項(xiàng)中的函數(shù)，先求定義域，若定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，再觀察是否滿足，再根據(jù)初等函數(shù)的單調(diào)性判斷在上是否單調(diào)遞增，可得出選項(xiàng).【詳解】A項(xiàng)，對于函數(shù)，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故A項(xiàng)錯誤；B項(xiàng)，對于函數(shù)，定義域?yàn)?，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故B項(xiàng)錯誤；C項(xiàng)，對于函數(shù)，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，，利用指數(shù)函數(shù)知，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，故C正確；D項(xiàng)，對于函數(shù)，定義域?yàn)椋x域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故D項(xiàng)錯誤；故選：C.8.函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】去掉絕對值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷．【詳解】當(dāng)時，，因?yàn)椋院瘮?shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，因?yàn)?，所以函?shù)單調(diào)遞減．

故選：C．9.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.【詳解】解：，，，，故選：B.10.已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，若x1，x2∈R，則“x1+x2＝0”是“f（x1）+f（x2）＝0”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷.【詳解】函數(shù)是奇函數(shù),

若，則，則，即成立,即充分性成立，若，滿足是奇函數(shù)，當(dāng)時滿足，此時滿足，但，即必要性不成立，故“”是“”的充分不必要條件，所以A選項(xiàng)正確.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.11.兩個工廠生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別為.為便于調(diào)控生產(chǎn)，分別將、、中的值記為并進(jìn)行分析.則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】解方程可依次求得，結(jié)合基本不等式可得大小關(guān)系.【詳解】由得：，解得：，即；由得：，解得：，即；由得：，解得：，即；又，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），.故選：A.12.著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為，空氣溫度為，則分鐘后物體的溫度（單位：）滿足：．若常數(shù)，空氣溫度為，某物體的溫度從下降到，大約需要的時間為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.分鐘 B.分鐘 C.分鐘 D.分鐘【答案】D【解析】【分析】將已知數(shù)據(jù)代入模型，解之可得答案.【詳解】由題知，，，，，，，.故選：D.二、填空題（本大題共6小題，共30分）13.計算________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，直接求解即可.【詳解】，故答案為：14.已知函數(shù)，則是________函數(shù)（填“奇”或“偶”）；在區(qū)間上的最小值是________.【答案】①奇②.-3【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義判斷即可；再通過判斷的單調(diào)性即可找出最小值.【詳解】，所以為奇函數(shù)；因?yàn)楹驮诙际窃龊瘮?shù)，所以在是增函數(shù)，故答案為：奇；15.已知函數(shù).若，則_______.【答案】【解析】【分析】找到和的關(guān)系，由此得出的值.【詳解】，，故答案為：16.已知是定義在上的增函數(shù)，且恒成立，則的最大值為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式之后整理成二次不等式的恒成立問題.【詳解】可得，是定義在上的增函數(shù)，，在上恒成立，解之：故答案為：17.函數(shù)y=f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，函數(shù)f(x)的圖象是由一段拋物線和一條射線組成（如圖所示）．①當(dāng)時，y的取值范圍是______；②如果對任意(b<0)，都有，那么b的最大值是______．【答案】①.②.【解析】【分析】①根據(jù)f（x）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，結(jié)合圖象可得y的取值范圍．②當(dāng)x≥0時，設(shè)拋物線的方程為y=ax2+bx+c，求解解析式，根據(jù)f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，可得x＜0的解析式，令y=1，可得x對應(yīng)的值，結(jié)合圖象可得b的最大值．【詳解】由圖象可知，當(dāng)時，函數(shù)在上的最小值，當(dāng)時，函數(shù)在上的最小值，所以當(dāng)，函數(shù)的值域?yàn)?；?dāng)時，函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)，當(dāng)時，或，又因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，所以對于任意，要使得，則，或，則實(shí)數(shù)的最大值是．故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的圖象的應(yīng)用，意在考查考生對概念的理解能力與應(yīng)用能力、數(shù)形結(jié)合能力，求解此類函數(shù)圖象判斷題的關(guān)鍵：一是從已知函數(shù)圖象過特殊點(diǎn)，列出關(guān)于參數(shù)的方程，從而求出參數(shù)的值；二是利用特殊點(diǎn)法來判斷圖象．本題還可以利用函數(shù)的單調(diào)性來判斷函數(shù)的圖象．總之，有關(guān)函數(shù)的圖象判斷題，利用“特殊點(diǎn)”與“函數(shù)的性質(zhì)”，即可輕松破解．18.已知函數(shù)給出下列四個結(jié)論：①存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)為奇函數(shù)；②對任意實(shí)數(shù)，函數(shù)既無最大值也無最小值；③對任意實(shí)數(shù)和，函數(shù)總存在零點(diǎn)；④對于任意給定的正實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.其中所有正確結(jié)論的序號是______________.【答案】①②③④【解析】【分析】分別作出，和的函數(shù)的圖象，由圖象即可判斷①②③④的正確性，即可得正確答案.【詳解】如上圖分別為，和時函數(shù)的圖象，對于①：當(dāng)時，，圖象如圖關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以存在使得函數(shù)為奇函數(shù)，故①正確；對于②：由三個圖知當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)既無最大值也無最小值；故②正確；對于③：如圖和圖中存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)圖象與沒有交點(diǎn)，此時函數(shù)沒有零點(diǎn)，所以對任意實(shí)數(shù)和，函數(shù)總存在零點(diǎn)不成立；故③不正確對于④：如圖，對于任意給定的正實(shí)數(shù)，取即可使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故④正確；故答案為：①②④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵點(diǎn)是分段函數(shù)圖象，涉及二次函數(shù)的圖象，要討論，和即明確分段區(qū)間，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可研究分段函數(shù)的性質(zhì).三、解答題（本大題共5小題，共60分）19.已知函數(shù)的定義域?yàn)锳，的值域?yàn)锽.（1）求A和B；（2）若，求的最大值.【答案】（1）A為，B為（2）3【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的解析式有意義，得到滿足，即可求解函數(shù)的定義域A；根據(jù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，即可求出值域B.（2）由（1）可知，根據(jù)集合間的包含關(guān)系可求出參數(shù)a的范圍，則可得出的最大值.【小問1詳解】解：由題意，函數(shù)，滿足，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，而函?shù)在R上是增函數(shù)，，，所以函數(shù)的值域?yàn)?，故定義域A為，值域B為.【小問2詳解】解：由（1）可知，若，則，解得，所以的最大值為3，此時滿足，故最大值為3.20.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）用定義證明在區(qū)間上單調(diào)遞減.【答案】（1）和；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）令，結(jié)合分段函數(shù)解析式分別計算可得；（2）利用定義法證明，按照設(shè)元、作差、變形、判斷符號、下結(jié)論的步驟完成即可.【小問1詳解】解：因?yàn)?，令，即或，解得或，所以的零點(diǎn)為和.【小問2詳解】證明：設(shè)任意的，，且，則，因?yàn)?，所以，，，所以，即，所以在區(qū)間上為減函數(shù)．21.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且為偶函?shù)，當(dāng)時，.（1）求和；（2）解不等式；（3）設(shè)函數(shù)，判斷的奇偶性和單調(diào)性.（只需寫出結(jié)論）【答案】（1），（2）（3）為奇函數(shù)，且在和單調(diào)遞增.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件直接計算，由函數(shù)為上的偶函數(shù)，所以代入計算即可；（2）由時，單調(diào)遞增，且解出上解集，由偶函數(shù)對稱性即可得的解集；（3）根據(jù)題意寫出的解析式，分析即可.【小問1詳解】當(dāng)時，所以又函數(shù)為上的偶函數(shù)所以【小問2詳解】當(dāng)時，為單調(diào)遞增函數(shù)，且，所以當(dāng)時，，由偶函數(shù)關(guān)于軸對稱所以當(dāng)時，故當(dāng)時，解集為【小問3詳解】由題意得為奇函數(shù)，且在和單調(diào)遞增.22.設(shè)函數(shù).（1）判斷函數(shù)奇偶性并證明；（2）設(shè)，若，求的取值范圍.【答案】（1）函數(shù)是奇函數(shù)，證明見解析（2）答案見解析【解析】【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性的定義即可證明；（2）先求出函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性將不等式，轉(zhuǎn)化為，再分類討論m即可求出的取值范圍.【小問1詳解】解：函數(shù)是奇函數(shù)，證明如下：函數(shù)，，因?yàn)?，，且所以，函?shù)是奇函數(shù).【小問2詳解】解：，設(shè)，則，，，而，故，即在R上是增函數(shù)，若，即，即，已知，令解得或，①當(dāng)時，要使，則，②當(dāng)時，此時，要使，則；③當(dāng)時，要使，則，綜上，若，當(dāng)時，的取值范圍為；當(dāng)時，的取值范圍為；當(dāng)時，的取值范圍為.23.設(shè)A是實(shí)數(shù)集的非空子集，稱集合且為集合A的生成集．（1）當(dāng)時，寫出集合A的生成集B；（2）若A是由5個正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，求其生成集B中元素個數(shù)的最小值；（3）判斷是否存在4個正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合A，使其生成集，并說明理由．【答案】（1）（2）7（3）不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）利用集合的生成集定義直接求解.（2）設(shè)，且，利用生成集的定義即可求解；（3