北師大版九年級(jí)(上)數(shù)學(xué)第四章圖形的相似講義-黃金分割

第四章圖形的相似1.黃金切割：(1).定義：一般地，點(diǎn)C把線(xiàn)段AB分成兩條線(xiàn)段AC和BC兩段,若是ACBC,ABAC那么線(xiàn)段AB被點(diǎn)C黃金切割，點(diǎn)C叫做線(xiàn)段AB的黃金切割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比.要點(diǎn)講解：AC51AB≈0.618AB(0.618是黃金切割的近似值，51是22黃金切割的正確值)..作一條線(xiàn)段的黃金切割點(diǎn)：如圖，已知線(xiàn)段AB，依照以下方法作圖：（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AB，使BD=1AB.2（2）連接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.則點(diǎn)C為線(xiàn)段AB的黃金切割點(diǎn).要點(diǎn)講解：一條線(xiàn)段的黃金切割點(diǎn)有兩個(gè).注：黃金三角形：頂角是360的等腰三角形。黃金矩形：寬與長(zhǎng)的比等于黃金數(shù)的矩形【例1】美是一種感覺(jué)，當(dāng)人體下半身長(zhǎng)與身高的比值越湊近0.618時(shí)，越給人一種美感.某女士身高165cm，下半身長(zhǎng)x與身高l的比值是0.60，為了盡可能達(dá)到好的收效，她應(yīng)穿的高跟鞋的高度大體為（）.A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm【例2】如圖，△ABC頂角是36°的等腰三角形（底與腰的比為

512的三角形是黃金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黃金三角形，已知AB=4，則DE=．【例3】如圖，已知點(diǎn)P是線(xiàn)段AB的黃金切割點(diǎn)，且PA＞PB，若S1表示以PA為邊的正方形的面積，S2表示長(zhǎng)為AB，寬為PB的矩形的面積，則( )A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．無(wú)法確定S1和S2的大小【例4】以下列圖，矩形ABCD是黃金矩形（即AB＝51≈0.618），若是在BC2其內(nèi)作正方形CDEF，獲取一個(gè)小矩形ABFE，試問(wèn)矩形ABFE可否也是黃金矩形？【例5】以長(zhǎng)為2的線(xiàn)段AB為邊作正方形ABCD，取AB的中點(diǎn)P，連接PD，在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)F，使PF＝PD，以AF為邊作正方形AMEF，點(diǎn)M在AD上，以下列圖，（1）求AM，DM的長(zhǎng)，2（2）試說(shuō)明AM=AD·DM（3）依照（2）的結(jié)論，你能找出圖中的黃金切割點(diǎn)嗎？5－1【例6】寬與長(zhǎng)的比是的矩形叫做黃金矩形．現(xiàn)將折疊黃金矩形的方法歸2納以下(以下列圖)：第一步：作一個(gè)正方形ABCD；第二步：分別取AD，BC的中點(diǎn)M，N，連接MN；第三步：以點(diǎn)N為圓心，ND長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E；第四步：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F.請(qǐng)你依照以上作法，證明矩形DCEF為黃金矩形．'【例7】三角形中，頂角等于36°的等腰三角形稱(chēng)為黃金三角形．如圖①，在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°.在圖①中，用尺規(guī)作AB的垂直均分線(xiàn)交AC于點(diǎn)D，并連接BD(保留作圖印跡，不寫(xiě)作法)．△BCD可否是黃金三角形？若是是，請(qǐng)給出證明；若是不是，請(qǐng)說(shuō)明原由．BC設(shè)＝k，試求k的值．AC【例8】如圖①，點(diǎn)C將線(xiàn)段AB分成兩部分，若是ACBC＝，那么稱(chēng)點(diǎn)C為線(xiàn)段ABACAB的黃金切割點(diǎn)．某研究小組在進(jìn)行課題學(xué)習(xí)時(shí)，由黃金切割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金切割線(xiàn)”，近似地給出“黃金切割線(xiàn)”的定義：直線(xiàn)l將一個(gè)面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為

S1，S2，若是

，那么稱(chēng)直線(xiàn)

l為該圖形的黃金切割線(xiàn)．研究小組猜想：在△ABC中，若點(diǎn)D為AB邊上的黃金切割點(diǎn)(如圖②)，則直線(xiàn)CD是△ABC的黃金切割線(xiàn)．你認(rèn)為對(duì)嗎？為什么？三角形的中線(xiàn)是該三角形的黃金切割線(xiàn)嗎？研究小組在進(jìn)一步研究中發(fā)現(xiàn)：過(guò)點(diǎn)C任作一條直線(xiàn)交AB于點(diǎn)E，再過(guò)點(diǎn)D作直線(xiàn)DF∥CE，交AC于點(diǎn)F，連接EF(如圖③)，則直線(xiàn)EF也是△ABC的黃金切割線(xiàn)，請(qǐng)你說(shuō)明原由；如圖④，點(diǎn)E是?ABCD的邊AB的