2021-2022學(xué)年廣東省江門市高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末調(diào)研（一）數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年廣東省江門市高二上學(xué)期期末調(diào)研（一）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線的傾斜角是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】先求斜率，再求傾斜角【詳解】，則斜率，設(shè)傾斜角是，，即，所以故選：A2．圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】根據(jù)圓的一般方程的圓心坐標(biāo)為，半徑為，即可求出結(jié)果.【詳解】由于圓，所以其圓心坐標(biāo)為，即；半徑為.故選：A.3．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】已知和求通項(xiàng)公式：進(jìn)行計(jì)算.【詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故選：C4．在直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，，則與所成角的正弦值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得所成角的余弦值，從而求得所求.【詳解】根據(jù)題意易知兩兩相互垂直，由此建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則故，，設(shè)所成角為，，則，所以，即與所成角的正弦值是.故選：C.5．拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為，則（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】B【分析】首先確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可得的值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，其到直線的距離：，解得：(舍去).故選：B.6．己知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（

）A．36 B．25 C．20 D．16【答案】B【分析】根據(jù)橢圓定義可得，利用基本不等式可得結(jié)果.【詳解】由橢圓易知，根據(jù)橢圓定義可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的最大值為.故選：B.7．直線與圓相交于兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A．6 B．4 C． D．【答案】D【分析】先求出直線經(jīng)過的定點(diǎn)，再由弦長(zhǎng)公式可分析出當(dāng)時(shí)，最小，從而可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榭苫癁椋?，解得，所以直線恒過定點(diǎn)，該點(diǎn)在圓內(nèi)，因?yàn)?，所以要求的最小值，即求圓心到直線的最大距離，顯然當(dāng)時(shí)，最大，最小，又因?yàn)閳A，所以圓心，，則，故此時(shí).故選：D.8．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點(diǎn)A(1，0)，B(0，2)，且AC＝BC，則△ABC的歐拉線的方程為（

）A．4x＋2y＋3＝0 B．2x－4y＋3＝0C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0【答案】B【分析】等腰三角形的歐拉線即為底面上高線．求出中點(diǎn)和的斜率后可得．【詳解】因?yàn)锳C＝BC，所以歐拉線為AB的中垂線，又A(1，0)，B(0，2)，故AB的中點(diǎn)為，kAB＝－2，故AB的中垂線方程為y－1＝，即2x－4y＋3＝0.故選：B．二、多選題9．若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)空間向量的共面定理判斷即可.【詳解】A：，A是；B:，B是；C：構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故無法用表示，C不是；D：，D是；故選：ABD10．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，且，，則（

）．A． B． C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可求公差和，從而可判斷ABCD的正誤.【詳解】因?yàn)?，，故，故A錯(cuò)誤，B正確.而，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：BD.11．已知曲線C的方程為，則（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線為圓B．當(dāng)時(shí)，曲線C為雙曲線，其漸近線方程為C．當(dāng)時(shí)，曲線C為焦點(diǎn)在軸上的橢圓D．存在實(shí)數(shù)使得曲線C為雙曲線，其離心率為【答案】AD【分析】對(duì)于AB，代入曲線C的方程，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與雙曲線的性質(zhì)即可判斷；對(duì)于C，結(jié)合選項(xiàng)B的分析舉反例即可排除；對(duì)于D，先由曲線為雙曲線求得的范圍，再由離心率為求得，分類討論與兩種況情，從而求得，據(jù)此判斷即可.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，方程可化為，即，所以曲線是圓，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，方程可化為，所以曲線為雙曲線，其漸近線方程為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，不妨令，由選項(xiàng)B可知曲線為雙曲線，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，假設(shè)存在實(shí)數(shù)使得曲線C為雙曲線，其離心率為，因?yàn)榍€C為雙曲線，所以，解得或，因?yàn)殡p曲線離心率為，即，結(jié)合，易得，當(dāng)時(shí)，曲線C：，則，解得，舍去；當(dāng)時(shí)，曲線C：，則，解得，滿足題意；綜上：存在滿足題意，故D正確.故選：AD.12．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，EF是棱AB上的一條線段，且點(diǎn)Q是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)P是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．PQ與EF一定不垂直B．二面角的正弦值是C．點(diǎn)P到平面QEF的距離是定值D．的面積是【答案】BCD【分析】對(duì)于A，利用特殊位置法，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)即可判斷；對(duì)于B，建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，利用向量法可求得二面角的余弦值的絕對(duì)值，從而即可判斷；對(duì)于C，由線面平行的判定定理判斷得到平面，即可判斷；對(duì)于D，利用線面垂直的性質(zhì)定理可得是的高，再利用三角形的面積公式求解即可判斷．【詳解】對(duì)于A，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，由正方體的性質(zhì)易得面，而面，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由于點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，是棱上的一條線段，所以平面即平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，因?yàn)槠矫婕雌矫?，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，設(shè)二面角為，，所以，故，故B正確；對(duì)于C，由于，且平面，平面，所以平面，又點(diǎn)在上，所以點(diǎn)到平面的距離是定值，故C正確；對(duì)于D，由于平面，又平面，所以，所以，又，所以是的高，所以，故D正確.故選：BCD．.三、填空題13．已知橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，則______．【答案】4【分析】求出橢圓的焦點(diǎn)，再解方程，即得解.【詳解】解：由題意得橢圓的焦點(diǎn)為和，所以，所以．故答案為：414．已知點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面內(nèi)的對(duì)稱點(diǎn)，則__________.【答案】【分析】按照點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的規(guī)律求出的坐標(biāo)，再利用空間兩點(diǎn)的距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面內(nèi)的對(duì)稱點(diǎn)，所以，所以.故答案為：.15．如果一個(gè)等比數(shù)列的前5項(xiàng)和等于10，前10項(xiàng)和等于330，那么這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)等于__________.【答案】【分析】利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式得到方程組，兩式作商即可求出，進(jìn)而可求得.【詳解】設(shè)該等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則，所以，即，所以，則，即，所以，將代入得，，解得，所以這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)等于.故答案為：.16．若兩個(gè)單位向量與向量的夾角都等于，則__________.【答案】##【分析】根據(jù)已知可得，，利用完全平方公式求得，再根據(jù)即可求得答案.【詳解】因?yàn)閮蓚€(gè)單位向量與向量的夾角都等于，，，，，，又，則，，即，，.故答案為：.四、解答題17．已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【分析】（1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出即可求解.（2）由（1）求出的通項(xiàng)公式，再有裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】解：（1）由已知：，即，所以或（舍去），（2）由（1）知：【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及裂項(xiàng)相消法求和，屬于中檔題.18．在正四面體中，分別是的中點(diǎn).設(shè)，(1)用表示；(2)用向量方法證明；①；②四點(diǎn)共面.【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）由題意可得，，再由向量的減法運(yùn)算即可得到答案；（2）①利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律求得，從而可證；②用向量，，分別表示出，，，從而得到，再利用空間向量的共面定理即可得證.【詳解】（1）因?yàn)椋謩e是，的中點(diǎn)，所以且，所以，因?yàn)椋謩e是，的中點(diǎn)，所以且，所以．.（2）①不妨設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，則由題意知向量，，中，兩兩之間的夾角均為，且，所以，同理，所以，故；②因?yàn)?，，，所以，所以四點(diǎn)共面．19．已知拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為1.(1)求拋物線的方程；(2)若拋物線上一點(diǎn)A到的距離是4，求A的坐標(biāo).【答案】(1)(2)或【分析】（1）由題意求得拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的漸近線，再由點(diǎn)線距離公式求得p值，從而得到拋物線方程；（2）由拋物線的定義可求得A點(diǎn)橫坐標(biāo)，再代入拋物線方程即可得解.【詳解】（1）根據(jù)題意，拋物線的焦點(diǎn)F為，雙曲線的漸近線方程為，即，則焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為，解得（負(fù)值舍去），故拋物線的方程為.（2）設(shè)，由拋物線的定義可知，即，解得，將代入拋物線方程，得，所以A的坐標(biāo)為或．20．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.(1)求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由遞推式變形得，從而利用等比數(shù)列的定義即可得證；（2）由（1）求得，再利用分組求和法與等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可得解.【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列的首項(xiàng)，且滿足，所以，即，又，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）可得，則，所以.21．如圖，在四棱錐中，底面為梯形，，三角形為等邊三角形，側(cè)面底面，且，為棱上的動(dòng)點(diǎn).（1）若，交于，證明：平面；（2）若為棱的中點(diǎn)，且過三點(diǎn)的平面被該四棱錐截得的截面的面積為，求的長(zhǎng)，并求直線與該截面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）4，.【分析】（1），結(jié)合，證得，從而證明平面.（2）作出截面ABEF，由其面積求得CD的長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得PC的方向向量及截面ABEF的法向量，由向量間夾角關(guān)系求得線面夾角的正弦值.【詳解】（1）由題意得，又底面為梯形，，，∴，∴.又平面，平面，∴平面.（2）如圖，取的中點(diǎn)，連接，則且，又由題意得，，所以，所以四邊形為平行四邊形，即四邊形為所截得的截面.又側(cè)面底面，側(cè)面底面，所以平面，又平面，所以，所以四邊形為矩形.令，則，，則，所以，取的中點(diǎn)，連接.由題意得底面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，平行于的直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，故.設(shè)平面的法向量為則，即，令，則平面的一個(gè)法向量為設(shè)直線與截面所成的角為，則所以直線與截面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：建立空間直角坐標(biāo)系，把線面夾角問題轉(zhuǎn)化為向量間的夾角問題求解.22．已知橢圓和雙曲線的焦距相同，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)，橢圓的上?下頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上且異于點(diǎn)，直線與直線分別交于點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，以為直徑的圓是否經(jīng)過軸上的定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論.【答案】(1)(2)是；證明見解析【分析】（1）根據(jù)橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)及點(diǎn)在橢圓上列出方程，解之即可得解；（2）先利用點(diǎn)在橢圓上及斜率公式證得，再聯(lián)立直線方程分別求得的坐標(biāo)，從而寫出以為直徑的圓的方程，令，即證得該圓必經(jīng)過軸上的定點(diǎn).【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線為，所以，又因?yàn)闄E圓和雙曲線的焦距相同，所以，將代入橢圓方程，