第五章-傅里葉變換課件

第五章傅里葉變換5.2傅里葉積分與付里葉變換5.3函數(shù)§5.1傅里葉級數(shù)第一篇復(fù)變函數(shù)論

第五章傅里葉變換5.2傅里葉積分與付里葉變換5.31第五章傅里葉變換§5.1傅里葉級數(shù)一、周期函數(shù)的傅里葉展開★設(shè)f(x)為周期為2l的函數(shù)將f(x)展開★考慮三角函數(shù)族為基本函數(shù)族1、周期函數(shù)族

2、函數(shù)f(x)的傅里葉展開第五章傅里葉變換§5.1傅里葉級數(shù)一、周期函數(shù)的傅里23、再談周期函數(shù)族的正交性

3、再談周期函數(shù)族的正交性3★驗(yàn)算一個(gè)！

★驗(yàn)算一個(gè)！44、利用三角函數(shù)族的正交性展開

f(x)，并且求f(x)的展開系數(shù)★即★由★得

4、利用三角函數(shù)族的正交性展開★即★由★得5

★由★得★結(jié)合合寫系數(shù)：★函數(shù)的傅氏級數(shù)為★由★得6★稱為周期函數(shù)的傅里葉系數(shù)！

★由★得★稱為周期函數(shù)的傅里葉系數(shù)！74、狄里希利定理：若f(x)滿足：(1)處處連續(xù)，或在每個(gè)周期有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；(2)或在每個(gè)周期有有限個(gè)極值點(diǎn)，則級數(shù)收斂，且(在連續(xù)點(diǎn)x)級數(shù)和=(在間斷點(diǎn)x)★狄里希利定理是傅里葉級數(shù)的收斂條件!

4、狄里希利定理：若f(x)滿足：(在連續(xù)點(diǎn)x)級數(shù)和8二、奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅里葉展開1、奇函數(shù)2、奇函數(shù)展開式只有正弦項(xiàng)★其系數(shù)為3、奇函數(shù)展開式（正弦項(xiàng)）的系數(shù)求法如下：

二、奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅里葉展開1、奇函數(shù)2、奇函數(shù)展開式只有93、奇函數(shù)展開式（正弦項(xiàng)）的系數(shù)求法如下:

（1）其偶次項(xiàng)的系數(shù)為零，計(jì)算如下：3、奇函數(shù)展開式（正弦項(xiàng)）10

11★最后得

（2）其奇次項(xiàng)的系數(shù)為零，計(jì)算如下：★最后得124、偶函數(shù)的傅里葉展開及其展開系數(shù)

★其奇次項(xiàng)的系數(shù)為零4、偶函數(shù)的傅里葉展開及其展開系數(shù)13★最后得

★最后得14例1，要求在（-，）上，f(x)=x2,

展開為Fourier級數(shù)，在本題展開所得中置x=0，由此驗(yàn)證:解：f(x)=x2，為偶函數(shù)；

例1，要求在（-，）上，f(x)=x2,解：f(15★

x=0

★x=016三、定義在有限區(qū)間上的

函數(shù)的傅里葉展開★定義在有限區(qū)間上的函數(shù)，如在(0，l)上的f(x)，可以延拓其成為周期函數(shù)g(x)，使在(0，l)上有

g(x)

f(x)；然后對g(x)進(jìn)行傅里葉展開；★要根據(jù)具體情況進(jìn)行偶延拓，或奇延拓；★如果，奇延拓成奇周期函數(shù)；★如果，偶延拓成偶周期函數(shù)；1、任意函數(shù)的傅里葉展開方法2、偶延拓或奇延拓的使用原則

三、定義在有限區(qū)間上的

函數(shù)的傅里葉展開★定義在有限區(qū)間17例2，要求f(x)=cosax在它的定義區(qū)間的邊界上為零，而且要求在區(qū)間（0，）上進(jìn)行展開。解：★因?yàn)樵趨^(qū)間（0，）上為零，所以要將函數(shù)進(jìn)行奇延拓成奇周期函數(shù)，其展開式為★其展開系數(shù)為

例2，要求f(x)=cosax在它的定義區(qū)間的邊界解：★因18★其結(jié)果為

★其結(jié)果為19四、復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù)1、復(fù)數(shù)形式的基本正交函數(shù)族2、復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù)★形式★求系數(shù)

四、復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù)1、復(fù)數(shù)形式的基本正交函數(shù)族2、復(fù)數(shù)20§5.2傅里葉積分與

傅里葉變換一、實(shí)函數(shù)形式的傅里葉變換★設(shè)f(x)為定義在-<x<上的非周期函數(shù)；★將g(x)展開傅里葉級數(shù)：★將f(x)看為周期函數(shù)g(x)于周期

2l的極限；k=0,1，2，...1、傅里葉變換的含義

§5.2傅里葉積分與

傅里葉變換一、實(shí)函數(shù)形式的傅里葉21★求系數(shù)：★做代換k=0,1，2，...

★求系數(shù)：★做代換k=0,1，2，...22★將系數(shù)代入傅里葉級數(shù)得到l

★將系數(shù)代入傅里葉級數(shù)得到l232、傅里葉變換的余弦項(xiàng)

2、傅里葉變換的余弦項(xiàng)24★同理，可以得到正弦項(xiàng)3、傅里葉變換的正弦項(xiàng)★其中，★其中，

★同理，可以得到正弦項(xiàng)3、傅里葉變換的正弦項(xiàng)★其中，★其中，25★稱為f(x)的傅里葉積分★稱為f(x)的傅里葉變換式

★稱為f264、傅里葉積分定理若f(x)在區(qū)間（－∞，＋∞）上滿足條件：(1)f(x)在任一有限區(qū)間滿足狄里希利條件；(2)f(x)在（－∞，＋∞）上絕對可積分，則f(x)可表示為付里葉積分，而且傅里葉積分值=

4、傅里葉積分定理若f(x)在區(qū)間（－∞，＋∞）上滿27為振幅譜（功率譜）為相位譜（頻率譜）5、函數(shù)的振幅譜和頻率譜★將f(x)的傅里葉積分改寫為

為振幅譜（功率譜）為相位譜（頻率譜）5、函數(shù)的振幅譜和頻率譜28★對于偶函數(shù)，有傅里葉余弦積分★對稱寫法6、傅里葉余弦積分及其變換★余弦變換★余弦變換

★對于偶函數(shù)，有傅里葉余弦積分★對稱寫法6、傅里葉余弦積分及29★對于奇函數(shù)，傅里葉正弦積分★對稱寫法7、傅里葉正弦積分及其變換★正弦變換

★對于奇函數(shù)，傅里葉正弦積分★對稱寫法7、傅里葉正弦積分及其30例1：將如圖的單個(gè)rectx矩形脈沖展為傅里葉積分。解：o-TThf(t)t★偶函數(shù)，有傅里葉余弦積分★其傅里葉變換圖5-1矩形脈沖振幅譜

例1：將如圖的單個(gè)rectx矩形解：o-TThf(t)31★

A()與曲線稱為頻譜線，如圖5-2教材P76?！锲涓道锶~變換圖5-2矩形脈沖頻譜——傅里葉變換的頻譜

★A()與曲線稱為頻譜線，如圖5-2教材P76。★其傅32例2，求由2N個(gè)（N為整數(shù)）函數(shù)正弦波組成的有限正弦波列：解：的傅里葉積分★f(x)是奇函數(shù)，應(yīng)當(dāng)展開為正弦函數(shù)；★其傅里葉變換為

例2，求由2N個(gè)（N為整數(shù)）函數(shù)正弦波組成的有限正弦波列：33

34圖5-4有限正弦波列頻譜——傅里葉變換的頻譜

圖5-4有限正弦波列頻譜——傅里葉變換的頻譜35二、復(fù)函數(shù)形式的傅里葉變換1、復(fù)數(shù)形式傅里葉變換的導(dǎo)出

二、復(fù)函數(shù)形式的傅里葉變換1、復(fù)數(shù)形式傅里葉變換的導(dǎo)出36★第二個(gè)積分中，

換為-★得到

★第二個(gè)積分中，★得到37★考察傅立葉積分變換式

★考察傅立葉積分變換式38★無論、，都有

★無論、，都有39★對稱寫法★記為原函數(shù)像函數(shù)2、傅里葉變換的原函數(shù)和像函數(shù)

★對稱寫法★記為原函數(shù)像函數(shù)2、傅里葉變換的原函數(shù)和像函數(shù)40例3，求的矩形脈沖f(t)

=rect

(t/2T)

的復(fù)數(shù)形式的傅里葉變換解：o-/2/2hf(t)t

←與例1的結(jié)果相同！例3，求的矩形脈沖f(t)=rect(t/2T)41矩形脈沖振幅譜矩形脈沖頻譜

矩形脈沖振幅譜矩形脈沖頻譜42例4，求函數(shù)解：的傅里葉變換。

例4，求函數(shù)解：的傅里葉變換。43例5，求函數(shù)解：的傅氏變換。

例5，求函數(shù)解：的傅氏變換。44

45

46

47

48三、傅里葉變換的性質(zhì)1、線性定理★證明：★如果★則★傅里葉變換形式

證畢！三、傅里葉變換的性質(zhì)1、線性定理★證明：★如果★則★傅里葉變49證明：2、導(dǎo)數(shù)定理證畢！★同理：

證明：2、導(dǎo)數(shù)定理證畢！★同理：50證明：★而3、積分定理

證畢！證明：★而3、積分定理51證明：4、相似定理

證畢！證明：4、相似定理525、延遲定理證明：

證畢！5、延遲定理證明：536、位移定理證明：

證畢！6、位移定理證明：547、卷積定理證明：★若★其中★稱為f1(x)與f2(x)

的卷積?！飫t

7、卷積定理證明：★若★其中★稱為f1(x)與f2(x)55★令

證畢！★令證畢56什么是卷積？★f(x)與g(x)

的卷積定義如下運(yùn)算：★參與卷積的函數(shù)f(x)與g(x)如圖（a）所示：★如果f(x)與g(x)

是時(shí)間的函數(shù)，則卷積的物理意義是：響應(yīng)函數(shù)

g(x)受激勵(lì)信號(hào)f(x)作用后，系統(tǒng)的總響應(yīng)效果；★卷積的幾何意義是：動(dòng)函數(shù)

g(x)與靜函數(shù)

f(x)乘積的積分；★卷積的代數(shù)意義是：函數(shù)g(x)翻轉(zhuǎn)和平移之后與靜函數(shù)

f(x)重疊的累積；

什么是卷積？★f(x)與g(x)的卷積定義如下運(yùn)算：57卷積的代數(shù)意義、物理意義和幾何意義

卷積的代數(shù)意義、物理意義和幾何意義58四、多重傅里葉積分★非周期函數(shù)f(x,y,z)展開為F(k1,k2,k3)★對稱寫法1、三元非周期函數(shù)傅里葉積分

四、多重傅里葉積分★非周期函數(shù)f(x,y,z)展592、多重傅里葉積分的簡潔和對稱形式★簡潔形式★對稱寫法

2、多重傅里葉積分的簡潔和對稱形式★簡潔形式★對稱寫法60§5.3函數(shù)一、函數(shù)的引入（1）考慮一維金屬線的質(zhì)量密度（2）若總質(zhì)量為1，而且集中在x=0處，則1、函數(shù)的實(shí)際例子★總質(zhì)量為1★總質(zhì)量集中在x=0

§5.3函數(shù)一、函數(shù)的引入（1）考慮一維金屬線612、函數(shù)的定義★更一般的形式★定義滿足以下關(guān)系的函數(shù)稱為函數(shù)，即

(x)函數(shù)(x-x0)函數(shù)2、函數(shù)的定義★更一般的形式★定義滿足以下關(guān)系的函數(shù)稱為62(1)若總質(zhì)量為m集中在x=a處，則質(zhì)量密度函數(shù)(3)

函數(shù)為廣義函數(shù),它沒有隨自變量改變而不斷改變的函數(shù)值。(2)電荷密度為q集中在x=a處，則電荷密度函數(shù)3、函數(shù)的應(yīng)用——物理意義

(x-a)函數(shù)(1)若總質(zhì)量為m集中在x=a處，則質(zhì)量密度函數(shù)(363二、函數(shù)的性質(zhì)1、函數(shù)的奇偶性★函數(shù)是偶函數(shù):★其導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù):證：

★再看定義證畢！二、函數(shù)的性質(zhì)1、函數(shù)的奇偶性★函數(shù)是偶函數(shù):★642、階躍函數(shù)是函數(shù)的原函數(shù)★因?yàn)椤锛?/p>

證畢！證明：階躍函數(shù)H(x)2、階躍函數(shù)是函數(shù)的原函數(shù)★因?yàn)椤锛?53、函數(shù)的挑選性證明：★對于任意>0,有

3、函數(shù)的挑選性證明：★對于任意>0,有66★對于-<<,

0，有：

★所以，得★對于-<<,

有★同理，可以證明：證畢！★對于-<<,0，有：67★+d

時(shí)間間隔沖量：★瞬時(shí)力：

4、持續(xù)力的函數(shù)表示★注意函數(shù)的量綱！★持續(xù)力可以用函數(shù)表示為：持續(xù)力的沖量圖★+d時(shí)間間隔沖量：★瞬時(shí)力：68★若f(x)為x0處連續(xù)的普通函數(shù)，則例：求證：

解：證畢！★若f(x)為x0處連續(xù)的普通函數(shù)，則例：求證：695、如(x)=0的實(shí)根

為xk為單根，則

證明：5、如(x)=0的實(shí)根

為xk為單根，則70證畢！

證畢！71三、函數(shù)是一種廣義函數(shù)1、函數(shù)是某些普通函數(shù)的極限★矩形脈沖表示法：★辛格函數(shù)：★抽樣函數(shù)：

三、函數(shù)是一種廣義函數(shù)1、函數(shù)是某些普通函數(shù)的極限★矩722、矩形函數(shù)是函數(shù)的證明★符合函數(shù)的積分定義！——證畢！P85另外兩個(gè)函數(shù)的證明方法類似。

矩形函數(shù)2、矩形函數(shù)是函數(shù)的證明★符合函數(shù)的積分定義！——證73四、函數(shù)的傅立葉變換1、函數(shù)的傅立葉變換★函數(shù)的傅立葉積分變換系數(shù)★函數(shù)的傅立葉積分

四、函數(shù)的傅立葉變換1、函數(shù)的傅立葉變換★函數(shù)的傅742、廣義的傅立葉變換

2、廣義的傅立葉變換75例1，求常數(shù)A的傅里葉變換解：

例1，求常數(shù)A的傅里葉變換解：76解：例2，計(jì)算三重的傅里葉變換

解：例2，計(jì)算三重的傅里葉變換77

78★因?yàn)椤飿?gòu)建函數(shù)例3、階躍函數(shù)的傅立葉變換解：★所以，其傅立葉變換不存在。

★因?yàn)椤飿?gòu)建函數(shù)例3、階躍函數(shù)的傅立葉變換解：★所以，其傅立79

80★其中，★而★所以，★又，

★其中，★而★所以，★又，81★記，★因此，我們可以得到階躍函數(shù)的傅立葉變換：

★記，★因此，我們可以得到階躍函數(shù)的傅立葉變換：82五、多維函數(shù)END-5本章練習(xí)（P73）4（4）；（P82）（4）；（P89）（1）；1、考慮三維空間的質(zhì)量密度2、三維空間δ函數(shù)的定義3、三維直角坐標(biāo)系δ函數(shù)的表式

五、多維函數(shù)END-5本章練習(xí)（P73）4（4）；（P8283謝謝！84謝謝！848585第五章傅里葉變換5.2傅里葉積分與付里葉變換5.3函數(shù)§5.1傅里葉級數(shù)第一篇復(fù)變函數(shù)論

第五章傅里葉變換5.2傅里葉積分與付里葉變換5.386第五章傅里葉變換§5.1傅里葉級數(shù)一、周期函數(shù)的傅里葉展開★設(shè)f(x)為周期為2l的函數(shù)將f(x)展開★考慮三角函數(shù)族為基本函數(shù)族1、周期函數(shù)族

2、函數(shù)f(x)的傅里葉展開第五章傅里葉變換§5.1傅里葉級數(shù)一、周期函數(shù)的傅里873、再談周期函數(shù)族的正交性

3、再談周期函數(shù)族的正交性88★驗(yàn)算一個(gè)！

★驗(yàn)算一個(gè)！894、利用三角函數(shù)族的正交性展開

f(x)，并且求f(x)的展開系數(shù)★即★由★得

4、利用三角函數(shù)族的正交性展開★即★由★得90

★由★得★結(jié)合合寫系數(shù)：★函數(shù)的傅氏級數(shù)為★由★得91★稱為周期函數(shù)的傅里葉系數(shù)！

★由★得★稱為周期函數(shù)的傅里葉系數(shù)！924、狄里希利定理：若f(x)滿足：(1)處處連續(xù)，或在每個(gè)周期有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；(2)或在每個(gè)周期有有限個(gè)極值點(diǎn)，則級數(shù)收斂，且(在連續(xù)點(diǎn)x)級數(shù)和=(在間斷點(diǎn)x)★狄里希利定理是傅里葉級數(shù)的收斂條件!

4、狄里希利定理：若f(x)滿足：(在連續(xù)點(diǎn)x)級數(shù)和93二、奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅里葉展開1、奇函數(shù)2、奇函數(shù)展開式只有正弦項(xiàng)★其系數(shù)為3、奇函數(shù)展開式（正弦項(xiàng)）的系數(shù)求法如下：

二、奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅里葉展開1、奇函數(shù)2、奇函數(shù)展開式只有943、奇函數(shù)展開式（正弦項(xiàng)）的系數(shù)求法如下:

（1）其偶次項(xiàng)的系數(shù)為零，計(jì)算如下：3、奇函數(shù)展開式（正弦項(xiàng)）95

96★最后得

（2）其奇次項(xiàng)的系數(shù)為零，計(jì)算如下：★最后得974、偶函數(shù)的傅里葉展開及其展開系數(shù)

★其奇次項(xiàng)的系數(shù)為零4、偶函數(shù)的傅里葉展開及其展開系數(shù)98★最后得

★最后得99例1，要求在（-，）上，f(x)=x2,

展開為Fourier級數(shù)，在本題展開所得中置x=0，由此驗(yàn)證:解：f(x)=x2，為偶函數(shù)；

例1，要求在（-，）上，f(x)=x2,解：f(100★

x=0

★x=0101三、定義在有限區(qū)間上的

函數(shù)的傅里葉展開★定義在有限區(qū)間上的函數(shù)，如在(0，l)上的f(x)，可以延拓其成為周期函數(shù)g(x)，使在(0，l)上有

g(x)

f(x)；然后對g(x)進(jìn)行傅里葉展開；★要根據(jù)具體情況進(jìn)行偶延拓，或奇延拓；★如果，奇延拓成奇周期函數(shù)；★如果，偶延拓成偶周期函數(shù)；1、任意函數(shù)的傅里葉展開方法2、偶延拓或奇延拓的使用原則

三、定義在有限區(qū)間上的

函數(shù)的傅里葉展開★定義在有限區(qū)間102例2，要求f(x)=cosax在它的定義區(qū)間的邊界上為零，而且要求在區(qū)間（0，）上進(jìn)行展開。解：★因?yàn)樵趨^(qū)間（0，）上為零，所以要將函數(shù)進(jìn)行奇延拓成奇周期函數(shù)，其展開式為★其展開系數(shù)為

例2，要求f(x)=cosax在它的定義區(qū)間的邊界解：★因103★其結(jié)果為

★其結(jié)果為104四、復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù)1、復(fù)數(shù)形式的基本正交函數(shù)族2、復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù)★形式★求系數(shù)

四、復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù)1、復(fù)數(shù)形式的基本正交函數(shù)族2、復(fù)數(shù)105§5.2傅里葉積分與

傅里葉變換一、實(shí)函數(shù)形式的傅里葉變換★設(shè)f(x)為定義在-<x<上的非周期函數(shù)；★將g(x)展開傅里葉級數(shù)：★將f(x)看為周期函數(shù)g(x)于周期

2l的極限；k=0,1，2，...1、傅里葉變換的含義

§5.2傅里葉積分與

傅里葉變換一、實(shí)函數(shù)形式的傅里葉106★求系數(shù)：★做代換k=0,1，2，...

★求系數(shù)：★做代換k=0,1，2，...107★將系數(shù)代入傅里葉級數(shù)得到l

★將系數(shù)代入傅里葉級數(shù)得到l1082、傅里葉變換的余弦項(xiàng)

2、傅里葉變換的余弦項(xiàng)109★同理，可以得到正弦項(xiàng)3、傅里葉變換的正弦項(xiàng)★其中，★其中，

★同理，可以得到正弦項(xiàng)3、傅里葉變換的正弦項(xiàng)★其中，★其中，110★稱為f(x)的傅里葉積分★稱為f(x)的傅里葉變換式

★稱為f1114、傅里葉積分定理若f(x)在區(qū)間（－∞，＋∞）上滿足條件：(1)f(x)在任一有限區(qū)間滿足狄里希利條件；(2)f(x)在（－∞，＋∞）上絕對可積分，則f(x)可表示為付里葉積分，而且傅里葉積分值=

4、傅里葉積分定理若f(x)在區(qū)間（－∞，＋∞）上滿112為振幅譜（功率譜）為相位譜（頻率譜）5、函數(shù)的振幅譜和頻率譜★將f(x)的傅里葉積分改寫為

為振幅譜（功率譜）為相位譜（頻率譜）5、函數(shù)的振幅譜和頻率譜113★對于偶函數(shù)，有傅里葉余弦積分★對稱寫法6、傅里葉余弦積分及其變換★余弦變換★余弦變換

★對于偶函數(shù)，有傅里葉余弦積分★對稱寫法6、傅里葉余弦積分及114★對于奇函數(shù)，傅里葉正弦積分★對稱寫法7、傅里葉正弦積分及其變換★正弦變換

★對于奇函數(shù)，傅里葉正弦積分★對稱寫法7、傅里葉正弦積分及其115例1：將如圖的單個(gè)rectx矩形脈沖展為傅里葉積分。解：o-TThf(t)t★偶函數(shù)，有傅里葉余弦積分★其傅里葉變換圖5-1矩形脈沖振幅譜

例1：將如圖的單個(gè)rectx矩形解：o-TThf(t)116★

A()與曲線稱為頻譜線，如圖5-2教材P76?！锲涓道锶~變換圖5-2矩形脈沖頻譜——傅里葉變換的頻譜

★A()與曲線稱為頻譜線，如圖5-2教材P76?！锲涓?17例2，求由2N個(gè)（N為整數(shù)）函數(shù)正弦波組成的有限正弦波列：解：的傅里葉積分★f(x)是奇函數(shù)，應(yīng)當(dāng)展開為正弦函數(shù)；★其傅里葉變換為

例2，求由2N個(gè)（N為整數(shù)）函數(shù)正弦波組成的有限正弦波列：118

119圖5-4有限正弦波列頻譜——傅里葉變換的頻譜

圖5-4有限正弦波列頻譜——傅里葉變換的頻譜120二、復(fù)函數(shù)形式的傅里葉變換1、復(fù)數(shù)形式傅里葉變換的導(dǎo)出

二、復(fù)函數(shù)形式的傅里葉變換1、復(fù)數(shù)形式傅里葉變換的導(dǎo)出121★第二個(gè)積分中，

換為-★得到

★第二個(gè)積分中，★得到122★考察傅立葉積分變換式

★考察傅立葉積分變換式123★無論、，都有

★無論、，都有124★對稱寫法★記為原函數(shù)像函數(shù)2、傅里葉變換的原函數(shù)和像函數(shù)

★對稱寫法★記為原函數(shù)像函數(shù)2、傅里葉變換的原函數(shù)和像函數(shù)125例3，求的矩形脈沖f(t)

=rect

(t/2T)

的復(fù)數(shù)形式的傅里葉變換解：o-/2/2hf(t)t

←與例1的結(jié)果相同！例3，求的矩形脈沖f(t)=rect(t/2T)126矩形脈沖振幅譜矩形脈沖頻譜

矩形脈沖振幅譜矩形脈沖頻譜127例4，求函數(shù)解：的傅里葉變換。

例4，求函數(shù)解：的傅里葉變換。128例5，求函數(shù)解：的傅氏變換。

例5，求函數(shù)解：的傅氏變換。129

130

131

132

133三、傅里葉變換的性質(zhì)1、線性定理★證明：★如果★則★傅里葉變換形式

證畢！三、傅里葉變換的性質(zhì)1、線性定理★證明：★如果★則★傅里葉變134證明：2、導(dǎo)數(shù)定理證畢！★同理：

證明：2、導(dǎo)數(shù)定理證畢！★同理：135證明：★而3、積分定理

證畢！證明：★而3、積分定理136證明：4、相似定理

證畢！證明：4、相似定理1375、延遲定理證明：

證畢！5、延遲定理證明：1386、位移定理證明：

證畢！6、位移定理證明：1397、卷積定理證明：★若★其中★稱為f1(x)與f2(x)

的卷積?！飫t

7、卷積定理證明：★若★其中★稱為f1(x)與f2(x)140★令

證畢！★令證畢141什么是卷積？★f(x)與g(x)

的卷積定義如下運(yùn)算：★參與卷積的函數(shù)f(x)與g(x)如圖（a）所示：★如果f(x)與g(x)

是時(shí)間的函數(shù)，則卷積的物理意義是：響應(yīng)函數(shù)

g(x)受激勵(lì)信號(hào)f(x)作用后，系統(tǒng)的總響應(yīng)效果；★卷積的幾何意義是：動(dòng)函數(shù)

g(x)與靜函數(shù)

f(x)乘積的積分；★卷積的代數(shù)意義是：函數(shù)g(x)翻轉(zhuǎn)和平移之后與靜函數(shù)

f(x)重疊的累積；

什么是卷積？★f(x)與g(x)的卷積定義如下運(yùn)算：142卷積的代數(shù)意義、物理意義和幾何意義

卷積的代數(shù)意義、物理意義和幾何意義143四、多重傅里葉積分★非周期函數(shù)f(x,y,z)展開為F(k1,k2,k3)★對稱寫法1、三元非周期函數(shù)傅里葉積分

四、多重傅里葉積分★非周期函數(shù)f(x,y,z)展1442、多重傅里葉積分的簡潔和對稱形式★簡潔形式★對稱寫法

2、多重傅里葉積分的簡潔和對稱形式★簡潔形式★對稱寫法145§5.3函數(shù)一、函數(shù)的引入（1）考慮一維金屬線的質(zhì)量密度（2）若總質(zhì)量為1，而且集中在x=0處，則1、函數(shù)的實(shí)際例子★總質(zhì)量為1★總質(zhì)量集中在x=0

§5.3函數(shù)一、函數(shù)的引入（1）考慮一維金屬線1462、函數(shù)的定義★更一般的形式★定義滿足以下關(guān)系的函數(shù)稱為函數(shù)，即

(x)函數(shù)(x-x0)函數(shù)2、函數(shù)的定義★更一般的形式★定義滿足以下關(guān)系的函數(shù)稱為147(1)若總質(zhì)量為m集中在x=a處，則質(zhì)量密度函數(shù)(3)

函數(shù)為廣義函數(shù),它沒有隨自變量改變而不斷改變的函數(shù)值。(2)電荷密度為q集中在x=a處，則電荷密度函數(shù)3、函數(shù)的應(yīng)用——物理意義

(x-a)函數(shù)(1)若總質(zhì)量為m集中在x=a處，則質(zhì)量密度函數(shù)(3148二、函數(shù)的性質(zhì)1、函數(shù)的奇偶性★函數(shù)是偶函數(shù):★其導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù):證：

★再看定義證畢！二、函數(shù)的性質(zhì)1、函數(shù)的奇偶性★函數(shù)是偶函數(shù):★1492、階躍函數(shù)是函數(shù)的原函數(shù)★因?yàn)椤锛?/p>

證畢！證明：階躍函數(shù)H(x)2、階躍函數(shù)是函數(shù)的原函數(shù)★因?yàn)椤锛?503、函數(shù)的挑選性證明：★對于任意