二次函數(shù)壓軸題-角的存在性

12/12一．解答題（共5小題）例1．（2013?）如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與直線y=x+2交于C、D兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，）．點(diǎn)P是y軸右側(cè)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)m為何值時(shí)，以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）若存在點(diǎn)P，使∠PCF=45°，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．例2．（2012?惠山區(qū)校級(jí)模擬）如圖，拋物線y=ax2+bx﹣3a經(jīng)過(guò)A（﹣1，0）、C（0，﹣3）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B．（1）求此拋物線的解析式；（2）已知點(diǎn)D（m，﹣m﹣1）在第四象限的拋物線上，求點(diǎn)D關(guān)于直線BC對(duì)稱的點(diǎn)D'的坐標(biāo)．（3）在（2）的條件下，連接BD，問(wèn)在x軸上是否存在點(diǎn)P，使∠PCB=∠CBD？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．例3．（2014?）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=﹣x2+bx+c（c＞0）的頂點(diǎn)為D，與y軸的交點(diǎn)為C，過(guò)點(diǎn)C作CA∥x軸交拋物線于點(diǎn)A，在AC延長(zhǎng)線上取點(diǎn)B，使BC=AC，連接OA，OB，BD和AD．（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣4，4）．①求b，c的值；②試判斷四邊形AOBD的形狀，并說(shuō)明理由；（2）是否存在這樣的點(diǎn)A，使得四邊形AOBD是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出一個(gè)符合條件的點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．練習(xí)1．（2013?）已知拋物線y=x2﹣2x+c與x軸交于A．B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0）．（1）求D點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖1，連接AC，BD并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，求∠E的度數(shù)；（3）如圖2，已知點(diǎn)P（﹣4，0），點(diǎn)Q在x軸下方的拋物線上，直線PQ交線段AC于點(diǎn)M，當(dāng)∠PMA=∠E時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．2．（2012?合川區(qū)模擬）如圖，二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)B（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3）．（1）求直線BC與二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A．點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，且∠APD=∠ACB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）連接CD，求∠OCA與∠OCD兩角和的度數(shù)．2015年05月13日1873957725的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一．解答題（共5小題）1．（2013?）如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與直線y=x+2交于C、D兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，）．點(diǎn)P是y軸右側(cè)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)m為何值時(shí)，以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）若存在點(diǎn)P，使∠PCF=45°，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：（1）首先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）本問(wèn)采用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想求解．將直線y=x+2沿y軸向上或向下平移2個(gè)單位之后得到的直線，與拋物線y軸右側(cè)的交點(diǎn)，即為所求之交點(diǎn)．由答圖1可以直觀地看出，這樣的交點(diǎn)有3個(gè)．聯(lián)立解析式解方程組，即可求出m的值；（3）本問(wèn)符合條件的點(diǎn)P有2個(gè)，如答圖2所示，注意不要漏解．在求點(diǎn)P坐標(biāo)的時(shí)候，需要充分挖掘已知條件，構(gòu)造直角三角形或相似三角形，解方程求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．解答：解：（1）在直線解析式y(tǒng)=x+2中，令x=0，得y=2，∴C（0，2）．∵點(diǎn)C（0，2）、D（3，）在拋物線y=﹣x2+bx+c上，∴，解得b=，c=2，∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+x+2．（2）∵PF∥OC，且以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，∴PF=OC=2，∴將直線y=x+2沿y軸向上、下平移2個(gè)單位之后得到的直線，與拋物線y軸右側(cè)的交點(diǎn)，即為所求之交點(diǎn)．由答圖1可以直觀地看出，這樣的交點(diǎn)有3個(gè)．將直線y=x+2沿y軸向上平移2個(gè)單位，得到直線y=x+4，聯(lián)立，解得x1=1，x2=2，∴m1=1，m2=2；將直線y=x+2沿y軸向下平移2個(gè)單位，得到直線y=x，聯(lián)立，解得x3=，x4=（在y軸左側(cè)，不合題意，舍去），∴m3=．∴當(dāng)m為值為1，2或時(shí)，以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．（3）存在．理由：設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則P（m，﹣m2+m+2），F(xiàn)（m，m+2）．如答圖2所示，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥PE于點(diǎn)M，則CM=m，EM=2，∴FM=yF﹣EM=m，∴tan∠CFM=2．在Rt△CFM中，由勾股定理得：CF=m．過(guò)點(diǎn)P作PN⊥CD于點(diǎn)N，則PN=FN?tan∠PFN=FN?tan∠CFM=2FN．∵∠PCF=45°，∴PN=CN，而PN=2FN，∴FN=CF=m，PN=2FN=m，在Rt△PFN中，由勾股定理得：PF==m．∵PF=yP﹣yF=（﹣m2+m+2）﹣（m+2）=﹣m2+3m，∴﹣m2+3m=m，整理得：m2﹣m=0，解得m=0（舍去）或m=，∴P（，）；同理求得，另一點(diǎn)為P（，）．∴符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，）．點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解方程（方程組）、平行四邊形、相似三角形（或三角函數(shù)）、勾股定理等重要知識(shí)點(diǎn)．第（2）問(wèn)采用數(shù)形結(jié)合思想求解，直觀形象且易于理解；第（3）問(wèn)中，符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，注意不要漏解．2．（2012?惠山區(qū)校級(jí)模擬）如圖，拋物線y=ax2+bx﹣3a經(jīng)過(guò)A（﹣1，0）、C（0，﹣3）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B．（1）求此拋物線的解析式；（2）已知點(diǎn)D（m，﹣m﹣1）在第四象限的拋物線上，求點(diǎn)D關(guān)于直線BC對(duì)稱的點(diǎn)D'的坐標(biāo)．（3）在（2）的條件下，連接BD，問(wèn)在x軸上是否存在點(diǎn)P，使∠PCB=∠CBD？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．分析：（1）將A（﹣1，0）、C（0，﹣3）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線y=ax2+bx﹣3a中，列方程組求a、b的值即可；（2）將點(diǎn)D（m，﹣m﹣1）代入（1）中的拋物線解析式，求m的值，再根據(jù)對(duì)稱性求點(diǎn)D關(guān)于直線BC對(duì)稱的點(diǎn)D'的坐標(biāo)；（3）當(dāng)∠PCB=∠CBD時(shí)，可知CP∥BD，根據(jù)三角形的全等關(guān)系確定P點(diǎn)坐標(biāo)．解答：解：（1）將A（﹣1，0）、C（0，﹣3）代入拋物線y=ax2+bx﹣3a中，得，解得，∴y=x2﹣2x﹣3；（2）將點(diǎn)D（m，﹣m﹣1）代入y=x2﹣2x﹣3中，得m2﹣2m﹣3=﹣m﹣1，解得m=2或﹣1，∵點(diǎn)D（m，﹣m﹣1）在第四象限，∴D（2，﹣3），∵直線BC解析式為y=x﹣3，∴∠BCD=∠BCO=45°，CD′=CD=2，OD′=3﹣2=1，∴點(diǎn)D關(guān)于直線BC對(duì)稱的點(diǎn)D'（0，﹣1）；（3）存在．過(guò)D點(diǎn)作DE⊥x軸，垂足為E，交直線BC于F點(diǎn)（如圖），∵∠PCB=∠CBD，∴CP∥BD，又∵CD∥x軸，四邊形PCDB為平行四邊形，∴△OCP≌△EDB，∴OP=BE=1，設(shè)CP與BD相交于M點(diǎn)（m，3m﹣9），易求BD解析式為：y=3x﹣9，由BM=CM，得到關(guān)于m的方程，解方程后，得m=；于是，M點(diǎn)坐標(biāo)為：M（，﹣）；于是CM解析式為：y=x﹣3，令CM方程中，y=0，則x=9，所以，P點(diǎn)坐標(biāo)為：P（9，0），∴P（1，0），或（9，0）．點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是由已知條件求拋物線解析式，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，直線BC的特殊性求點(diǎn)的坐標(biāo)．3．（2014?）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=﹣x2+bx+c（c＞0）的頂點(diǎn)為D，與y軸的交點(diǎn)為C，過(guò)點(diǎn)C作CA∥x軸交拋物線于點(diǎn)A，在AC延長(zhǎng)線上取點(diǎn)B，使BC=AC，連接OA，OB，BD和AD．（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣4，4）．①求b，c的值；②試判斷四邊形AOBD的形狀，并說(shuō)明理由；（2）是否存在這樣的點(diǎn)A，使得四邊形AOBD是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出一個(gè)符合條件的點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：幾何綜合題；壓軸題．分析：（1）①將拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線即可求出b、c的值；②求證AD=BO和AD∥BO即可判定四邊形為平行四邊形；（2）根據(jù)矩形的各角為90°可以求得△ABO∽△OBC即=，再根據(jù)勾股定理可得OC=BC，AC=OC，可求得橫坐標(biāo)為±c，縱坐標(biāo)為c．解答：解：（1）①∵AC∥x軸，A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，4）．∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，4）把A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=﹣x2+bx+c得，，解得；②四邊形AOBD是平行四邊形；理由如下：由①得拋物線的解析式為y=﹣x2﹣4x+4，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣2，8），過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AB于點(diǎn)E，則DE=OC=4，AE=2，∵AC=4，∴BC=AC=2，∴AE=BC．∵AC∥x軸，∴∠AED=∠BCO=90°，∴△AED≌△BCO，∴AD=BO．∠DAE=∠OBC，∴AD∥BO，∴四邊形AOBD是平行四邊形．（2）存在，點(diǎn)A的坐標(biāo)可以是（﹣2，2）或（2，2）要使四邊形AOBD是矩形；則需∠AOB=∠BCO=90°，∵∠ABO=∠OBC，∴△ABO∽△OBC，∴=，又∵AB=AC+BC=3BC，∴OB=BC，∴在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理可得：OC=BC，AC=OC，∵C點(diǎn)是拋物線與y軸交點(diǎn)，∴OC=c，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣c，c），∴頂點(diǎn)橫坐標(biāo)=c，b=c，∵將A點(diǎn)代入可得c=﹣（﹣c）2+c?c+c，∴橫坐標(biāo)為±c，縱坐標(biāo)為c即可，令c=2，∴A點(diǎn)坐標(biāo)可以為（2，2）或者（﹣2，2）．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)對(duì)稱軸頂點(diǎn)坐標(biāo)的公式，以與函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求解方法．4．（2013?）已知拋物線y=x2﹣2x+c與x軸交于A．B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0）．（1）求D點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖1，連接AC，BD并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，求∠E的度數(shù)；（3）如圖2，已知點(diǎn)P（﹣4，0），點(diǎn)Q在x軸下方的拋物線上，直線PQ交線段AC于點(diǎn)M，當(dāng)∠PMA=∠E時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入到拋物線的解析式求得c值，然后配方后即可確定頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）連接CD、CB，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥y軸于點(diǎn)F，首先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后證得△DCB∽△AOC得到∠CBD=∠OCA，根據(jù)∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB，得到∠E=∠OCB=45°；（3）設(shè)直線PQ交y軸于N點(diǎn)，交BD于H點(diǎn)，作DG⊥x軸于G點(diǎn)，得到△DGB∽△PON后利用相似三角形的性質(zhì)求得ON的長(zhǎng)，從而求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線PQ的解析式，設(shè)Q（m，n），根據(jù)點(diǎn)Q在y=x2﹣2x﹣3上，得到﹣m﹣2=m2﹣2m﹣3，求得m、n的值后即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．解答：解：（1）把x=﹣1，y=0代入y=x2﹣2x+c得：1+2+c=0∴c=﹣3∴y=x2﹣2x﹣3=y=（x﹣1）2﹣4∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4）；（2）如圖1，連接CD、CB，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥y軸于點(diǎn)F，由x2﹣2x﹣3=0得x=﹣1或x=3∴B（3，0）當(dāng)x=0時(shí)，y=x2﹣2x﹣3=﹣3∴C（0，﹣3）∴OB=OC=3∵∠BOC=90°，∴∠OCB=45°，BC=3又∵DF=CF=1，∠CFD=90°，∴∠FCD=45°，CD=，∴∠BCD=180°﹣∠OCB﹣∠FCD=90°．∴∠BCD=∠COA又∵∴△DCB∽△AOC，∴∠CBD=∠OCA又∵∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB∴∠E=∠OCB=45°，（3）如圖2，設(shè)直線PQ交y軸于N點(diǎn)，交BD于H點(diǎn)，作DG⊥x軸于G點(diǎn)∵∠PMA=45°，∴∠EMH=45°，∴∠MHE=90°，∴∠PHB=90°，∴∠DBG+∠OPN=90°又∴∠ONP+∠OPN=90°，∴∠DBG=∠ONP∴∠DGB=∠PON=90°，∴△DGB∽△PON∴=，即：=∴ON=2，∴N（0，﹣2）設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b則解得：∴y=﹣x﹣2設(shè)Q（m，n）且n＜0，∴n=﹣m﹣2又∵Q（m，n）在y=x2﹣2x﹣3上，∴n=m2﹣2m﹣3∴﹣m﹣2=m2﹣2m﹣3解得：m=2或m=﹣∴n=﹣3或n=﹣∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，﹣3）或（﹣，﹣）．點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，難度較大，題目中滲透了許多的知識(shí)點(diǎn)，特別是二次函數(shù)與相似三角形的結(jié)合，更是一個(gè)難點(diǎn)，同時(shí)也是中考中的常考題型之一．5．（2012?合川區(qū)模擬）如圖，二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)B（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3）．（1）求直線BC與二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A．點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，且∠APD=∠ACB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）連接CD，求∠OCA與∠OCD兩角和的度數(shù)．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：代數(shù)幾何綜合題．分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法求直線BC的解析式即可；把點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式解答；（2）根據(jù)拋物線解析式求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，連接AD，然后求出∠ADP=∠ABC=45°，然后證明△ADP和△ABC相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式求出PD的長(zhǎng)度，從而得解；（3）連接BD，利用勾股定理求出BD、BC的長(zhǎng)度，再求出∠CBD=90°，然后根據(jù)∠BCD與∠ACO的正切值相等可得∠BCD=∠ACO，從而得到∠OCA與∠OCD的和等于∠BCO，是45°．解答：解：（1）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m，∵點(diǎn)B（﹣3，0），點(diǎn)C（0，﹣3），∴，解得，所以，直線BC的解析式為y=﹣x﹣3，∵二次函數(shù)y=﹣x2+b