晶體幾何學(xué)點陣與群論

關(guān)于晶體幾何學(xué)點陣與群論第一頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.1點陣與點陣結(jié)構(gòu)1.點陣的意義晶體的結(jié)構(gòu)就是質(zhì)點在空間的排列方式，需對晶體進行幾何抽象，將組成物質(zhì)的質(zhì)點抽象化，忽略其大小和重量及化學(xué)和物理屬性使之成為一個純粹的幾何點，抽象后的這些幾何點稱為陣點或節(jié)點。（latticepoint）,它們在空間周期性的規(guī)則排列稱為“點陣”（lattice）,因此點陣是表達晶體結(jié)構(gòu)周期性的一種幾何形式。

關(guān)于晶體結(jié)構(gòu)規(guī)律性的探討是多方面的也是無止境的，我們研究的只是晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)中原子組態(tài)的一個抽象幾何模型。第二頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.點陣結(jié)構(gòu)的確定：

為便于點陣結(jié)構(gòu)的描述，采用三組互不共面的平行線將全部點陣連接起來，這樣整個點陣就可以看作是由一系列形狀、大小、完全相同的，且相互緊密排列在一起的平行六面體所構(gòu)成。

晶體結(jié)構(gòu)中原子排列的幾何規(guī)律性，最基本的一條是原子排列的周期性。第三頁，共四十二頁，2022年，8月28日圖2-2NaCl結(jié)構(gòu)平面圖形

第四頁，共四十二頁，2022年，8月28日第五頁，共四十二頁，2022年，8月28日CaF2結(jié)構(gòu)二氧化硅結(jié)構(gòu)氯化銫結(jié)構(gòu)第六頁，共四十二頁，2022年，8月28日干冰第七頁，共四十二頁，2022年，8月28日氯化鈉結(jié)構(gòu)圖第八頁，共四十二頁，2022年，8月28日氯化鈉結(jié)構(gòu)圖第九頁，共四十二頁，2022年，8月28日金剛石型晶體結(jié)構(gòu)二氧化碳晶體結(jié)構(gòu)第十頁，共四十二頁，2022年，8月28日在NaCl晶體結(jié)構(gòu)中，所有Na+的前后、左右、上下都是Cl－，所有Cl—的前后、左右、上下部是Na+。在NaCl晶體結(jié)構(gòu)中所有Na+在同一取向上所處的幾何環(huán)境和物質(zhì)環(huán)境皆相同；所有Cl－在同一取向上所處的幾何環(huán)境和物質(zhì)環(huán)境皆相同；但在同一取向上Na+的環(huán)境與Cl—的環(huán)境都不相同。

晶體結(jié)構(gòu)中在同一取向上幾何環(huán)境和物質(zhì)環(huán)境皆相同的點稱為等同點。NaCl晶體結(jié)構(gòu)中，Na+所在的點是一類等同點，C1—所在的點又是一類等同點。第十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日

例如Na+和C1-之間的中點(圖中的M點)，其所處的環(huán)境皆相同(它們所在點的電子密度和電場強度皆相等)，是一類等同點。在同一NaCl晶體結(jié)構(gòu)中，我們可以找出無窮多類等同點(如M和a點)，但由每一類等同點集合而成的圖形，都呈現(xiàn)出相同的形態(tài)(稱為面心立方點陣)。每一類等同點集合成一等同點類。

下圖所示的圖形是NaCl晶體結(jié)構(gòu)中各等同點類所共同具有的幾何形象。這種概括地表示晶體結(jié)構(gòu)中等同點排列規(guī)律的幾何圖形(點集合)，稱為空間點陣或空間格子。第十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日

在NaCl晶體結(jié)構(gòu)的空間點陣中，每一點既可以來代表Na+或Cl-也可用來代表其它各類等同點。構(gòu)成空間點陣的點是抽象的幾何點，稱為格點(通常也稱為結(jié)點)?？臻g點陣是由具有物質(zhì)性的晶體結(jié)構(gòu)抽象出來的幾何圖形，其中的格點雖與晶體結(jié)構(gòu)內(nèi)任一類等同點相當(dāng)，但只有幾何意義，并非具體的質(zhì)點。另一方而，抽象的空間點陣卻不能脫離具體的晶體結(jié)構(gòu)而單獨存在，它不是一個無物質(zhì)基礎(chǔ)的納粹幾何圖形。第十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日導(dǎo)出空間格子的方法：

首先在晶體結(jié)構(gòu)中找出等同點，再將相當(dāng)點按照一定的規(guī)律連接起來就形成了空間格子。等同點（兩個條件：1、性質(zhì)相同，2、周圍環(huán)境相同。）第十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日兩種推導(dǎo)方式結(jié)果一致第十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日第十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日對于同一晶體結(jié)構(gòu)，不論等同點在哪里，所得出的一系列等同點在空間的相對位置都是一致的，但對于不同的晶體結(jié)構(gòu)，所得的空間格子具體形式是有區(qū)別的。等同點的分布可以體現(xiàn)具體結(jié)構(gòu)中的所有質(zhì)點的重復(fù)規(guī)律，這種規(guī)律就是等同點在三維空間作格子狀排列。空間格子只是一個幾何圖形，是從具體的晶體內(nèi)部質(zhì)點抽象而來的?！熬w是其內(nèi)部結(jié)構(gòu)具有空間點陣這種幾何圖象的固體”。第十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日第十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日＊＊＊對于同一種點陣，由于三組互不共面的平行線選取方式不同，由它們所截取的平行六面體大小形狀也不盡相同?。。。獮楸ＷC所截取的平行六面體能夠統(tǒng)一，且又是最簡單，又能代表整個點陣的幾何特性特如下規(guī)定：3、平行六面體的截取規(guī)定：Ⅰ、所選取的平行六面體必須能夠反映點陣的宏觀對稱性。Ⅱ、在滿足上述Ⅰ條件下、所選取的平行六面體應(yīng)具有盡可能多的直角。Ⅲ、在滿足Ⅰ,Ⅱ規(guī)定的條件下，選取的平行六面體應(yīng)為最小體積。第十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日與單位平行六面體相應(yīng)的晶體結(jié)構(gòu)單元是晶體的基本結(jié)構(gòu)單元，客觀反映了晶體結(jié)構(gòu)的三維周期性的晶格，將晶體結(jié)構(gòu)截分為一個個彼此并置而相互等同的平行六面體的基本單元，稱之為‘晶胞’（unitcell）。晶胞包括兩個要素：一是晶胞的大小、型式。二是晶胞的內(nèi)容。能使點陣結(jié)構(gòu)復(fù)原的全部平移向量聚合而成一個群，稱為平移群。設(shè)反映結(jié)構(gòu)的三維周期性的三個互不共面的基向量為a,b,c，而m,n,p為任意常數(shù)，則平移向量組為：

Tmnp＝ma+nb+pc(m,n,p=0,±1;±2…..±∞)P=0表示平面點陣的平移群p,n=0表示直線點陣的平移群第二十頁，共四十二頁，2022年，8月28日第二十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日空間格子表明了晶體物質(zhì)在三維空間質(zhì)點做周期性重復(fù)排列這一根本的性質(zhì)，因此晶體也可以定義為具有格子構(gòu)造的固體。第二十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日FeS2晶體結(jié)構(gòu)的一個平面，類似于花布圖案第二十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日每一個晶體結(jié)構(gòu)中都含有一個潛在的抽象的空間點陣。空間點陣的每一個格點對應(yīng)著晶體結(jié)構(gòu)中一定數(shù)量的粒子。換言之，晶體結(jié)構(gòu)中一定數(shù)量粒子構(gòu)成的粒子集團可以表示為相應(yīng)的空間點陣的一個格點，晶體結(jié)構(gòu)的這個與空間點陣----格點相對應(yīng)的粒子集團，稱為晶體結(jié)構(gòu)的基元。猶如一個格點按照空間點陣的周期重復(fù)成整個空間點陣那樣，一個基元按照空間點陣的周期就可以重復(fù)成整個晶體結(jié)構(gòu)，實際上，晶體結(jié)構(gòu)的基元就是初級單位晶胞。

第二十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日4、格子和晶胞格子的類型：根據(jù)點陣點的位置。素格子（P）;體心格子（I）；底心格子（A，B,C）；面心格子（F）第二十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日晶胞中原子的位置一般用分數(shù)來表示。對于立方格子a,b,c正交等長，例如CsCl晶體結(jié)構(gòu)中：Cs+(0,0,0),Cl-(1/2,1/2,1/2)，其結(jié)構(gòu)基元由一個Cs+和Cl-組成。第二十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日

結(jié)構(gòu)基元由兩個O2-，四個Cu2+構(gòu)成，晶胞代表了晶體結(jié)構(gòu)，所以只要知道了一個晶胞中的原子的位置，就確定了整個晶體中原子的位置。第二十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日5、重要的概念：1、行列：結(jié)點在直線上的排列；空間格子任意兩個結(jié)點連接起來就是一條行列，行列中相鄰節(jié)點間距離稱為該行列的結(jié)點間距，不同方向行列上的結(jié)點間距一般是不等的。2、面網(wǎng)：結(jié)點在平面上分布即構(gòu)成面網(wǎng)?？臻g格子不在同一行列上的三個結(jié)點就可以連成一個面網(wǎng)，或任意兩個相交的行列就可以決定一個面網(wǎng)。面網(wǎng)上單位面積內(nèi)節(jié)點的數(shù)目稱為面網(wǎng)密度，任意兩個面網(wǎng)之間的距離稱為面網(wǎng)間距，平行的面網(wǎng)，面網(wǎng)間距與面網(wǎng)密度都相等，不平行的面網(wǎng)，一般面網(wǎng)密度與面網(wǎng)間距不等，且面網(wǎng)密度大的面網(wǎng)間距亦大。第二十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日面網(wǎng)AA’間距d1面網(wǎng)BB’間距d2面網(wǎng)CC’間距d3面網(wǎng)DD’間距d4面網(wǎng)間距依次減小,面網(wǎng)密度也是依次減小的.所以:面網(wǎng)密度與面網(wǎng)間距成正比.第二十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日6、非晶體：

不具備格子構(gòu)造，內(nèi)部只是統(tǒng)計上的均一，性質(zhì)在各個方向上同一，無規(guī)則的外形的無定形體。

晶體與非晶體可以在一定條件下轉(zhuǎn)化：玻璃上的霉點，就是向結(jié)晶態(tài)轉(zhuǎn)變的雛晶，這種由非晶態(tài)向晶態(tài)轉(zhuǎn)化稱為晶化；某些含有放射性元素的礦物晶體由于其蛻變所放出的核能，破壞了晶體內(nèi)部的結(jié)構(gòu)而產(chǎn)生了非晶化現(xiàn)象。

在熱力學(xué)條件下，晶體是穩(wěn)定的，具有最小的內(nèi)能，晶體具有最大的穩(wěn)定性。第三十頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2群論一、一般性定義群是按照某種規(guī)律(規(guī)則)相互聯(lián)系著的一些元素的集合.四個條件:1、封閉性:群中任意兩個元素的乘積和任意一個元素的平方必為群中的一個元素。G代表群即：A∈G,B∈G，A*B＝C，A＊A=Q,

則：C∈G，Q∈G

乘積是廣義的，可以用‘組合’，’組合積’，’操作’，‘規(guī)則’來代替。＊＊＊在群中乘法交換律不是普遍成立的?。?！即A*B≠B*A；AB與BA的意義是不同的。滿足交換律的群稱為阿貝耳群。AB：B被A左乘；BA：B被A右乘。第三十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日2、群中必有一個元素可與所有其它元素互換，并使它們不變。用E表示，稱之為恒等元素，EX=XE=X；3、乘法的結(jié)合律必須成立。

A(BC)＝（AB）C4、每個元素必有一個逆元素，它也是群的元素。R是S的逆元素，RS＝SR＝E；E的逆元素是自己。＊＊兩個或多個元素乘積的逆元素等于各逆元素按相反次序的乘積。（ABC······XY）－1＝Y(jié)－1X－1······C－1B－1A－1二、一些例子：1、有限群和無限群；(所有的整數(shù))2、有限群中元素的數(shù)目稱為群的階（h）；第三十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日3、例子：1、所有的整數(shù)作為一個無限群。取相加過程作為‘乘積’，恒等元素是0，每個元素的逆元素是（－n），并且此群為阿貝耳群。

2、所有的正數(shù)組合律：乘法，單位（恒等）元素是1，逆元素是1／n4、群的乘法表

h個元素的群，其乘法表由h行和h列所構(gòu)成，所有元素之間的乘積列在表上（共有h2個）。乘法的次序確定規(guī)則：習(xí)慣上，按照（列元素）＊（行元素）的次序取這些因子。在標(biāo)有X的列和標(biāo)有Y的行的交叉點上找到的元素是XY的乘積。重排定理：在群的乘法表中，每一個群元素在每一行和每一列被列入一次，而且只被列入一次。第三十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日不可能有兩個行或列是完全相同的，每一個行和列都是群元素重新排列的表。一階群（E）二階群（E，A）G2EAEAEAAE第三十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日三階群：

EABEABEABABEABEABEABABE可不可以？第三十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日循環(huán)群：G3AA＝B；AB＝A(AA)＝E則取A，A2（AA），A3（AB）（＝E）將組成完整的群。

一般情況下，h階循環(huán)群定義為一個元素X及其全部h個冪，一直到Xh=E，另一個重要性質(zhì)：循環(huán)群都是互易的，是阿貝耳群，所有的乘法是可以交換的，又叫交換群。X稱為生成元。G3EABEABEABABEBEA第三十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日四階群：令X=A，X2=B，X3=C，X4=E：將有一個4階的循環(huán)群

BB＝E，B的逆元素是其自身。若取A，B的逆元素是其自身的化，則C也是其自身的逆。否則同一列會出現(xiàn)兩個相同的元素，只有一種方式完成這個表：EABCEABCEABCABCEBCEACEABG4（1）第三十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日EABCEABCEABCAECBBCEACBAEG4（2）第三十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日只存在一個5階群；六階群例子：EABCDFEABCDFEABCDFAEDFBCBFEDCACDFEABDCABFEFBCAE