信號(hào)與系統(tǒng)傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析課件

2023/1/512023/1/52023/1/51頻域分析從本章開(kāi)始由時(shí)域轉(zhuǎn)入變換域分析，首先討論傅里葉變換。傅里葉變換是在傅里葉級(jí)數(shù)正交函數(shù)展開(kāi)的基礎(chǔ)上發(fā)展而產(chǎn)生的，這方面的問(wèn)題也稱為傅里葉分析（頻域分析）。將信號(hào)進(jìn)行正交分解，即分解為三角函數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)的組合。頻域分析將時(shí)間變量變換成頻率變量，揭示了信號(hào)內(nèi)在的頻率特性以及信號(hào)時(shí)間特性與其頻率特性之間的密切關(guān)系，從而導(dǎo)出了信號(hào)的頻譜、帶寬以及濾波、調(diào)制和頻分復(fù)用等重要概念。2022/12/2712022/12/272022/12/212023/1/522023/1/52023/1/52發(fā)展歷史1822年，法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉(J.Fourier,1768-1830)在研究熱傳導(dǎo)理論時(shí)發(fā)表了“熱的分析理論”，提出并證明了將周期函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)的原理，奠定了傅里葉級(jí)數(shù)的理論基礎(chǔ)。泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把這一成果應(yīng)用到電學(xué)中去，得到廣泛應(yīng)用。19世紀(jì)末，人們制造出用于工程實(shí)際的電容器。進(jìn)入20世紀(jì)以后，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列具體問(wèn)題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的進(jìn)一步應(yīng)用開(kāi)辟了廣闊的前景。在通信與控制系統(tǒng)的理論研究和工程實(shí)際應(yīng)用中，傅里葉變換法具有很多的優(yōu)點(diǎn)。“FFT”快速傅里葉變換為傅里葉分析法賦予了新的生命力。2022/12/2722022/12/272022/12/222023/1/532023/1/52023/1/53主要內(nèi)容本章從傅里葉級(jí)數(shù)正交函數(shù)展開(kāi)問(wèn)題開(kāi)始討論，引出傅里葉變換，建立信號(hào)頻譜的概念。通過(guò)典型信號(hào)頻譜以及傅里葉變換性質(zhì)的研究，初步掌握傅里葉分析方法的應(yīng)用。對(duì)于周期信號(hào)而言，在進(jìn)行頻譜分析時(shí)，可以利用傅里葉級(jí)數(shù)，也可以利用傅里葉變換，傅里葉級(jí)數(shù)相當(dāng)于傅里葉變換的一種特殊表達(dá)形式。本章最后研究抽樣信號(hào)的傅里葉變換，引入抽樣定理。2022/12/2732022/12/272022/12/232023/1/542023/1/52023/1/54傅里葉生平1768年生于法國(guó)1807年提出“任何周期信號(hào)都可用正弦函數(shù)級(jí)數(shù)表示”1829年狄里赫利第一個(gè)給出收斂條件拉格朗日反對(duì)發(fā)表1822年首次發(fā)表在“熱的分析理論”一書(shū)中2022/12/2742022/12/272022/12/242023/1/552023/1/52023/1/55

傅里葉

(JeanBaptiseJosephFourier1768～1830)

法國(guó)數(shù)學(xué)家。1768年3月21日生于奧塞爾，1830年5月16日卒于巴黎。1795年曾在巴黎綜合工科學(xué)校任講師。1798年隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及，當(dāng)過(guò)埃及學(xué)院的秘書(shū)。1801年回法國(guó)，又任伊澤爾地區(qū)的行政長(zhǎng)官。1817年傅里葉被選為科學(xué)院院士，并于1822年成為科學(xué)院的終身秘書(shū)。1827年又當(dāng)選為法蘭西學(xué)院院士。

在十八世紀(jì)中期,是否有用信號(hào)都能用復(fù)指數(shù)的線性組合來(lái)表示這個(gè)問(wèn)題曾是激烈爭(zhēng)論的主題。1753年,D.伯努利曾聲稱一根弦的實(shí)際運(yùn)動(dòng)都可以用正弦振蕩模的線性組合來(lái)表示,但他沒(méi)有繼續(xù)從數(shù)學(xué)上深入探求下去;后來(lái)歐拉本人也拋棄了三角級(jí)數(shù)的想法。2022/12/2752022/12/272022/12/252023/1/562023/1/52023/1/56

在1759年拉格朗日(J.L.Lagrange)表示不可能用三角級(jí)數(shù)來(lái)表示一個(gè)具有間斷點(diǎn)的函數(shù),因此三角級(jí)數(shù)的應(yīng)用非常有限。正是在這種多少有些敵對(duì)和懷疑的處境下,傅里葉約于半個(gè)世紀(jì)后提出了他自己的想法。傅里葉很早就開(kāi)始并一生堅(jiān)持不渝地從事熱學(xué)研究，1807年他在向法國(guó)科學(xué)院呈交一篇關(guān)于熱傳導(dǎo)問(wèn)題的論文中宣布了任一函數(shù)都能夠展成三角函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)。這篇論文經(jīng)J.-L.拉格朗日,P.-S.拉普拉斯,A.-M.勒讓德等著名數(shù)學(xué)家審查，由于文中初始溫度展開(kāi)為三角級(jí)數(shù)的提法與拉格朗日關(guān)于三角級(jí)數(shù)的觀點(diǎn)相矛盾，而遭拒絕。由于拉格朗日的強(qiáng)烈反對(duì),傅里葉的論文從未公開(kāi)露面過(guò)。為了使他的研究成果能讓法蘭西研究院接受并發(fā)表,在經(jīng)過(guò)了幾次其他的嘗試以后,傅里葉才把他的成果以另一種方式出現(xiàn)在"熱的分析理論"這本書(shū)中。這本書(shū)出版于1822年,也即比他首次在法蘭西研究院宣讀他的研究成果時(shí)晚十五年。這本書(shū)已成為數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性的文獻(xiàn)，其中基本上包括了他的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)成就。2022/12/2762022/12/272022/12/262023/1/572023/1/52023/1/57

書(shū)中處理了各種邊界條件下的熱傳導(dǎo)問(wèn)題，以系統(tǒng)地運(yùn)用三角級(jí)數(shù)和三角積分而著稱，他的學(xué)生以后把它們稱為傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉積分，這個(gè)名稱一直沿用至今。傅里葉在書(shū)中斷言：“任意”函數(shù)（實(shí)際上要滿足一定的條件,例如分段單調(diào)）都可以展開(kāi)成三角級(jí)數(shù),他列舉大量函數(shù)并運(yùn)用圖形來(lái)說(shuō)明函數(shù)的這種級(jí)數(shù)表示的普遍性，但是沒(méi)有給出明確的條件和完整的證明。傅里葉的創(chuàng)造性工作為偏微分方程的邊值問(wèn)題提供了基本的求解方法-傅里葉級(jí)數(shù)法,從而極大地推動(dòng)了微分方程理論的發(fā)展，特別是數(shù)學(xué)物理等應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展；其次，傅里葉級(jí)數(shù)拓廣了函數(shù)概念，從而極大地推動(dòng)了函數(shù)論的研究，其影響還擴(kuò)及純粹數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域。傅里葉深信數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問(wèn)題的最卓越的工具，并且認(rèn)為“對(duì)自然界的深刻研究是數(shù)學(xué)最富饒的源泉。”這一見(jiàn)解已成為數(shù)學(xué)史上強(qiáng)調(diào)通過(guò)實(shí)際應(yīng)用發(fā)展數(shù)學(xué)的一種代表性的觀點(diǎn)。2022/12/2772022/12/272022/12/272023/1/582023/1/52023/1/58傅立葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn)——“周期信號(hào)都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)和”——傅里葉的第一個(gè)主要論點(diǎn)“非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)積分表示”

——傅里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn)2022/12/2782022/12/272022/12/282023/1/592023/1/52023/1/59頻域分析：－－傅里葉變換自變量為j復(fù)頻域分析：－－拉氏變換自變量為S=+jZ域分析：－－Z變換自變量為z

變換域分析：2022/12/2792022/12/272022/12/292023/1/5102023/1/52023/1/510§4.1信號(hào)分解為正交函數(shù)正交矢量正交函數(shù)正交函數(shù)集用完備正交集表示信號(hào)2022/12/27102022/12/272022/12/102023/1/5112023/1/52023/1/511一、正交矢量矢量：V1和V2參加如下運(yùn)算，Ve是它們的差，如下式：2022/12/27112022/12/272022/12/112023/1/5122023/1/52023/1/512

表示和互相接近的程度當(dāng)V1

、V2完全重合，則隨夾角增大，c12減??；當(dāng)，V1

和V2相互垂直2022/12/27122022/12/272022/12/122023/1/5132023/1/52023/1/513二維正交集三維正交集2022/12/27132022/12/272022/12/132023/1/5142023/1/52023/1/514

二、正交函數(shù)令，則誤差能量最小2022/12/27142022/12/272022/12/142023/1/5152023/1/52023/1/515解得2022/12/27152022/12/272022/12/152023/1/5162023/1/52023/1/516正交條件若c12=0，則f1(t)不包含f2(t)的分量，則稱正交。正交的條件：2022/12/27162022/12/272022/12/162023/1/5172023/1/52023/1/517例：試用sint在區(qū)間（0，2π）來(lái)近似f(t)。11tf(t)02022/12/27172022/12/272022/12/172023/1/5182023/1/52023/1/518解：所以：11tf(t)02022/12/27182022/12/272022/12/182023/1/5192023/1/52023/1/519例：試用正弦sint在（0，2π）區(qū)間內(nèi)來(lái)表示余弦cost.所以說(shuō)明cost

中不包含sint

分量，因此cost

和sint

正交。顯然2022/12/27192022/12/272022/12/192023/1/5202023/1/52023/1/520三、正交函數(shù)集n個(gè)函數(shù)構(gòu)成一函數(shù)集，如在區(qū)間內(nèi)滿足正交特性，即則此函數(shù)集稱為正交函數(shù)集2022/12/27202022/12/272022/12/202023/1/5212023/1/52023/1/521在（t1,t2）區(qū)間，任意函數(shù)f(t)可由n個(gè)正交的函數(shù)的線性組合近似由最小均方誤差準(zhǔn)則，要求系數(shù)滿足2022/12/27212022/12/272022/12/212023/1/5222023/1/52023/1/522在最佳逼近時(shí)的誤差能量歸一化正交函數(shù)集：2022/12/27222022/12/272022/12/222023/1/5232023/1/52023/1/523復(fù)變函數(shù)的正交特性兩復(fù)變函數(shù)正交的條件是2022/12/27232022/12/272022/12/232023/1/5242023/1/52023/1/524§四用完備正交集表示信號(hào)帕斯瓦爾(Parseval)方程2022/12/27242022/12/272022/12/242023/1/5252023/1/52023/1/525另一種定義：在正交集之外再?zèng)]有一有限能量的x(t)滿足以下條件三角函數(shù)集復(fù)指數(shù)函數(shù)集2022/12/27252022/12/272022/12/252023/1/5262023/1/52023/1/526其它正交函數(shù)系沃爾什函數(shù)集勒讓德多項(xiàng)式切比雪夫多項(xiàng)式2022/12/27262022/12/272022/12/262023/1/5272023/1/52023/1/527§4.2周期信號(hào)的頻譜分析周期信號(hào)可展開(kāi)成正交函數(shù)線性組合的無(wú)窮級(jí)數(shù)：

.三角函數(shù)式的傅立里葉級(jí)數(shù){cosn1t,sinn1t}

.復(fù)指數(shù)函數(shù)式的傅里葉級(jí)數(shù){ejn1t}2022/12/27272022/12/272022/12/272023/1/5282023/1/52023/1/528一、三角函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù):

直流分量n=1基波分量

n>1諧波分量2022/12/27282022/12/272022/12/282023/1/5292023/1/52023/1/529直流系數(shù)余弦分量系數(shù)正弦分量系數(shù)2022/12/27292022/12/272022/12/292023/1/5302023/1/52023/1/530狄利赫利條件：

在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)間斷點(diǎn)；在一個(gè)周期內(nèi)有有限個(gè)極值點(diǎn)；在一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)絕對(duì)可積，即一般周期信號(hào)都滿足這些條件.

2022/12/27302022/12/272022/12/302023/1/5312023/1/52023/1/531三角函數(shù)是正交函數(shù)

2022/12/27312022/12/272022/12/312023/1/5322023/1/52023/1/532周期信號(hào)的另一種

三角函數(shù)正交集表示2022/12/27322022/12/272022/12/322023/1/5332023/1/52023/1/533比較幾種系數(shù)的關(guān)系2022/12/27332022/12/272022/12/332023/1/5342023/1/52023/1/534周期函數(shù)的頻譜：周期信號(hào)的譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍的頻率處。直觀看出：各分量的大小，各分量的相移，2022/12/27342022/12/272022/12/342023/1/5352023/1/52023/1/535二、周期函數(shù)的復(fù)指數(shù)級(jí)數(shù)由前知由歐拉公式其中引入了負(fù)頻率2022/12/27352022/12/272022/12/352023/1/5362023/1/52023/1/536指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)兩種傅氏級(jí)數(shù)的系數(shù)間的關(guān)系2022/12/27362022/12/272022/12/362023/1/5372023/1/52023/1/537兩種傅氏級(jí)數(shù)的系數(shù)間的關(guān)系2022/12/27372022/12/272022/12/372023/1/5382023/1/52023/1/538周期復(fù)指數(shù)信號(hào)的頻譜圖00π-π2022/12/27382022/12/272022/12/382023/1/5392023/1/52023/1/539周期復(fù)指數(shù)信號(hào)的頻譜圖的特點(diǎn)引入了負(fù)頻率變量，沒(méi)有物理意義，只是數(shù)學(xué)推導(dǎo)；Cn是實(shí)函數(shù)，F(xiàn)n一般是復(fù)函數(shù)，當(dāng)Fn是實(shí)函數(shù)時(shí)，可用Fn的正負(fù)表示0和π相位，幅度譜和相位譜合一；2022/12/27392022/12/272022/12/392023/1/5402023/1/52023/1/540三、周期信號(hào)的功率特性P為周期信號(hào)的平均功率符合帕斯瓦爾定理

2022/12/27402022/12/272022/12/402023/1/5412023/1/52023/1/541四、對(duì)稱信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)三種對(duì)稱：偶函數(shù)：f(t)=f(-t)奇函數(shù)：f(t)=-f(-t)奇諧函數(shù)：半周期對(duì)稱任意周期函數(shù)有：偶函數(shù)項(xiàng)奇函數(shù)項(xiàng)2022/12/27412022/12/272022/12/412023/1/5422023/1/52023/1/542周期偶函數(shù)Fn是實(shí)數(shù)只含直流和余弦分量2022/12/27422022/12/272022/12/422023/1/5432023/1/52023/1/543例如:周期三角函數(shù)是偶函數(shù)Ef(t)T1/2-T1/2t2022/12/27432022/12/272022/12/432023/1/5442023/1/52023/1/544周期奇函數(shù)只含正弦項(xiàng)Fn為虛數(shù)2022/12/27442022/12/272022/12/442023/1/5452023/1/52023/1/545例如周期鋸齒波是奇函數(shù)E/2-E/2T/2-T/2f(t)t02022/12/27452022/12/272022/12/452023/1/5462023/1/52023/1/546奇諧函數(shù)：沿時(shí)間軸平移半個(gè)周期；反相；波形不變；半波對(duì)稱2022/12/27462022/12/272022/12/462023/1/5472023/1/52023/1/547奇諧函數(shù)的波形：T1/2-T1/20tf(t)2022/12/27472022/12/272022/12/472023/1/5482023/1/52023/1/548奇諧函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)奇諧函數(shù)的偶次諧波的系數(shù)為0a20=

,b20=

2022/12/27482022/12/272022/12/482023/1/5492023/1/52023/1/549例：利用傅立葉級(jí)數(shù)的對(duì)稱性判斷所含有的頻率分量周期偶函數(shù)，奇諧函數(shù)周期奇函數(shù)，奇諧函數(shù)-T/2T/2-T/2T/2E/2-E/2只含基波和奇次諧波的余弦分量只含基波和奇次諧波的正弦分量E-Ef(t)t……2022/12/27492022/12/272022/12/492023/1/5502023/1/52023/1/550含有直流分量和正弦分量只含有正弦分量含有直流分量和余弦分量-TTTT含有直流分量和偶次諧波余弦分量2022/12/27502022/12/272022/12/502023/1/5512023/1/52023/1/551五、傅里葉有限級(jí)數(shù)

如果完全逼近，則n→∞;實(shí)際應(yīng)用中，n=N,N是有限整數(shù)。N愈趨近∞，則其均方誤差愈小若用2N＋1項(xiàng)逼近，則2022/12/27512022/12/272022/12/512023/1/5522023/1/52023/1/552誤差函數(shù)和均方誤差誤差函數(shù)均方誤差2022/12/27522022/12/272022/12/522023/1/5532023/1/52023/1/553例如:對(duì)稱方波,是偶函數(shù)且奇諧函數(shù)只有奇次諧波的余弦項(xiàng)。E/2-E/2T1/4-T1/4t2022/12/27532022/12/272022/12/532023/1/5542023/1/52023/1/554對(duì)稱方波有限項(xiàng)的傅里葉級(jí)數(shù)N=1N=3N=5-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.812022/12/27542022/12/272022/12/542023/1/5552023/1/52023/1/555項(xiàng)數(shù)N越大，誤差越小例如:N=11-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.812022/12/27552022/12/272022/12/552023/1/5562023/1/52023/1/556由以上可見(jiàn)：N越大，越接近方波快變信號(hào)，高頻分量，主要影響跳變沿；慢變信號(hào)，低頻分量，主要影響頂部；任一分量的幅度或相位發(fā)生相對(duì)變化時(shí)，波形將會(huì)失真有吉伯斯現(xiàn)象發(fā)生2022/12/27562022/12/272022/12/562023/1/52023/1/557§4.3典型周期信號(hào)的頻譜周期矩形脈沖信號(hào)周期鋸齒脈沖信號(hào)周期三角脈沖信號(hào)周期半波脈沖信號(hào)周期全波脈沖信號(hào)2022/12/272022/12/2757§4.3典型周572023/1/5582023/1/52023/1/558一、周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜f(t)t0E-TT2022/12/27582022/12/272022/12/582023/1/5592023/1/52023/1/559f(t)t0E-TT2022/12/27592022/12/272022/12/592023/1/5602023/1/52023/1/560f(t)Fnt00ET-T2022/12/27602022/12/272022/12/602023/1/5612023/1/52023/1/561頻譜分析表明離散頻譜，譜線間隔為基波頻率，脈沖周期越大，譜線越密；各分量的大小與脈幅成正比，與脈寬成正比，與周期成反比；各譜線的幅度按包絡(luò)線變化。過(guò)零點(diǎn)為：主要能量在第一過(guò)零點(diǎn)內(nèi)。主帶寬度為：Fn02022/12/27612022/12/272022/12/612023/1/5622023/1/5周期信號(hào)的功率例4.3－1T=1s,t=0.2s,E=12022/12/27622022/12/27周期信號(hào)的功率例622023/1/5632023/1/5周期矩形的頻譜變化規(guī)律：若T不變，在改變?chǔ)拥那闆r若τ不變，在改變T時(shí)的情況T2022/12/27632022/12/27周期矩形的頻譜變632023/1/5642023/1/52023/1/564對(duì)稱方波是周期矩形的特例TT/4-T/4實(shí)偶函數(shù)周期矩形奇諧函數(shù)對(duì)稱方波奇次余弦2022/12/27642022/12/272022/12/642023/1/5652023/1/52023/1/565對(duì)稱方波的頻譜變化規(guī)律TT/4-T/4奇次諧波02022/12/27652022/12/272022/12/652023/1/5662023/1/52023/1/566傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)T

信號(hào)的周期脈寬基波頻率1傅立葉級(jí)數(shù)小結(jié)2022/12/27662022/12/272022/12/662023/1/5672023/1/52023/1/567當(dāng)周期信號(hào)的周期T無(wú)限大時(shí),就演變成了非周期信號(hào)的單脈沖信號(hào)頻率也變成連續(xù)變量§4.4非周期信號(hào)的頻譜分析2022/12/27672022/12/272022/12/672023/1/5682023/1/52023/1/568頻譜演變的定性觀察-T/2T/2T/2-T/22022/12/27682022/12/272022/12/682023/1/5692023/1/52023/1/5691.從周期信號(hào)FS推導(dǎo)非周期信號(hào)的FT傅立葉變換=F

[f(t)]2022/12/27692022/12/272022/12/692023/1/5702023/1/52023/1/5702.傅立葉的逆變換傅立葉逆變換=F

-1

[F(w)]2022/12/27702022/12/272022/12/702023/1/5712023/1/5F(w)

=F

[f(t)]F(jw)

f(t)=F

-1[F(w)]f(t)F(w)2022/12/27712022/12/27F(w)=F712023/1/5722023/1/52023/1/5723.從物理意義來(lái)討論FT

(a)F(ω)是一個(gè)密度函數(shù)的概念

(b)F(ω)是一個(gè)連續(xù)譜

(c)F(ω)包含了從零到無(wú)限高頻的所有頻率分量

(d)各頻率分量的頻率不成諧波關(guān)系2022/12/27722022/12/272022/12/722023/1/5732023/1/52023/1/573傅立葉變換一般為復(fù)數(shù)FT一般為復(fù)函數(shù)若f(t)為實(shí)數(shù)，則幅頻為偶函數(shù),相頻為奇函數(shù)2022/12/27732022/12/272022/12/732023/1/5742023/1/52023/1/5744.傅立葉變換存在的充分條件用廣義函數(shù)的概念，允許奇異函數(shù)也能滿足上述條件，因而象階躍、沖激一類(lèi)函數(shù)也存在傅立葉變換2022/12/27742022/12/272022/12/742023/1/5752023/1/52023/1/5754.5典型非周期信號(hào)的頻譜單邊指數(shù)信號(hào)雙邊指數(shù)信號(hào)矩形脈沖信號(hào)符號(hào)函數(shù)沖激函數(shù)信號(hào)沖激偶函數(shù)信號(hào)階躍函數(shù)信號(hào)2022/12/27752022/12/272022/12/752023/1/5762023/1/52023/1/5761.單邊指數(shù)信號(hào)信號(hào)表達(dá)式幅頻相頻2022/12/27762022/12/272022/12/762023/1/5772023/1/52023/1/577

f(t)t0001.單邊指數(shù)信號(hào)2022/12/27772022/12/272022/12/772023/1/5782023/1/52023/1/5782.雙邊指數(shù)信號(hào)2022/12/27782022/12/272022/12/782023/1/5792023/1/52023/1/5792.雙邊指數(shù)信號(hào)00f(t)t2022/12/27792022/12/272022/12/792023/1/5802023/1/52023/1/5803.矩形脈沖信號(hào)2022/12/27802022/12/272022/12/802023/1/5812023/1/52023/1/581t02022/12/27812022/12/272022/12/812023/1/5822023/1/5奇異信號(hào)的傅氏變換符號(hào)函數(shù)沖激函數(shù)沖激偶函數(shù)階躍函數(shù)2022/12/27822022/12/27奇異信號(hào)的傅氏變822023/1/5832023/1/52023/1/5834.符號(hào)函數(shù)不滿足絕對(duì)可積條件2022/12/27832022/12/272022/12/832023/1/5842023/1/52023/1/5844.符號(hào)函數(shù)2022/12/27842022/12/272022/12/842023/1/5852023/1/52023/1/585α-α0ωSgn(t)+1-1

f1(t)10t2022/12/27852022/12/272022/12/852023/1/5862023/1/52023/1/5865.沖激函數(shù)傅立葉變換F

[d(t)]=11、由定義2、由極限概念F

[(1/)g(t)]=(1/)Sa(/2)

F

[d(t)]=limSa(/2)=1

02022/12/27862022/12/272022/12/862023/1/5872023/1/52023/1/5875.沖激函數(shù)傅立葉變換1t00F

[d(t)]=12022/12/27872022/12/272022/12/872023/1/5882023/1/56、直流信號(hào)傅氏變換F

-1[d(w)]10t0F

[1]=2p

d(w)2022/12/27882022/12/276、直流信號(hào)傅氏882023/1/5892023/1/52023/1/5897.沖激偶的傅立葉變換F

[d(t)]=1FF2022/12/27892022/12/272022/12/892023/1/5902023/1/52023/1/5908.階躍信號(hào)的傅立葉變換

e(t)0t0F2022/12/27902022/12/272022/12/902023/1/591其它信號(hào)—三角形脈沖

E(1-2|t|/t)|t|<t/2

f(t)=0|t|>t/2-τ/2

O

τ/2tf(t)E2022/12/2791其它信號(hào)—三角形脈沖91精品課件！精品課件！92精品課件！精品課件！932023/1/594第二部分-t/2

0t/2tf(t)E2022/12/2794第二部分-t/2942023/1/5952023/1/52023/1/595頻域分析從本章開(kāi)始由時(shí)域轉(zhuǎn)入變換域分析，首先討論傅里葉變換。傅里葉變換是在傅里葉級(jí)數(shù)正交函數(shù)展開(kāi)的基礎(chǔ)上發(fā)展而產(chǎn)生的，這方面的問(wèn)題也稱為傅里葉分析（頻域分析）。將信號(hào)進(jìn)行正交分解，即分解為三角函數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)的組合。頻域分析將時(shí)間變量變換成頻率變量，揭示了信號(hào)內(nèi)在的頻率特性以及信號(hào)時(shí)間特性與其頻率特性之間的密切關(guān)系，從而導(dǎo)出了信號(hào)的頻譜、帶寬以及濾波、調(diào)制和頻分復(fù)用等重要概念。2022/12/2712022/12/272022/12/2952023/1/5962023/1/52023/1/596發(fā)展歷史1822年，法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉(J.Fourier,1768-1830)在研究熱傳導(dǎo)理論時(shí)發(fā)表了“熱的分析理論”，提出并證明了將周期函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)的原理，奠定了傅里葉級(jí)數(shù)的理論基礎(chǔ)。泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把這一成果應(yīng)用到電學(xué)中去，得到廣泛應(yīng)用。19世紀(jì)末，人們制造出用于工程實(shí)際的電容器。進(jìn)入20世紀(jì)以后，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列具體問(wèn)題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的進(jìn)一步應(yīng)用開(kāi)辟了廣闊的前景。在通信與控制系統(tǒng)的理論研究和工程實(shí)際應(yīng)用中，傅里葉變換法具有很多的優(yōu)點(diǎn)。“FFT”快速傅里葉變換為傅里葉分析法賦予了新的生命力。2022/12/2722022/12/272022/12/2962023/1/5972023/1/52023/1/597主要內(nèi)容本章從傅里葉級(jí)數(shù)正交函數(shù)展開(kāi)問(wèn)題開(kāi)始討論，引出傅里葉變換，建立信號(hào)頻譜的概念。通過(guò)典型信號(hào)頻譜以及傅里葉變換性質(zhì)的研究，初步掌握傅里葉分析方法的應(yīng)用。對(duì)于周期信號(hào)而言，在進(jìn)行頻譜分析時(shí)，可以利用傅里葉級(jí)數(shù)，也可以利用傅里葉變換，傅里葉級(jí)數(shù)相當(dāng)于傅里葉變換的一種特殊表達(dá)形式。本章最后研究抽樣信號(hào)的傅里葉變換，引入抽樣定理。2022/12/2732022/12/272022/12/2972023/1/5982023/1/52023/1/598傅里葉生平1768年生于法國(guó)1807年提出“任何周期信號(hào)都可用正弦函數(shù)級(jí)數(shù)表示”1829年狄里赫利第一個(gè)給出收斂條件拉格朗日反對(duì)發(fā)表1822年首次發(fā)表在“熱的分析理論”一書(shū)中2022/12/2742022/12/272022/12/2982023/1/5992023/1/52023/1/599

傅里葉

(JeanBaptiseJosephFourier1768～1830)

法國(guó)數(shù)學(xué)家。1768年3月21日生于奧塞爾，1830年5月16日卒于巴黎。1795年曾在巴黎綜合工科學(xué)校任講師。1798年隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及，當(dāng)過(guò)埃及學(xué)院的秘書(shū)。1801年回法國(guó)，又任伊澤爾地區(qū)的行政長(zhǎng)官。1817年傅里葉被選為科學(xué)院院士，并于1822年成為科學(xué)院的終身秘書(shū)。1827年又當(dāng)選為法蘭西學(xué)院院士。

在十八世紀(jì)中期,是否有用信號(hào)都能用復(fù)指數(shù)的線性組合來(lái)表示這個(gè)問(wèn)題曾是激烈爭(zhēng)論的主題。1753年,D.伯努利曾聲稱一根弦的實(shí)際運(yùn)動(dòng)都可以用正弦振蕩模的線性組合來(lái)表示,但他沒(méi)有繼續(xù)從數(shù)學(xué)上深入探求下去;后來(lái)歐拉本人也拋棄了三角級(jí)數(shù)的想法。2022/12/2752022/12/272022/12/2992023/1/51002023/1/52023/1/5100

在1759年拉格朗日(J.L.Lagrange)表示不可能用三角級(jí)數(shù)來(lái)表示一個(gè)具有間斷點(diǎn)的函數(shù),因此三角級(jí)數(shù)的應(yīng)用非常有限。正是在這種多少有些敵對(duì)和懷疑的處境下,傅里葉約于半個(gè)世紀(jì)后提出了他自己的想法。傅里葉很早就開(kāi)始并一生堅(jiān)持不渝地從事熱學(xué)研究，1807年他在向法國(guó)科學(xué)院呈交一篇關(guān)于熱傳導(dǎo)問(wèn)題的論文中宣布了任一函數(shù)都能夠展成三角函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)。這篇論文經(jīng)J.-L.拉格朗日,P.-S.拉普拉斯,A.-M.勒讓德等著名數(shù)學(xué)家審查，由于文中初始溫度展開(kāi)為三角級(jí)數(shù)的提法與拉格朗日關(guān)于三角級(jí)數(shù)的觀點(diǎn)相矛盾，而遭拒絕。由于拉格朗日的強(qiáng)烈反對(duì),傅里葉的論文從未公開(kāi)露面過(guò)。為了使他的研究成果能讓法蘭西研究院接受并發(fā)表,在經(jīng)過(guò)了幾次其他的嘗試以后,傅里葉才把他的成果以另一種方式出現(xiàn)在"熱的分析理論"這本書(shū)中。這本書(shū)出版于1822年,也即比他首次在法蘭西研究院宣讀他的研究成果時(shí)晚十五年。這本書(shū)已成為數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性的文獻(xiàn)，其中基本上包括了他的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)成就。2022/12/2762022/12/272022/12/21002023/1/51012023/1/52023/1/5101

書(shū)中處理了各種邊界條件下的熱傳導(dǎo)問(wèn)題，以系統(tǒng)地運(yùn)用三角級(jí)數(shù)和三角積分而著稱，他的學(xué)生以后把它們稱為傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉積分，這個(gè)名稱一直沿用至今。傅里葉在書(shū)中斷言：“任意”函數(shù)（實(shí)際上要滿足一定的條件,例如分段單調(diào)）都可以展開(kāi)成三角級(jí)數(shù),他列舉大量函數(shù)并運(yùn)用圖形來(lái)說(shuō)明函數(shù)的這種級(jí)數(shù)表示的普遍性，但是沒(méi)有給出明確的條件和完整的證明。傅里葉的創(chuàng)造性工作為偏微分方程的邊值問(wèn)題提供了基本的求解方法-傅里葉級(jí)數(shù)法,從而極大地推動(dòng)了微分方程理論的發(fā)展，特別是數(shù)學(xué)物理等應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展；其次，傅里葉級(jí)數(shù)拓廣了函數(shù)概念，從而極大地推動(dòng)了函數(shù)論的研究，其影響還擴(kuò)及純粹數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域。傅里葉深信數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問(wèn)題的最卓越的工具，并且認(rèn)為“對(duì)自然界的深刻研究是數(shù)學(xué)最富饒的源泉。”這一見(jiàn)解已成為數(shù)學(xué)史上強(qiáng)調(diào)通過(guò)實(shí)際應(yīng)用發(fā)展數(shù)學(xué)的一種代表性的觀點(diǎn)。2022/12/2772022/12/272022/12/21012023/1/51022023/1/52023/1/5102傅立葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn)——“周期信號(hào)都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)和”——傅里葉的第一個(gè)主要論點(diǎn)“非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)積分表示”

——傅里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn)2022/12/2782022/12/272022/12/21022023/1/51032023/1/52023/1/5103頻域分析：－－傅里葉變換自變量為j復(fù)頻域分析：－－拉氏變換自變量為S=+jZ域分析：－－Z變換自變量為z

變換域分析：2022/12/2792022/12/272022/12/21032023/1/51042023/1/52023/1/5104§4.1信號(hào)分解為正交函數(shù)正交矢量正交函數(shù)正交函數(shù)集用完備正交集表示信號(hào)2022/12/27102022/12/272022/12/1042023/1/51052023/1/52023/1/5105一、正交矢量矢量：V1和V2參加如下運(yùn)算，Ve是它們的差，如下式：2022/12/27112022/12/272022/12/1052023/1/51062023/1/52023/1/5106

表示和互相接近的程度當(dāng)V1

、V2完全重合，則隨夾角增大，c12減??；當(dāng)，V1

和V2相互垂直2022/12/27122022/12/272022/12/1062023/1/51072023/1/52023/1/5107二維正交集三維正交集2022/12/27132022/12/272022/12/1072023/1/51082023/1/52023/1/5108

二、正交函數(shù)令，則誤差能量最小2022/12/27142022/12/272022/12/1082023/1/51092023/1/52023/1/5109解得2022/12/27152022/12/272022/12/1092023/1/51102023/1/52023/1/5110正交條件若c12=0，則f1(t)不包含f2(t)的分量，則稱正交。正交的條件：2022/12/27162022/12/272022/12/1102023/1/51112023/1/52023/1/5111例：試用sint在區(qū)間（0，2π）來(lái)近似f(t)。11tf(t)02022/12/27172022/12/272022/12/1112023/1/51122023/1/52023/1/5112解：所以：11tf(t)02022/12/27182022/12/272022/12/1122023/1/51132023/1/52023/1/5113例：試用正弦sint在（0，2π）區(qū)間內(nèi)來(lái)表示余弦cost.所以說(shuō)明cost

中不包含sint

分量，因此cost

和sint

正交。顯然2022/12/27192022/12/272022/12/1132023/1/51142023/1/52023/1/5114三、正交函數(shù)集n個(gè)函數(shù)構(gòu)成一函數(shù)集，如在區(qū)間內(nèi)滿足正交特性，即則此函數(shù)集稱為正交函數(shù)集2022/12/27202022/12/272022/12/1142023/1/51152023/1/52023/1/5115在（t1,t2）區(qū)間，任意函數(shù)f(t)可由n個(gè)正交的函數(shù)的線性組合近似由最小均方誤差準(zhǔn)則，要求系數(shù)滿足2022/12/27212022/12/272022/12/1152023/1/51162023/1/52023/1/5116在最佳逼近時(shí)的誤差能量歸一化正交函數(shù)集：2022/12/27222022/12/272022/12/1162023/1/51172023/1/52023/1/5117復(fù)變函數(shù)的正交特性兩復(fù)變函數(shù)正交的條件是2022/12/27232022/12/272022/12/1172023/1/51182023/1/52023/1/5118§四用完備正交集表示信號(hào)帕斯瓦爾(Parseval)方程2022/12/27242022/12/272022/12/1182023/1/51192023/1/52023/1/5119另一種定義：在正交集之外再?zèng)]有一有限能量的x(t)滿足以下條件三角函數(shù)集復(fù)指數(shù)函數(shù)集2022/12/27252022/12/272022/12/1192023/1/51202023/1/52023/1/5120其它正交函數(shù)系沃爾什函數(shù)集勒讓德多項(xiàng)式切比雪夫多項(xiàng)式2022/12/27262022/12/272022/12/1202023/1/51212023/1/52023/1/5121§4.2周期信號(hào)的頻譜分析周期信號(hào)可展開(kāi)成正交函數(shù)線性組合的無(wú)窮級(jí)數(shù)：

.三角函數(shù)式的傅立里葉級(jí)數(shù){cosn1t,sinn1t}

.復(fù)指數(shù)函數(shù)式的傅里葉級(jí)數(shù){ejn1t}2022/12/27272022/12/272022/12/1212023/1/51222023/1/52023/1/5122一、三角函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù):

直流分量n=1基波分量

n>1諧波分量2022/12/27282022/12/272022/12/1222023/1/51232023/1/52023/1/5123直流系數(shù)余弦分量系數(shù)正弦分量系數(shù)2022/12/27292022/12/272022/12/1232023/1/51242023/1/52023/1/5124狄利赫利條件：

在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)間斷點(diǎn)；在一個(gè)周期內(nèi)有有限個(gè)極值點(diǎn)；在一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)絕對(duì)可積，即一般周期信號(hào)都滿足這些條件.

2022/12/27302022/12/272022/12/1242023/1/51252023/1/52023/1/5125三角函數(shù)是正交函數(shù)

2022/12/27312022/12/272022/12/1252023/1/51262023/1/52023/1/5126周期信號(hào)的另一種

三角函數(shù)正交集表示2022/12/27322022/12/272022/12/1262023/1/51272023/1/52023/1/5127比較幾種系數(shù)的關(guān)系2022/12/27332022/12/272022/12/1272023/1/51282023/1/52023/1/5128周期函數(shù)的頻譜：周期信號(hào)的譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍的頻率處。直觀看出：各分量的大小，各分量的相移，2022/12/27342022/12/272022/12/1282023/1/51292023/1/52023/1/5129二、周期函數(shù)的復(fù)指數(shù)級(jí)數(shù)由前知由歐拉公式其中引入了負(fù)頻率2022/12/27352022/12/272022/12/1292023/1/51302023/1/52023/1/5130指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)兩種傅氏級(jí)數(shù)的系數(shù)間的關(guān)系2022/12/27362022/12/272022/12/1302023/1/51312023/1/52023/1/5131兩種傅氏級(jí)數(shù)的系數(shù)間的關(guān)系2022/12/27372022/12/272022/12/1312023/1/51322023/1/52023/1/5132周期復(fù)指數(shù)信號(hào)的頻譜圖00π-π2022/12/27382022/12/272022/12/1322023/1/51332023/1/52023/1/5133周期復(fù)指數(shù)信號(hào)的頻譜圖的特點(diǎn)引入了負(fù)頻率變量，沒(méi)有物理意義，只是數(shù)學(xué)推導(dǎo)；Cn是實(shí)函數(shù)，F(xiàn)n一般是復(fù)函數(shù)，當(dāng)Fn是實(shí)函數(shù)時(shí)，可用Fn的正負(fù)表示0和π相位，幅度譜和相位譜合一；2022/12/27392022/12/272022/12/1332023/1/51342023/1/52023/1/5134三、周期信號(hào)的功率特性P為周期信號(hào)的平均功率符合帕斯瓦爾定理

2022/12/27402022/12/272022/12/1342023/1/51352023/1/52023/1/5135四、對(duì)稱信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)三種對(duì)稱：偶函數(shù)：f(t)=f(-t)奇函數(shù)：f(t)=-f(-t)奇諧函數(shù)：半周期對(duì)稱任意周期函數(shù)有：偶函數(shù)項(xiàng)奇函數(shù)項(xiàng)2022/12/27412022/12/272022/12/1352023/1/51362023/1/52023/1/5136周期偶函數(shù)Fn是實(shí)數(shù)只含直流和余弦分量2022/12/27422022/12/272022/12/1362023/1/51372023/1/52023/1/5137例如:周期三角函數(shù)是偶函數(shù)Ef(t)T1/2-T1/2t2022/12/27432022/12/272022/12/1372023/1/51382023/1/52023/1/5138周期奇函數(shù)只含正弦項(xiàng)Fn為虛數(shù)2022/12/27442022/12/272022/12/1382023/1/51392023/1/52023/1/5139例如周期鋸齒波是奇函數(shù)E/2-E/2T/2-T/2f(t)t02022/12/27452022/12/272022/12/1392023/1/51402023/1/52023/1/5140奇諧函數(shù)：沿時(shí)間軸平移半個(gè)周期；反相；波形不變；半波對(duì)稱2022/12/27462022/12/272022/12/1402023/1/51412023/1/52023/1/5141奇諧函數(shù)的波形：T1/2-T1/20tf(t)2022/12/27472022/12/272022/12/1412023/1/51422023/1/52023/1/5142奇諧函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)奇諧函數(shù)的偶次諧波的系數(shù)為0a20=

,b20=

2022/12/27482022/12/272022/12/1422023/1/51432023/1/52023/1/5143例：利用傅立葉級(jí)數(shù)的對(duì)稱性判斷所含有的頻率分量周期偶函數(shù)，奇諧函數(shù)周期奇函數(shù)，奇諧函數(shù)-T/2T/2-T/2T/2E/2-E/2只含基波和奇次諧波的余弦分量只含基波和奇次諧波的正弦分量E-Ef(t)t……2022/12/27492022/12/272022/12/1432023/1/51442023/1/52023/1/5144含有直流分量和正弦分量只含有正弦分量含有直流分量和余弦分量-TTTT含有直流分量和偶次諧波余弦分量2022/12/27502022/12/272022/12/1442023/1/51452023/1/52023/1/5145五、傅里葉有限級(jí)數(shù)

如果完全逼近，則n→∞;實(shí)際應(yīng)用中，n=N,N是有限整數(shù)。N愈趨近∞，則其均方誤差愈小若用2N＋1項(xiàng)逼近，則2022/12/27512022/12/272022/12/1452023/1/51462023/1/52023/1/5146誤差函數(shù)和均方誤差誤差函數(shù)均方誤差2022/12/27522022/12/272022/12/1462023/1/51472023/1/52023/1/5147例如:對(duì)稱方波,是偶函數(shù)且奇諧函數(shù)只有奇次諧波的余弦項(xiàng)。E/2-E/2T1/4-T1/4t2022/12/27532022/12/272022/12/1472023/1/51482023/1/52023/1/5148對(duì)稱方波有限項(xiàng)的傅里葉級(jí)數(shù)N=1N=3N=5-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.812022/12/27542022/12/272022/12/1482023/1/51492023/1/52023/1/5149項(xiàng)數(shù)N越大，誤差越小例如:N=11-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.812022/12/27552022/12/272022/12/1492023/1/51502023/1/52023/1/5150由以上可見(jiàn)：N越大，越接近方波快變信號(hào)，高頻分量，主要影響跳變沿；慢變信號(hào)，低頻分量，主要影響頂部；任一分量的幅度或相位發(fā)生相對(duì)變化時(shí)，波形將會(huì)失真有吉伯斯現(xiàn)象發(fā)生2022/12/27562022/12/272022/12/1502023/1/52023/1/5151§4.3典型周期信號(hào)的頻譜周期矩形脈沖信號(hào)周期鋸齒脈沖信號(hào)周期三角脈沖信號(hào)周期半波脈沖信號(hào)周期全波脈沖信號(hào)2022/12/272022/12/2757§4.3典型周1512023/1/51522023/1/52023/1/5152一、周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜f(t)t0E-TT2022/12/27582022/12/272022/12/1522023/1/51532023/1/52023/1/5153f(t)t0E-TT2022/12/27592022/12/272022/12/1532023/1/51542023/1/52023/1/5154f(t)Fnt00ET-T2022/12/27602022/12/272022/12/1542023/1/51552023/1/52023/1/5155頻譜分析表明離散頻譜，譜線間隔為基波頻率，脈沖周期越大，譜線越密；各分量的大小與脈幅成正比，與脈寬成正比，與周期成反比；各譜線的幅度按包絡(luò)線變化。過(guò)零點(diǎn)為：主要能量在第一過(guò)零點(diǎn)內(nèi)。主帶寬度為：Fn02022/12/27612022/12/272022/12/1552023/1/51562023/1/5周期信號(hào)的功率例4.3－1T=1s,t=0.2s,E=12022/12/27622022/12/27周期信號(hào)的功率例1562023/1/51572023/1/5周期矩形的頻譜變化規(guī)律：若T不變，在改變?chǔ)拥那闆r若τ不變，在改變T時(shí)的情況T2022/12/27632022/12/27周期矩形的頻譜變1572023/1/51582023/1/52023/1/5158對(duì)稱方波是周期矩形的特例TT/4-T/4實(shí)偶函數(shù)周期矩形奇諧函數(shù)對(duì)稱方波奇次余弦2022/12/27642022/12/272022/12/1582023/1/51592023/1/52023/1/5159對(duì)稱方波的頻譜變化規(guī)律TT/4-T/4奇次諧波02022/12/27652022/12/272022/12/1592023/1/51602023/1/52023/1/5160傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)T

信號(hào)的周期脈寬基波頻率1傅立葉級(jí)數(shù)小結(jié)2022/12/27662022/12/272022/12/1602023/1/51612023/1/52023/1/5161當(dāng)周期信號(hào)的周期T無(wú)限大時(shí),就演變成了非周期信號(hào)的單脈沖信號(hào)頻率也變成連續(xù)變量§4.4非周期信號(hào)的頻譜分析2022/12/27672022/12/272022/12/1612023/1/51622023/1/52023/1/5162頻譜演變的定性觀察-T/2T/2T/2-T/22022/12/27682022/12/272022/12/1622023/1/51632023/1/52023/1/51631.從周期信號(hào)FS推導(dǎo)非周期信號(hào)的FT傅立葉變換=F

[f(t)]2022/12/27692022/12/272022/12/1632023/1/51642023/1/52023/1/51642.傅立葉的逆變換傅立葉逆變換=F

-1

[F(w)]2022/12/27702022/12/272022/12/1642023/1/51652023/1/5F(w)

=F

[f(t)]F(jw)

f(t)=F

-1[F(w)]f(t)F