2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步必修四人教A版全國通用版講義：第二章 平行向量2.5.2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2．5.2向量在物理中的應(yīng)用舉例學(xué)習(xí)目標(biāo)1。經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題的過程.2。體會向量是一種處理物理問題的重要工具。3.培養(yǎng)運用向量知識解決物理問題的能力．知識點一向量的線性運算在物理中的應(yīng)用思考1向量與力有什么相同點和不同點？答案向量是既有大小又有方向的量，它們可以有共同的作用點，也可以沒有共同的作用點，但是力卻是既有大小，又有方向且作用于同一作用點的．思考2向量的運算與速度、加速度與位移有什么聯(lián)系？答案速度、加速度與位移的合成與分解，實質(zhì)上是向量的加減法運算,而運動的疊加也用到向量的合成．梳理（1)用向量解決力的問題,通常把向量的起點平移到同一個作用點上．（2)向量在解決涉及速度、位移等物理量的合成與分解時，實質(zhì)就是向量的線性運算．知識點二向量的數(shù)量積在物理中的應(yīng)用思考向量的數(shù)量積與功有什么聯(lián)系？答案物理上力做功的實質(zhì)是力在物體前進方向上的分力與物體位移的乘積，它的實質(zhì)是向量的數(shù)量積．梳理物理上力的做功就是力在物體前進方向上的分力與物體位移的乘積,即W＝|F|｜s|cos〈F，s〉，功是一個實數(shù)，它可正可負(fù)，也可以為零．力的做功涉及兩個向量及這兩個向量的夾角，它的實質(zhì)是向量F與s的數(shù)量積．知識點三向量方法解決物理問題的步驟用向量理論討論物理學(xué)中的相關(guān)問題，一般來說分為四個步驟：（1)問題轉(zhuǎn)化,即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題;(2)建立模型，即建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型；(3)求解參數(shù)，即求向量的模、夾角、數(shù)量積等；（4)回答問題，即把所得的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問題．1．功是力F與位移S的數(shù)量積．（√)2．力的合成與分解體現(xiàn)了向量的加減法運算．（√）3．某輪船需橫渡長江，船速為v1，水速為v2，要使輪船最快到達江的另一岸，則需保持船頭方向與江岸垂直．（√)類型一向量的線性運算在物理中的應(yīng)用例1(1)在重300N的物體上系兩根繩子,這兩根繩子在鉛垂線的兩側(cè),與鉛垂線的夾角分別為30°，60°（如圖），求重物平衡時,兩根繩子拉力的大?。键c向量在力學(xué)中的應(yīng)用題點求分力解如圖,兩根繩子的拉力之和eq\o（OA,\s\up6（→)）＋eq\o(OB，\s\up6（→）)＝eq\o（OC,\s\up6(→）），且｜eq\o(OC，\s\up6（→）)|＝｜eq\o（OG，\s\up6(→）)｜＝300N,∠AOC＝30°,∠BOC＝60°.在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°,∠AOC＝30°，則∠OAC＝90°，從而｜eq\o（OA，\s\up6（→))|＝|eq\o(OC,\s\up6（→))｜·cos30°＝150eq\r（3)(N），｜eq\o(AC,\s\up6(→))｜＝｜eq\o(OC，\s\up6(→）)|·sin30°＝150(N），所以|eq\o（OB,\s\up6（→)）|＝｜eq\o（AC，\s\up6（→）)｜＝150（N)．答與鉛垂線成30°角的繩子的拉力是150eq\r(3)N,與鉛垂線成60°角的繩子的拉力是150N.(2）一條寬為eq\r(3）km的河，水流速度為2km/h，在河兩岸有兩個碼頭A，B，已知AB＝eq\r(3)km，船在水中最大航速為4km/h，問該船從A碼頭到B碼頭怎樣安排航行速度可使它最快到達彼岸B碼頭？用時多少？考點向量在運動學(xué)中的應(yīng)用題點求速度解如圖所示，設(shè)eq\o（AC，\s\up6（→)）為水流速度,eq\o(AD,\s\up6(→))為航行速度，以AC和AD為鄰邊作?ACED且當(dāng)AE與AB重合時能最快到達彼岸,根據(jù)題意AC⊥AE，在Rt△ADE和?ACED中，|eq\o（DE，\s\up6（→）)|＝|eq\o(AC,\s\up6(→）)|＝2，｜eq\o（AD，\s\up6(→)）|＝4，∠AED＝90°,∴｜eq\o(AE,\s\up6(→）)｜＝eq\r（|\o(AD,\s\up6(→))｜2－|\o(DE,\s\up6(→)）｜2）＝2eq\r（3）.又AB＝eq\r（3)，∴用時0。5h。∵sin∠EAD＝eq\f（1，2)，∠EAD∈(0°,90°)，∴∠EAD＝30°。答船實際航行速度大小為2eq\r(3)km/h，與水流成120°角時能最快到達B碼頭，用時0.5h.反思與感悟利用向量法解決物理問題有兩種思路，第一種是幾何法，選取適當(dāng)?shù)幕?將題中涉及的向量用基底表示，利用向量運算法則、運算律或性質(zhì)計算．第二種是坐標(biāo)法，通過建立平面直角坐標(biāo)系，實現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算．跟蹤訓(xùn)練1河水自西向東流動的速度為10km/h，小船自南岸沿正北方向航行,小船在靜水中的速度為10eq\r（3）km/h，求小船的實際航行速度．考點向量在運動學(xué)中的應(yīng)用題點求速度解設(shè)a，b分別表示水流的速度和小船在靜水中的速度，過平面內(nèi)一點O作eq\o（OA,\s\up6(→)）＝a，eq\o（OB,\s\up6（→)）＝b，以eq\o(OA,\s\up6(→)），eq\o(OB,\s\up6（→）)為鄰邊作矩形OACB，連接eq\o(OC，\s\up6（→))，如圖,則eq\o(OC，\s\up6（→))＝a＋b，并且eq\o（OC，\s\up6(→））即為小船的實際航行速度．∴｜eq\o(OC，\s\up6（→))｜＝eq\r（a＋b2)＝eq\r（a2＋b2）＝20（km/h），tan∠AOC＝eq\f（10\r（3)，10)＝eq\r(3)，∴∠AOC＝60°,∴小船的實際航行速度為20km/h，按北偏東30°的方向航行．類型二向量的數(shù)量積在物理中的應(yīng)用例2質(zhì)量m＝2。0kg的木塊，在平行于斜面向上的拉力F＝10N的作用下,沿傾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行｜s｜＝2.0m的距離．（g＝9.8N/kg)(1)分別求物體所受各力對物體所做的功;（2）在這個過程中，物體所受各力對物體做功的代數(shù)和是多少?考點向量在力學(xué)中的應(yīng)用題點求做功解（1)木塊受三個力的作用，重力G，拉力F和支持力FN,如圖所示,拉力F與位移s方向相同,所以拉力對木塊所做的功為WF＝F·s＝|F｜｜s｜cos0°＝20(J）；支持力FN與位移方向垂直，不做功,所以WN＝FN·s＝0;重力G對物體所做的功為WG＝G·s＝｜G||s|cos（90°＋θ)＝－19。6(J）．(2)物體所受各力對物體做功的代數(shù)和為W＝WF＋WN＋WG＝0.4(J)．反思與感悟物理上的功實質(zhì)上就是力與位移兩矢量的數(shù)量積．跟蹤訓(xùn)練2已知力F的大小|F|＝10,在F的作用下產(chǎn)生的位移s的大小|s｜＝14，F(xiàn)與s的夾角為60°，則F做的功為（)A．7B．10C．14D．70考點向量在力學(xué)中的應(yīng)用題點求做功答案D解析F做的功為F·s＝｜F||s｜cos60°＝10×14×eq\f（1，2）＝70.1．一質(zhì)點受到平面上的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3（單位:牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài)，已知F1，F(xiàn)2成90°角，且F1，F(xiàn)2的大小分別為2和4，則F3的大小為（)A．6B．2C．2eq\r（5）D．2eq\r（7)考點向量在力學(xué)中的應(yīng)用題點求合力答案C解析由題意知F3＝－(F1＋F2)，所以|F3|2＝(F1＋F2）2＝Feq\o\al（2,1）＋Feq\o\al（2,2)＋2F1·F2＝4＋16＝20，∴|F3｜＝2eq\r（5）。2．人騎自行車的速度是v1,風(fēng)速為v2，則逆風(fēng)行駛的速度為(）A．v1－v2 B．v2－v1C．v1＋v2 D．|v1|－|v2｜考點向量在運動學(xué)中的應(yīng)用題點求速度答案C解析由題易知，選項C正確．3。用兩條成120°角的等長的繩子懸掛一個燈具，如圖所示，已知燈具重10N，則每根繩子的拉力大小為______N?？键c向量在力學(xué)中的應(yīng)用題點求分力答案10解析設(shè)重力為G,每根繩的拉力分別為F1,F2,則由題意得F1，F(xiàn)2與－G都成60°角，且｜F1｜＝｜F2|.∴|F1｜＝|F2|＝|G|＝10N，∴每根繩子的拉力都為10N。4．一條河寬為800m，一船從A處出發(fā)垂直到達河正對岸的B處，船速為20km/h，水速為12km/h，則船到達B處所需時間為________min.考點向量在運動學(xué)中的應(yīng)用題點求時間答案3解析∵v實際＝v船＋v水＝v1＋v2,｜v1｜＝20km/h,|v2|＝12km/h，∴|v實際｜＝eq\r（｜v1｜2－|v2｜2)＝eq\r(202－122）＝16(km/h)．∴所需時間t＝eq\f(0.8,16）＝0.05(h)＝3（min）．∴該船到達B處所需的時間為3min。5．一艘船從南岸出發(fā)，向北岸橫渡．根據(jù)測量，這一天水流速度為3km/h，方向正東,風(fēng)的方向為北偏西30°,受風(fēng)力影響，靜水中船的漂行速度為3km/h,若要使該船由南向北沿垂直于河岸的方向以2eq\r（3）km/h的速度橫渡，求船本身的速度大小及方向．考點向量在運動學(xué)中的應(yīng)用題點求速度解如圖，設(shè)水的速度為v1，風(fēng)的速度為v2，v1＋v2＝a.可求得a的方向是北偏東30°，a的大小是3km/h。設(shè)船的實際航行速度為v，方向由南向北,大小為2eq\r(3）km/h。船本身的速度為v3，則a＋v3＝v,即v3＝v－a,由數(shù)形結(jié)合知，v3的方向是北偏西60°，大小是eq\r（3)km/h。用向量理論討論物理中相關(guān)問題的步驟一般來說分為四步：(1）問題的轉(zhuǎn)化，把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題；(2）模型的建立，建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；（3)參數(shù)的獲取，求出數(shù)學(xué)模型的相關(guān)解；（4）問題的答案，回到物理現(xiàn)象中,用已經(jīng)獲取的數(shù)值去解釋一些物理現(xiàn)象．一、選擇題1．兩個大小相等的共點力F1，F(xiàn)2，當(dāng)它們夾角為90°時,合力大小為20N,則當(dāng)它們的夾角為120°時，合力大小為（）A．40N B．10eq\r(2）NC．20eq\r（2）N D．10eq\r（3)N考點向量在力學(xué)中的應(yīng)用題點求合力答案B解析｜F1|＝｜F2｜＝｜F｜cos45°＝10eq\r（2)，當(dāng)θ＝120°,由平行四邊形法則知|F合｜＝|F1｜＝｜F2|＝10eq\r(2）N。2．已知三個力F1＝(－2,－1),F2＝（－3，2),F3＝（7，－3）同時作用于某物上一點，為使該物體保持平衡，再加上一個力F4,則F4等于（）A．(－2，－2） B．（2，－2）C．（－1，2） D．（－2,2)考點向量在力學(xué)中的應(yīng)用題點求合力答案D解析由物理知識，知物體平衡，則所受合力為0，所以F1＋F2＋F3＋F4＝0,故F4＝－(F1＋F2＋F3）＝（－2,2)，故選D。3．已知作用在點A的三個力F1＝（3,4），F(xiàn)2＝(2，－5)，F(xiàn)3＝（3，1）且A(1，1），則合力F＝F1＋F2＋F3的終點坐標(biāo)為（)A．(9,1） B．(1,9)C．(9,0) D．(0，9）考點向量在力學(xué)中的應(yīng)用題點求合力答案A解析F＝F1＋F2＋F3＝(3,4）＋（2,－5)＋（3,1）＝（8,0),設(shè)合力F的終點為P(x，y），則eq\o(OP,\s\up6(→)）＝eq\o(OA，\s\up6（→）)＋F＝（1,1)＋（8，0）＝(9，1）．4．質(zhì)點P在平面上作勻速直線運動，速度向量ν＝（4，－3)(即點P的運動方向與ν相同，且每秒移動的距離為｜ν｜個單位）．設(shè)開始時點P的坐標(biāo)為（－10,10）,則5秒后點P的坐標(biāo)為()A．(－2,4) B．(－30，25）C．(10，－5） D．（5，－10）考點向量在運動學(xué)中的應(yīng)用題點求位移答案C解析設(shè)點(－10，10)為點A，5秒后P點的坐標(biāo)為A1(x，y),則eq\o（AA1,\s\up6(→)）＝（x＋10，y－10),由題意可知,eq\o（AA1，\s\up6(→))＝5ν，即（x＋10,y－10)＝（20，－15)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋10＝20，，y－10＝－15，）)解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝－5。））5．已知兩個力F1，F(xiàn)2的夾角為90°,它們的合力大小為10N，合力與F1的夾角為60°,那么F1的大小為()A．5eq\r(3)N B．5NC．10N D．5eq\r（2)N考點向量在力學(xué)中的應(yīng)用題點求分力答案B解析如圖，有｜F1|＝|F｜cos60°＝10×eq\f(1，2）＝5(N)．6．河水的流速為5m/s，若一艘小船沿垂直于河岸方向以12m/s的速度駛向?qū)Π?，則小船在靜水中的速度大小為()A．13m/s B．12m/sC．17m/s D．15m/s考點向量在運動學(xué)中的應(yīng)用題點求速度答案A解析設(shè)小船在靜水中的速度為v1，河水的流速為v2,v1與v2的合速度為v,∵為了使航向垂直河岸,船頭必須斜向上游方向,即小船在靜水中的速度v1斜向上游方向，河水速度v2平行于河岸，合速度v指向?qū)Π?∴靜水速度｜v1|＝eq\r（|v|2＋|v2｜2)＝eq\r(122＋52）＝13（m/s）．7．當(dāng)兩人提起重量為G的旅行包時，夾角為θ，兩人用力大小都為|F｜,若｜F|＝|G｜,則θ的值為(）A．30°B．60°C．90°D．120°考點向量在力學(xué)中的應(yīng)用題點求分力答案D解析作eq\o(OA,\s\up6（→)）＝F1,eq\o(OB，\s\up6(→))＝F2，eq\o(OC,\s\up6(→))＝－G（圖略），則eq\o（OC,\s\up6（→))＝eq\o（OA,\s\up6(→）)＋eq\o（OB，\s\up6(→）），當(dāng)｜F1|＝｜F2|＝|G|時,△OAC為正三角形,所以∠AOC＝60°,從而∠AOB＝120°。二、填空題8．飛機以300km/h的速度斜向上飛行，方向與水平面成30°角，則飛機在水平方向的分速度大小是______km/h?？键c向量在運動學(xué)中的應(yīng)用題點求速度答案150eq\r（3）解析如圖所示,｜v1|＝｜v｜cos30°＝300×eq\f（\r（3），2)＝150eq\r（3）（km/h）．9．一物體在力F1＝（3，－4)，F(xiàn)2＝(2，－5），F(xiàn)3＝（3,1）的共同作用下從點A(1,1）移動到點B（0,5)．在這個過程中三個力的合力所做的功為________．考點向量在運動學(xué)中的應(yīng)用題點求做功答案－40解析∵F1＝（3，－4），F(xiàn)2＝(2，－5），F(xiàn)3＝(3,1）,∴合力F＝F1＋F2＋F3＝（8,－8）．又∵eq\o(AB，\s\up6(→）)＝（0－1,5－1)＝（－1,4）,∴F·eq\o（AB,\s\up6（→）)＝8×(－1）＋（－8）×4＝－40，即三個力的合力做的功等于－40.10．一個重20N的物體從傾斜角為θ,斜面長1m的光滑斜面頂端下滑到底端，若重力做的功是10J，則θ＝________?？键c向量在運動學(xué)中的應(yīng)用題點求方向答案30°解析∵WG＝G·s＝｜G||s｜·cos(90°－θ)＝20×1×cos(90°－θ)＝10J，∴cos（90°－θ）＝eq\f(1,2）,∴θ＝30°。11．河水的流速為2m/s，一艘小船以10m/s的速度沿垂直于對岸的方向行駛，則小船在靜水中的速度大小為________m/s.考點向量在運動學(xué)中的應(yīng)用題點求速度答案2eq\r（26）解析設(shè)河水的流速為v1，小船在靜水中的速度為v2,船的實際速度為v，則v＝v1＋v2，|v1｜＝2m/s,|v|＝10m/s。所以|v2|＝｜v－v1|＝eq\r(v2－2v·v1＋v\o\al（2,1）)＝eq\r（100－0＋4）＝eq\r（104)＝2eq\r（26)(m/s）．三、解答題12．在水流速度為4千米/時的河流中,有一艘船沿與水流垂直的方向以8千米/時的速度航行，求船實際航行的速度的大小．考點向量在運動學(xué)中的應(yīng)用題點求速度解如圖，用v0表示水流速度，v1表示與水流垂直的方向的速度．則v0＋v1表示船實際航行的速度，∵｜v0｜＝4，|v1|＝8，∴|v0＋v1|＝eq\r(42＋82)＝4eq\r（5）。故船實際航行的速度為4eq\r（5）千米/時．13．已知兩恒力F1＝（3，4)，F(xiàn)2＝(6，－5)作用于同一質(zhì)點,使之由點A(