2021-2022學(xué)年上海市松江區(qū)高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年上海市松江區(qū)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“”，當(dāng)時(shí)，等式左邊應(yīng)在的基礎(chǔ)上加上（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由數(shù)學(xué)歸納法可知時(shí)，左端為，到時(shí)，左端，從而可得答案．【詳解】解：用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)，當(dāng)左邊所得的項(xiàng)是；假設(shè)時(shí)，命題成立，左端為；則當(dāng)時(shí)，左端為，當(dāng)時(shí)，等式左邊應(yīng)在的基礎(chǔ)上加上．故選：C.2．設(shè)是正三棱錐，是的重心，是上的一點(diǎn)，且，若，則為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】如圖所示,連接AG1交BC于點(diǎn)M，則M為BC中點(diǎn),利用空間向量的運(yùn)算法則求得，即得.【詳解】如圖所示,連接AG1交BC于點(diǎn)M,則M為BC中點(diǎn)，)=,.因?yàn)樗?3(),∴

.則，∴

，，，故選：A.3．已知為等比數(shù)列，的前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．若，則數(shù)列單調(diào)遞增B．若，則數(shù)列單調(diào)遞增C．若數(shù)列單調(diào)遞增，則D．若數(shù)列單調(diào)遞增，則【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與通項(xiàng)公式可得與，進(jìn)而可得、取值同號(hào)，即可判斷A、B；舉例首項(xiàng)和公比的值即可判斷C；根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性可得，進(jìn)而得到，求出，即可判斷D.【詳解】A：由，得，即，則、取值同號(hào)，若，則不是遞增數(shù)列，故A錯(cuò)誤；B：由，得，即，則、取值同號(hào)，若，則數(shù)列不是遞增數(shù)列，故B錯(cuò)誤；C：若等比數(shù)列，公比，則，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，但，故C錯(cuò)誤；D：由數(shù)列為遞增數(shù)列，得，所以，即，所以，故D正確.故選：D4．已知曲線，對(duì)于命題：①垂直于軸的直線與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)；②若為曲線上任意兩點(diǎn)，則有，下列判斷正確的是（

）A．①和②均為真命題 B．①和②均為假命題C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題【答案】A【分析】化簡(jiǎn)曲線方程，畫出圖像判斷①，利用函數(shù)單調(diào)減判斷②【詳解】曲線,當(dāng)當(dāng)當(dāng)畫出圖像如圖，易知①正確；易知函數(shù)為減函數(shù)，則人任意兩點(diǎn)斜率，②正確故選：A二、填空題5．已知直線方程為，則該直線的傾斜角為_________.【答案】####45°【分析】求出直線的斜率，進(jìn)而得到直線的傾斜角.【詳解】直線的斜率為1，設(shè)直線的傾斜角為，則，因?yàn)?，所?故答案為：.6．已知向量，且，則_________.【答案】1【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積坐標(biāo)公式列出方程，求出答案.【詳解】由題意得：，故.故答案為：17．已知過拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且，則_______.【答案】10【分析】根據(jù)拋物線的定義可得焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式為，代入即可.【詳解】根據(jù)拋物線的定義可得，所以.故答案為：10.8．計(jì)算：________.【答案】【分析】利用等差數(shù)列求和公式計(jì)算即可.【詳解】.故答案為：.9．若直線與直線的夾角為，則實(shí)數(shù)的值為_________.【答案】或【分析】結(jié)合傾斜角與斜率、兩角和與差的正切公式求得正確答案.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為、直線的傾斜角為，由于的斜率為，即，所以，由于直線與直線的夾角為，所以直線的傾斜角不是，斜率存在，且斜率為.所以，解得，或，解得.所以實(shí)數(shù)的值為或.故答案為：或10．已知向量是直線的一個(gè)方向向量，向量是平面的一個(gè)法向量，若直線⊥平面，則實(shí)數(shù)的值為________.【答案】-1【分析】根據(jù)直線⊥平面，得到與平行，列出方程組，求出的值.【詳解】因?yàn)橹本€⊥平面，則與平行，故，即，解得：，故實(shí)數(shù)的值為-1.故答案為：-111．已知數(shù)列前項(xiàng)和滿足，則________.【答案】【分析】先利用對(duì)數(shù)運(yùn)算得到，進(jìn)而利用求出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，故，故答案為?2．在無窮等比數(shù)列中，，公比，記.則________.【答案】【分析】先求得，然后求得.【詳解】，，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以.故答案為：13．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則取得最大值時(shí)的值為_____.【答案】5或6【分析】先求得，然后利用求得正確答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，解得，所以，由，解得，又，所以取得最大值時(shí)的值為5或6.故答案為：5或614．已知圓與圓相交于，兩點(diǎn)，且滿足，則_________.【答案】【分析】求得兩個(gè)圓的圓心和半徑，根據(jù)兩圓相交弦的性質(zhì)列方程來求得的值.【詳解】圓的圓心為，半徑.圓，即，所以圓心為，半徑.由于，所以，是坐標(biāo)原點(diǎn).即兩圓公共弦的垂直平分線過，根據(jù)兩圓相交弦的性質(zhì)可知，公共弦的垂直平分線，所以，所以，解得.故答案為：15．已知、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在雙曲線的左支上，點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為________.【答案】6【分析】結(jié)合雙曲線的定義以及圓的幾何性質(zhì)求得正確答案.【詳解】雙曲線，，，圓的圓心為，半徑，在雙曲線的左支上，，所以，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，的最小值是，所以的最小值是.故答案為：16．已知二次曲線的方程：.當(dāng)、為正整數(shù)，且時(shí)存在兩條曲線、，其交點(diǎn)與點(diǎn)滿足，則________.【答案】8【分析】先得到為橢圓，為雙曲線，結(jié)合圖象的幾何性質(zhì)得到，結(jié)合橢圓定義，雙曲線定義及列出方程，求出.【詳解】，，為橢圓，，，，為雙曲線，結(jié)合圖象的幾何性質(zhì)，任意兩橢圓之間無公共點(diǎn)，任意兩雙曲線之間也無公共點(diǎn)，故設(shè)，則根據(jù)橢圓，雙曲線定義及可得：，解得：，所以存在這樣的、，且或或.故答案為：8三、解答題17．已知平面內(nèi)兩點(diǎn).(1)求的中垂線方程；(2)求與直線平行且與圓相切的直線方程.【答案】(1)；(2)或【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)和斜率求得的中垂線方程.（2）設(shè)出平行直線的方程，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離求得正確答案.【詳解】（1），所以的中垂線的斜率為，線段的中點(diǎn)為，所以的中垂線的方程為，即.（2）設(shè)所求直線方程為，圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離，所以所求直線方程為或.18．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)分別是棱和的中點(diǎn).(1)求與所成角的大??；(2)求與平面所成角的大小.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)線線角的知識(shí)求得正確答案.（2）作出與平面所成角，解三角形求得角的大小.【詳解】（1）由于點(diǎn)分別是棱和的中點(diǎn)，所以，所以與所成角，即與所成角，由于三角形是等邊三角形，所以與所成角為，所以與所成角為.（2）設(shè)平面平面，由于，所以，所以，由于平面，平面，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，所以，所以即是與平面所成角，.19．我國(guó)某沙漠，曾被稱為“死亡之?！?，截至2018年年底該地區(qū)面積的仍為沙漠，只有為綠洲.計(jì)劃從2019年開始使用無人機(jī)飛播造林，實(shí)現(xiàn)快速播種，這樣每年原來沙漠面積的將被改為綠洲，但同時(shí)原有綠洲面積的還會(huì)被沙漠化.記該地區(qū)的面積為1個(gè)單位，經(jīng)過一年綠洲面積為，經(jīng)過年綠洲面積為.(1)寫出，并證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)截止到哪一年年底，才能使該地區(qū)綠洲面積超過?【答案】(1)，證明見解析；(2)2022年【分析】（1）根據(jù)題意求出，并列出，構(gòu)造法求出，從而得到為公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列；（2）在第一問的基礎(chǔ)上得到，列出不等式，求出，結(jié)合，且，，從而，得到答案.【詳解】（1），，設(shè)，則，從而，解得：，故，故為公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列；（2）由（1）得：故，令，解得：，顯然單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，故，即截止到2022年年底，才能使該地區(qū)綠洲面積超過.20．已知橢圓的離心率為、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，的周長(zhǎng)為.(1)求橢圓的方程；(2)若，求的面積；(3)設(shè)為圓上任意一點(diǎn)，過作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，判斷是否為定值?若是，求出定值；若不是，說明理由.【答案】(1)；(2)；(3)是，【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓的方程.（2）利用余弦定理求得，從而求得的面積.（3）根據(jù)切線是否與坐標(biāo)軸平行進(jìn)行分類討論，結(jié)合判別式求得.【詳解】（1）依題意，解得，所以橢圓的方程為.（2）根據(jù)橢圓的定義可知，①，由余弦定理得，即②，由①②得，所以.（3）圓的方程為，橢圓的方程為注意到是圓上的點(diǎn)，過上述四個(gè)點(diǎn)中的任意一個(gè)作橢圓的切線，則兩條切線垂直，即.當(dāng)是圓上除去上述四個(gè)點(diǎn)外的任意一點(diǎn)時(shí)，切線和切線的斜率存在且不為零，設(shè)切線方程為，由消去并化簡(jiǎn)得，令，整理得，所以，由于，所以，即.綜上所述，是定值，且定值為.21．已知等比數(shù)列的公比為是的前項(xiàng)和.(1)若，求；(2)若有無最值?說明理由；(3)設(shè)，若首項(xiàng)和都是正整數(shù)，滿足不等式，且對(duì)于任意正整數(shù)有成立，問：這樣的數(shù)列有幾個(gè)?【答案】(1)或；(2)當(dāng)時(shí)，有最小值為1，但無最大值；當(dāng)時(shí)，有最大值為1，最小值為；理由見解析(3)232【分析】（1）先求得公比，然后求得.（2）對(duì)進(jìn)行分類討論，從而求得正確結(jié)論.（3）求得和的關(guān)系式，對(duì)分類討論，確定的可能取值，即可求得正確答案.【詳解】（1）依題意，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)