2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步必修四人教A版（浙江專用版）講義：第一章 三角函數(shù)1.1.1

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§1.1任意角和弧度制1．1。1任意角學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解角的概念.2.掌握正角、負(fù)角和零角的概念，理解任意角的意義.3。熟練掌握象限角、終邊相同的角的概念，會用集合符號表示這些角．知識點(diǎn)一角的相關(guān)概念思考1用旋轉(zhuǎn)方式定義角時,角的構(gòu)成要素有哪些?答案角的構(gòu)成要素有始邊、頂點(diǎn)、終邊．思考2將射線OA繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB位置,有幾種旋轉(zhuǎn)方向？答案有順時針和逆時針兩種旋轉(zhuǎn)方向．梳理(1)角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)O從一個位置OA旋轉(zhuǎn)到另一個位置OB所成的圖形．點(diǎn)O是角的頂點(diǎn)，射線OA，OB分別是角α的始邊和終邊．（2)按照角的旋轉(zhuǎn)方向，分為如下三類：類型定義正角按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角負(fù)角按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，稱它形成了一個零角知識點(diǎn)二象限角思考把角的頂點(diǎn)放在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，旋轉(zhuǎn)該角，則其終邊(除端點(diǎn)外）可能落在什么位置？答案終邊可能落在坐標(biāo)軸上或四個象限內(nèi)．梳理在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合．象限角：終邊在第幾象限就是第幾象限角；軸線角：終邊落在坐標(biāo)軸上的角．知識點(diǎn)三終邊相同的角思考1假設(shè)60°的終邊是OB,那么－660°，420°的終邊與60°的終邊有什么關(guān)系，它們與60°分別相差多少？答案它們的終邊相同．－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它們與60°分別相差了－2個周角及1個周角．思考2如何表示與60°終邊相同的角？答案60°＋k·360°（k∈Z）．梳理終邊相同角的表示:所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z｝，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和．1．經(jīng)過1小時，時針轉(zhuǎn)過30°.(×)提示因?yàn)槭琼槙r針旋轉(zhuǎn)，所以時針轉(zhuǎn)過－30°.2．終邊與始邊重合的角是零角．（×）提示終邊與始邊重合的角是k·360°（k∈Z）．3．小于90°的角是銳角．(×)提示銳角是指大于0°且小于90°的角．4．鈍角是第二象限角．（√）5．第二象限角是鈍角．（×）提示第二象限角不一定是鈍角．類型一任意角概念的理解例1（2018·牌頭中學(xué)月考)下列命題正確的是（）A．第一象限角是銳角B．鈍角是第二象限角C．終邊相同的角一定相等D．不相等的角，它們終邊必不相同考點(diǎn)任意角的概念題點(diǎn)任意角的概念答案B反思與感悟解決此類問題要正確理解銳角、鈍角、0°～90°角、象限角等概念．角的概念推廣后,確定角的關(guān)鍵是確定旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)量的大?。櫽?xùn)練1寫出下列說法所表示的角．（1）順時針擰螺絲2圈；(2)將時鐘撥慢2小時30分,分針轉(zhuǎn)過的角．考點(diǎn)任意角的概念題點(diǎn)任意角的概念解（1)順時針擰螺絲2圈，螺絲順時針旋轉(zhuǎn)了2周,因此所表示的角為－720°。（2)撥慢時鐘需將分針按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，因此將時鐘撥慢2小時30分,分針轉(zhuǎn)過的角為900°.類型二象限角的判定例2(1）已知下列各角:①－120°;②－240°；③180°；④495°。其中是第二象限角的是（）A．①②B．①③C．②③D．②④考點(diǎn)象限角、軸線角題點(diǎn)象限角答案D解析－120°為第三象限角,①錯；－240°＝－360°＋120°，∵120°為第二象限角，∴－240°也為第二象限角，故②對；180°為軸線角；495°＝360°＋135°,∵135°為第二象限角,∴495°為第二象限角，故④對．故選D。（2)已知α為第三象限角，則eq\f（α,2）是第幾象限角?考點(diǎn)象限角、軸線角題點(diǎn)象限角解因?yàn)棣翞榈谌笙藿?，所以k·360°＋180°〈α〈k·360°＋270°，k∈Z，所以k·180°＋90°<eq\f(α,2）〈k·180°＋135°,k∈Z,當(dāng)k為偶數(shù)時，記k＝2n，n∈Z，n·360°＋90°〈eq\f（α，2）〈n·360°＋135°，n∈Z，所以eq\f（α,2)終邊在第二象限,當(dāng)k為奇數(shù)時,記k＝2n＋1，n∈Z，n·360°＋270°<eq\f（α,2）〈n·360°＋315°，n∈Z，所以eq\f（α,2）終邊在第四象限．綜上可知,eq\f（α,2)是第二象限角或第四象限角．反思與感悟（1)判斷象限角的步驟①當(dāng)0°≤α<360°時,直接寫出結(jié)果；②當(dāng)α〈0°或α≥360°時，將α化為k·360°＋β（k∈Z，0°≤β〈360°),轉(zhuǎn)化為判斷角β所屬的象限．（2）一般地，要確定eq\f(α,n）所在的象限,可以作出各個象限的從原點(diǎn)出發(fā)的n等分射線，它們與坐標(biāo)軸把周角分成4n個區(qū)域，從x軸的非負(fù)半軸起,按逆時針方向把這4n個區(qū)域依次標(biāo)上1,2,3,4，…,4n,標(biāo)號為幾的區(qū)域，就是根據(jù)α所在第幾象限時，eq\f(α，n)的終邊所落在的區(qū)域，如此,eq\f(α，n)所在的象限就可以由標(biāo)號區(qū)域所在的象限直觀的看出．跟蹤訓(xùn)練2在0°～360°范圍內(nèi),找出與下列各角終邊相同的角,并判定它們是第幾象限角．(1)－150°；(2）650°；（3)－950°15′?？键c(diǎn)象限角、軸線角題點(diǎn)象限角解（1）因?yàn)椋?50°＝－360°＋210°,所以在0°～360°范圍內(nèi)，與－150°角終邊相同的角是210°角，它是第三象限角．（2)因?yàn)?50°＝360°＋290°，所以在0°～360°范圍內(nèi)，與650°角終邊相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因?yàn)椋?50°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范圍內(nèi),與－950°15′角終邊相同的角是129°45′角,它是第二象限角．類型三終邊相同的角命題角度1求與已知角終邊相同的角例3在與角10030°終邊相同的角中，求滿足下列條件的角．(1）最大的負(fù)角；（2）最小的正角;(3)[360°,720°）的角．考點(diǎn)終邊相同的角題點(diǎn)終邊相同的角解與10030°終邊相同的角的一般形式為β＝k·360°＋10030°(k∈Z),（1)由－360°＜k·360°＋10030°＜0°，得－10390°＜k·360°＜－10030°，解得k＝－28，故所求的最大負(fù)角為β＝－50°.(2)由0°＜k·360°＋10030°＜360°，得－10030°＜k·360°＜－9670°，解得k＝－27，故所求的最小正角為β＝310°.（3)由360°≤k·360°＋10030°＜720°，得－9670°≤k·360°＜－9310°，解得k＝－26，故所求的角為β＝670°.反思與感悟求適合某種條件且與已知角終邊相同的角，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式,再依條件構(gòu)建不等式求出k的值．跟蹤訓(xùn)練3寫出與α＝－1910°終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720°≤β＜360°的元素β寫出來．考點(diǎn)終邊相同的角題點(diǎn)終邊相同的角解由終邊相同的角的表示知，與角α＝－1910°終邊相同的角的集合為{β|β＝k·360°－1910°，k∈Z｝．∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1910°＜360°(k∈Z)，∴3eq\f（11，36)≤k＜6eq\f（11,36)(k∈Z），故取k＝4,5,6。當(dāng)k＝4時，β＝4×360°－1910°＝－470°;當(dāng)k＝5時,β＝5×360°－1910°＝－110°；當(dāng)k＝6時,β＝6×360°－1910°＝250°。命題角度2求終邊在給定直線上的角的集合例4寫出終邊在直線y＝－eq\r(3)x上的角的集合．考點(diǎn)終邊相同的角題點(diǎn)終邊相同的角解終邊在y＝－eq\r（3)x（x<0）上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z};終邊在y＝－eq\r(3）x（x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}．因此，終邊在直線y＝－eq\r(3)x上的角的集合是S＝S1∪S2＝｛α|α＝120°＋k·360°，k∈Z｝∪｛α|α＝300°＋k·360°，k∈Z｝，即S＝｛α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪｛α|α＝120°＋(2k＋1）·180°，k∈Z}＝{α｜α＝120°＋n·180°，n∈Z｝．故終邊在直線y＝－eq\r(3)x上的角的集合是S＝｛α｜α＝120°＋n·180°，n∈Z}．反思與感悟求終邊在給定直線上的角的集合，常用分類討論的思想,即分x≥0和x<0兩種情況討論，最后再進(jìn)行合并．跟蹤訓(xùn)練4寫出終邊在直線y＝eq\f(\r(3）,3）x上的角的集合．考點(diǎn)終邊相同的角題點(diǎn)終邊相同的角解終邊在y＝eq\f（\r（3），3）x(x≥0）上的角的集合是S1＝｛α|α＝30°＋k·360°，k∈Z｝;終邊在y＝eq\f(\r(3）,3)x(x〈0）上的角的集合是S2＝｛α｜α＝210°＋k·360°，k∈Z}．因此，終邊在直線y＝eq\f（\r（3)，3)x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪｛α｜α＝210°＋k·360°，k∈Z}，即S＝{α|α＝30°＋2k·180°,k∈Z｝∪{α｜α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z｝＝{α｜α＝30°＋n·180°，n∈Z}．故終邊在直線y＝eq\f（\r(3）,3）x上的角的集合是S＝{α｜α＝30°＋n·180°，n∈Z｝。1．下列說法正確的是()A．終邊相同的角一定相等B．鈍角一定是第二象限角C．第四象限角一定是負(fù)角D．小于90°的角都是銳角考點(diǎn)終邊相同的角題點(diǎn)任意角的綜合應(yīng)用答案B2．與－457°角終邊相同的角的集合是（)A．{α｜α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α｜α＝k·360°＋97°，k∈Z｝C．｛α｜α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α｜α＝k·360°－263°，k∈Z}考點(diǎn)終邊相同的角題點(diǎn)終邊相同的角答案C解析－457°＝－2×360°＋263°，故選C。3．2018°是（)A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角考點(diǎn)象限角、軸線角題點(diǎn)象限角答案C解析2018°＝5×360°＋218°,故2018°是第三象限角．4．已知α＝30°，將其終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)三周后的角度數(shù)為________．考點(diǎn)任意角的概念題點(diǎn)任意角的概念答案1110°解析3×360°＋30°＝1110°.5.如圖所示．(1）寫出終邊落在射線OA，OB上的角的集合；（2）寫出終邊落在陰影部分(包括邊界）的角的集合．考點(diǎn)終邊相同的角題點(diǎn)終邊相同的角解(1)終邊落在射線OA上的角的集合是{α｜α＝k·360°＋210°，k∈Z}．終邊落在射線OB上的角的集合是｛α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．(2)終邊落在陰影部分（含邊界）的角的集合是｛α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°,k∈Z｝．1．對角的理解，初中階段是以“靜止"的眼光看，高中階段應(yīng)用“運(yùn)動”的觀點(diǎn)下定義，理解這一概念時，要注意“旋轉(zhuǎn)方向"決定角的“正負(fù)”，“旋轉(zhuǎn)幅度"決定角的“絕對值大小”．2．關(guān)于終邊相同的角的認(rèn)識一般地，所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z｝，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和．注意：（1）α為任意角；（2）k·360°與α之間是“＋”號，k·360°－α可理解為k·360°＋（－α)；（3）相等的角終邊一定相同；終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無數(shù)多個，它們相差360°的整數(shù)倍；(4）k∈Z這一條件不能少．一、選擇題1．（2017·甘肅蘭州一中期末)下列命題正確的是(）A．終邊在x軸非正半軸上的角是零角B．第二象限角一定是鈍角C．第四象限角一定是負(fù)角D．若β＝α＋k·360°（k∈Z）,則α與β終邊相同考點(diǎn)終邊相同的角題點(diǎn)任意角的綜合應(yīng)用答案D解析終邊在x軸非正半軸上的角為k·360°＋180°,k∈Z，零角為0°，所以A錯誤；480°角為第二象限角,但不是鈍角，所以B錯誤;285°角為第四象限角，但不是負(fù)角，所以C錯誤，故選D.2．（2017·濟(jì)寧高一檢測)下列各角中，與60°角終邊相同的角是（）A．－300° B．－60°C．600° D．1380°考點(diǎn)終邊相同的角題點(diǎn)終邊相同的角答案A解析與60°角終邊相同的角α＝k·360°＋60°，k∈Z,令k＝－1，則α＝－300°.3．把－1485°化成k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z）的形式是（）A．315°－5×360° B．45°－4×360°C．－315°－4×360° D．－45°－10×180°考點(diǎn)終邊相同的角題點(diǎn)終邊相同的角答案A解析可以估算－1485°介于－5×360°與－4×360°之間．∵0°≤α＜360°,∴k＝－5，則α＝315°。4．（2017·河北邯鄲一中月考）已知A＝｛第一象限角｝,B＝{銳角},C＝{小于90°的角｝,則A,B，C關(guān)系正確的是（)A．B＝A∩C B．B∪C＝CC．AC D． A＝B＝C考點(diǎn)象限角、軸線角題點(diǎn)象限角答案B解析由題意得B(A∩C),故A錯誤;BC，所以B∪C＝C,故B正確；A與C互不包含,故C錯誤;由以上分析可知D錯誤．5．若α是第四象限角，則180°－α是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角考點(diǎn)象限角、軸線角題點(diǎn)象限角答案C解析可以給α賦一特殊值－60°，則180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．6．時針走過了2小時40分，則分針轉(zhuǎn)過的角度是（）A．80° B．－80°C．960° D．－960°考點(diǎn)任意角的概念題點(diǎn)任意角的概念答案D解析分針轉(zhuǎn)過的角是負(fù)角，且分針每轉(zhuǎn)一周是－360°，故共轉(zhuǎn)了－360°×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（2＋\f(40,60））)＝－960°.7．（2017·臨沂高一檢測）角α與角β的終邊關(guān)于y軸對稱,則α與β的關(guān)系為(）A．α＋β＝k·360°，k∈ZB．α＋β＝k·360°＋180°，k∈ZC．α－β＝k·360°＋180°，k∈ZD．α－β＝k·360°，k∈Z考點(diǎn)終邊相同的角題點(diǎn)終邊相同的角答案B解析方法一(特殊值法）令α＝30°，β＝150°，則α＋β＝180°。方法二(直接法）因?yàn)榻铅僚c角β的終邊關(guān)于y軸對稱,所以β＝180°－α＋k·360°,k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.8．設(shè)集合A＝｛α｜α＝45°＋k·180°,k∈Z｝∪｛α|α＝135°＋k·180°，k∈Z｝，集合B＝｛β｜β＝45°＋k·90°，k∈Z}，則(）A．A∩B＝? B．ABC．BA D．A＝B考點(diǎn)終邊相同的角題點(diǎn)任意角的綜合應(yīng)用答案D解析對于集合A,α＝45°＋k·180°＝45°＋2k·90°或α＝135°＋k·180°＝45°＋90°＋2k·90°＝45°＋（2k＋1）·90°?！遦∈Z,∴2k表示所有的偶數(shù),2k＋1表示所有的奇數(shù),∴集合A＝｛α|α＝45°＋n·90°，n∈Z｝，又集合B＝｛β|β＝45°＋k·90°，k∈Z｝，∴A＝B。故選D。二、填空題9．已知角α＝－3000°,則與α終邊相同的最小正角是________．考點(diǎn)終邊相同的角題點(diǎn)終邊相同的角答案240°解析與α＝－3000°終邊相同的角的集合為｛θ｜θ＝－3000°＋k·360°，k∈Z}，令－3000°＋k·360°〉0°，解得k〉eq\f（25，3）,故當(dāng)k＝9時，θ＝240°滿足條件．10．若α＝k·360°＋45°,k∈Z，則eq\f(α,2）是第________象限角．考點(diǎn)象限角、軸線角題點(diǎn)象限角答案一或三解析∵α＝k·360°＋45°，k∈Z,∴eq\f(α,2)＝k·180°＋22.5°，k∈Z.當(dāng)k為偶數(shù),即k＝2n，n∈Z時,eq\f(α,2)＝n·360°＋22。5°，n∈Z，∴eq\f(α，2)為第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)，即k＝2n＋1，n∈Z時,eq\f(α,2)＝n·360°＋202。5°，n∈Z,∴eq\f（α，2)為第三象限角．綜上，eq\f(α,2)是第一或第三象限角．11。如圖,終邊落在OA的位置上的角的集合是________________；終邊落在OB的位置上，且在－360°~360°內(nèi)的角的集合是________；終邊落在陰影部分（含邊界)的角的集合是____________________．考點(diǎn)終邊相同的角題點(diǎn)任意角的綜合應(yīng)用答案{α｜α＝120°＋k·360°，k∈Z}｛315°,－45°｝{α｜－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z｝解析終邊落在OA的位置上的角的集合是{α|α＝120°＋k·360°,k∈Z}．終邊落在OB的位置上的角的集合是{α｜α＝315°＋k·360°，k∈Z｝,取k＝0,－1得α＝315°，－45°。故終邊落在OB的位置上，且在－360°～360°內(nèi)的角的集合是{315°，－45°}．終邊落在陰影部分的角的集合是｛α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}．12．集合A＝｛α｜α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β〈180°｝,則A∩B＝________________.考點(diǎn)終邊相同的角題點(diǎn)任意角的綜合應(yīng)用答案{－126°,－36°,54°，144°｝解析當(dāng)k＝－1時，α＝－126°；當(dāng)k＝0時，α＝－36°；當(dāng)k＝1時，α＝54°；當(dāng)k＝2時,α＝144°.∴A∩B＝｛－126°，－36°,54°，144°}．13．已知角β的終邊在直線eq\r（3)x－y＝0上．則角β的集合S為__________．考點(diǎn)終邊相同的角題點(diǎn)任意角的綜合應(yīng)用答案{β｜β＝60°＋n·180°，n∈Z｝解析如圖,直線eq\r（3）x－y＝0過原點(diǎn)，傾斜角為60°，在0°～360°范圍內(nèi)，終邊落在射線OA上的角是60°，終邊落在射線OB上的角是240°，所以以射線OA，OB為終邊的角的集合分別為S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝｛β|β＝240°＋k·360°，k∈Z｝，所以，角β的集合S＝S1∪S2＝｛β｜β＝60°＋k·360°，k∈Z｝∪{β｜β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z｝＝{β|β＝60°＋2k·