管理統(tǒng)計學 焦建玲 第05章 區(qū)間估計

第五章區(qū)間估計第五章區(qū)間估計引例

CJW公司是一家專門經(jīng)營體育設備和器材的郵購公司。公司為了向顧客提供盡可能好的服務，為了跟蹤服務質(zhì)量，每月選取顧客的郵購訂單組成簡單隨機樣本，公司與樣本中每位顧客取得聯(lián)系并詢求顧客關于服務水平等一系列問題的評價。顧客的回答用于計算顧客的滿意得分，得分值從0（最差等級）到100（最好等級），然后計算樣本滿意得分的均值，并作為CJW所有顧客總體滿意得分的點估計。第五章區(qū)間估計引例

以往各月的調(diào)查顯示，雖然每個月顧客滿意得分的樣本均值都在改變，但是滿意得分的樣本標準差趨于穩(wěn)定在20附近，假定總體標準差為20。最近一次CJW對顧客滿意程度調(diào)查提供了100名顧客的滿意得分數(shù)據(jù)(n=100)，滿意得分的樣本均值=82。第五章區(qū)間估計引例

總體顧客滿意得分一定正好就是82嗎？還是在一個范圍內(nèi)波動？這個范圍又是多少？點估計可以得到總體顧客滿意平均得分為82。第五章區(qū)間估計5.1總體均值的區(qū)間估計5.1.1區(qū)間估計的概念用一個區(qū)間范圍估計總體未知參數(shù)的方法第五章區(qū)間估計5.1總體均值的區(qū)間估計5.1.2置信區(qū)間【例5-1】假定某所大學男生的平均身高未知，標準差等于10.2cm，從該總體中隨機抽取n=100個男生組成一個樣本，那么樣本均值與總體均值之間的距離小于2的可能性是多少？第五章區(qū)間估計5.1總體均值的區(qū)間估計5.1.2置信區(qū)間【例5-1】解：根據(jù)抽樣分布理論，服從的正態(tài)分布，即分布。因而,第五章區(qū)間估計5.1總體均值的區(qū)間估計5.1.2置信區(qū)間【例5-1】解：查表得：上式表明，總體均值落在樣本均值厘米以內(nèi)的可能性為95%，這里的95%稱為區(qū)間估計的置信度或置信水平，一般用表示，區(qū)間稱為置信度為的置信區(qū)間。第五章區(qū)間估計5.1總體均值的區(qū)間估計5.1.2置信區(qū)間根據(jù)【例5-1】可知思考那么，對于一次抽樣是否可以說總體均值落在區(qū)間的概率是95%？第五章區(qū)間估計5.1總體均值的區(qū)間估計5.1.2置信區(qū)間

思考

以【例5-1】為例，假定一個統(tǒng)計學家通過抽取n=100的隨機樣本均值構(gòu)造置信度為95%的置信區(qū)間。他反復抽取多次，比如50次，每次抽取100人的簡單隨機樣本。由于的隨機性，每次得到的置信區(qū)間的結(jié)果是不一樣的，如圖5-1所示。第五章區(qū)間估計5.1總體均值的區(qū)間估計5.1.2置信區(qū)間167169171第一個區(qū)間第二個區(qū)間第三個區(qū)間第四個區(qū)間思考圖5-1第五章區(qū)間估計5.1總體均值的區(qū)間估計5.1.2置信區(qū)間

95%的含義是指，構(gòu)造50個區(qū)間估計，其中95%覆蓋了目標均值。

思考第五章區(qū)間估計5.1總體均值的區(qū)間估計5.1.3總體均值的區(qū)間估計

1.總體標準差已知解：設置信區(qū)間為，那么根據(jù)可知，服從標準正態(tài)分布第五章區(qū)間估計5.1總體均值的區(qū)間估計5.1.3總體均值的區(qū)間估計

1.總體標準差已知解：置信區(qū)間為當抽樣是無放回的，且n/N>0.05時，總體均值的置信區(qū)間為：

（5-1）第五章區(qū)間估計5.1總體均值的區(qū)間估計5.1.3總體均值的區(qū)間估計

1.總體標準差已知解：在無限總體中，即N趨近無窮，式5-1可簡化為：（5-2）第五章區(qū)間估計5.1總體均值的區(qū)間估計5.1.3總體均值的區(qū)間估計2.總體標準差未知解：設置信區(qū)間為，那么：其中，服從自由度為n-1的t分布。第五章區(qū)間估計5.1總體均值的區(qū)間估計5.1.3總體均值的區(qū)間估計2.總體標準差未知解：根據(jù)服從自由度為n-1的t分布，得到：置信度為的置信區(qū)間為：（5-3）第五章區(qū)間估計5.2兩個總體均值之差的區(qū)間估計5.2.1獨立樣本兩個樣本從兩個總體中獨立抽取兩個樣本中的元素互相獨立第五章區(qū)間估計5.2兩個總體均值之差的區(qū)間估計5.2.1獨立樣本1.大樣本情況下的兩個總體均值之差的估計問題大樣本是指兩個樣本容量滿足。此時，第五章區(qū)間估計5.2兩個總體均值之差的區(qū)間估計5.2.1獨立樣本1.大樣本情況下的兩個總體均值之差的估計問題兩個總體的方差都已知，兩個總體均值之差在置信水平下的置信區(qū)間為：（5-4）第五章區(qū)間估計5.2兩個總體均值之差的區(qū)間估計5.2.1獨立樣本1.大樣本情況下的兩個總體均值之差的估計問題兩個總體的方差都未知，兩個總體均值之差在置信水平下的置信區(qū)間為：（5-5）第五章區(qū)間估計5.2兩個總體均值之差的區(qū)間估計5.2.1獨立樣本1.大樣本情況下的兩個總體均值之差的估計問題【例5-2】某百貨公司在××市經(jīng)營兩個商城，一個位于市區(qū)，一個位于郊區(qū)。該地區(qū)經(jīng)理發(fā)現(xiàn)在一個商城暢銷的商品在另一個商城賣的不一定好。經(jīng)理認為這可能歸因于這兩個地區(qū)人群的差異。顧客可能在年齡、受教育程度、收入等諸方面有差異。第五章區(qū)間估計5.2兩個總體均值之差的區(qū)間估計5.2.1獨立樣本1.大樣本情況下的兩個總體均值之差的估計問題【例5-2】假定通過抽樣，取得如下的顧客平均年齡數(shù)據(jù)資料，試求這兩個商城顧客的平均年齡的差異。第五章區(qū)間估計5.2兩個總體均值之差的區(qū)間估計5.2.1獨立樣本1.大樣本情況下的兩個總體均值之差的估計問題【例5-2】解：因為樣本容量都大于30，因此可看作大樣本，總體均值之差近似服從正態(tài)分布。因此，在置信水平下的置信區(qū)間為：第五章區(qū)間估計5.2兩個總體均值之差的區(qū)間估計5.2.1獨立樣本1.大樣本情況下的兩個總體均值之差的估計問題【例5-2】解：代入數(shù)值可知的區(qū)間估計為即市區(qū)的顧客平均年齡與郊區(qū)的差距大約在3.68和6.32歲之間。第五章區(qū)間估計5.2兩個總體均值之差的區(qū)間估計5.2.1獨立樣本2.小樣本情況下的兩個總體均值之差的估計問題假設：兩個總體都服從正態(tài)分布兩個隨機樣本分別獨立的抽自兩個總體那么，無論樣本容量大小，兩個樣本均值之差均服從正態(tài)分布。第五章區(qū)間估計5.2兩個總體均值之差的區(qū)間估計5.2.1獨立樣本2.小樣本情況下的兩個總體均值之差的估計問題兩個總體的方差都已知。兩個總體均值在置信度下的置信區(qū)間為：第五章區(qū)間估計5.2兩個總體均值之差的區(qū)間估計5.2.1獨立樣本2.小樣本情況下的兩個總體均值之差的估計問題兩個總體的方差都未知但相等。此時，兩樣本均值之差經(jīng)標準化后服從自由度為n1+n2-2的t分布第五章區(qū)間估計5.2兩個總體均值之差的區(qū)間估計5.2.1獨立樣本2.小樣本情況下的兩個總體均值之差的估計問題兩個總體的方差都未知但相等。在置信度下，的置信區(qū)間為：

（5-6）第五章區(qū)間估計5.2兩個總體均值之差的區(qū)間估計5.2.1獨立樣本2.小樣本情況下的兩個總體均值之差的估計問題兩個總體的方差都未知但相等。其中，第五章區(qū)間估計5.2兩個總體均值之差的區(qū)間估計5.2.1獨立樣本2.小樣本情況下的兩個總體均值之差的估計問題【例5-3】為對比某城市2010年A，B兩個地區(qū)二手房平均價格的差異，某房地產(chǎn)中介公司分別從兩個地區(qū)的營業(yè)部各抽取8個交易，得到如下資料：表5-2交易價格資料地區(qū)交易價格A75.2626486.87265.558103.5B45.53158.17250.2514996第五章區(qū)間估計5.2兩個總體均值之差的區(qū)間估計5.2.1獨立樣本2.小樣本情況下的兩個總體均值之差的估計問題【例5-3】假定兩個地區(qū)的二手房交易價格數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，且方差相等，試以95%的置信水平估計這兩個地區(qū)二手房平均價格差值的置信區(qū)間。第五章區(qū)間估計5.2兩個總體均值之差的區(qū)間估計5.2.1獨立樣本2.小樣本情況下的兩個總體均值之差的估計問題解：由題計算可得：第五章區(qū)間估計5.2兩個總體均值之差的區(qū)間估計5.2.1獨立樣本2.小樣本情況下的兩個總體均值之差的估計問題解：查t分布表可得：由式（5-6）可知差值的置信區(qū)間為（-2.041,35.591）第五章區(qū)間估計5.2兩個總體均值之差的區(qū)間估計5.2.1獨立樣本2.小樣本情況下的兩個總體均值之差的估計問題結(jié)果表明：有95%的把握認為，總體平均交易價格差異介于-2.041萬到35.591萬元之間。由于本例的置信區(qū)間包含了0，說明我們沒有足夠理由認為這兩個地區(qū)二手房平均價格存在顯著差異。第五章區(qū)間估計5.2兩個總體均值之差的區(qū)間估計5.2.1獨立樣本2.小樣本情況下的兩個總體均值之差的估計問題兩個總體的方差未知且不相等時，如果兩個總體的樣本容量相等，且都服從正態(tài)分布時，即n1=n2=n。則置信度為的置信區(qū)間為：（5-7）第五章區(qū)間估計5.2兩個總體均值之差的區(qū)間估計5.2.1獨立樣本2.小樣本情況下的兩個總體均值之差的估計問題兩個總體的方差未知且不相等時，如果兩個總體都服從正態(tài)分布，但樣本容量不等時，即n1≠n2。則置信度為的置信區(qū)間為：

（5-8）第五章區(qū)間估計5.2兩個總體均值之差的區(qū)間估計5.2.2配對樣本配對樣本是指一個樣本中的數(shù)據(jù)與另一個樣本中的數(shù)據(jù)相對應。例：某制造公司有兩種方法供員工執(zhí)行某生產(chǎn)任務。為了使產(chǎn)出最大化，公司試圖確認哪種方法的完成時間最短。即，兩種方法的平均完成時間差值的置信區(qū)間如何？第五章區(qū)間估計5.2兩個總體均值之差的區(qū)間估計5.2.2配對樣本以表示生產(chǎn)方法1的平均完成時間，以表示生產(chǎn)方法2的平均完成時間現(xiàn)抽取工人的一個隨機樣本，其中每個工人先用第一種方法，后用第二種方法，這樣每個工人就有一對數(shù)據(jù)。那么這樣的一個隨機樣本就稱為配對樣本。如下表所示：第五章區(qū)間估計5.2兩個總體均值之差的區(qū)間估計5.2.2配對樣本工人方法1的完成時間方法2的完成時間完成時間的差值165.40.6255.2-0.2376.50.546.25.90.3566066.45.80.6表5-3工人生產(chǎn)配對樣本第五章區(qū)間估計5.2兩個總體均值之差的區(qū)間估計5.2.2配對樣本解：在小樣本情形下，假設兩總體服從正態(tài)分布，差值也服從正態(tài)分布。用表示各個差值，表示差值的平均值，表示差值的標準差。則，兩個總體均值在置信度下的置信區(qū)間為:代數(shù)數(shù)值得置信區(qū)間為：（-0.05,0.65）

第五章區(qū)間估計5.3總體比例的區(qū)間估計5.3.1單一總體比例的區(qū)間估計當樣本容量很大，且滿足，時，樣本比例的抽樣分布近似正態(tài)分布。樣本比例p的數(shù)學期望等于總體比例，且，第五章區(qū)間估計5.3總體比例的區(qū)間估計5.3.1單一總體比例的區(qū)間估計那么，總體比例在置信度下的置信區(qū)間為：（5-9）一般用樣本比例p估計總體比例，即置信區(qū)間可寫為：

（5-10）第五章區(qū)間估計5.3總體比例的區(qū)間估計5.3.1單一總體比例的區(qū)間估計【例5-4】一項民意測驗就美國國內(nèi)事務是否良好問題，詢問了814名成年人的看法，其中562人認為良好。求成年人總體中認為美國目前狀況良好的人數(shù)所占比例的置信度為95%的置信區(qū)間。第五章區(qū)間估計5.3總體比例的區(qū)間估計5.3.1單一總體比例的區(qū)間估計解：已知n=814，由，查表得到

代入公式（5-10）可得置信區(qū)間：（65.87%，72.21%）。【例5-4】第五章區(qū)間估計5.3總體比例的區(qū)間估計5.3.2兩個總體比例之差的區(qū)間估計當兩個樣本容量足夠大時，從兩個二項分布總體中抽出兩個獨立的樣本，則兩個樣本比例之差的抽樣分布服從正態(tài)分布；標準化后變量服從標準正態(tài)分布。由此第五章區(qū)間估計5.3總體比例的區(qū)間估計5.3.2兩個總體比例之差的區(qū)間估計用樣本比例分別代替總體比例，可以得到兩個總體比例之差在置信度下的置信區(qū)間為：（5-11）第五章區(qū)間估計5.3總體比例的區(qū)間估計5.3.2兩個總體比例之差的區(qū)間估計【例5-5】在某個電視節(jié)目的收視率調(diào)查中，農(nóng)村隨機調(diào)查了400人，有32%的人收看了該節(jié)目；城市隨機調(diào)查了500人，有45%的人收看了該節(jié)目。試以90%的置信水平估計城市與農(nóng)村收視率之差的置信區(qū)間。第五章區(qū)間估計5.3總體比例的區(qū)間估計5.3.2兩個總體比例之差的區(qū)間估計解：已知n1=500，n2=400，p1=45%，p2=32%，1-α=95%，zα/2=1.961-2置信度為95%的置信區(qū)間為：說明城市與農(nóng)村收視率之差的95%置信區(qū)間為(6.68%,19.32%)。第五章區(qū)間估計5.4總體方差的區(qū)間估計【例5-6】某企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機抽取25袋，測得每袋重量如表5-4所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布。以95%的置信水平建立該種食品重量方差的置信區(qū)間。第五章區(qū)間估計5.4總體方差的區(qū)間估計25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3表5-4袋裝食品資料表【例5-6】第五章區(qū)間估計5.4總體方差的區(qū)間估計解：已知n＝25，1-α=95%根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得：s2=93.21查表得：將數(shù)值代入式（5-12）得，置信度為95%的置信區(qū)間為：（56.83,180.39）?！纠?-6】第五章區(qū)間估計5.5樣本容量的確定再，通過抽樣允許的誤差范圍計算公式推算所需的樣本容量。樣本容量的確定方法首先，確定估計的置信度和允許的抽樣誤差范圍然后，結(jié)合經(jīng)驗值或抽樣數(shù)據(jù)估計總體的方差第五章區(qū)間估計5.5樣本容量的確定假定E是在一定置信水平下允許的誤差范圍，那么：從而推導出：5.5.1總體均值區(qū)間估計時樣本容量的確定一般用樣本方差s2作為其估計值第五章區(qū)間估計5.5樣本容量的確定【例5-7】擁有工商管理學位的大學畢業(yè)生每年年薪的標準差大約為2000元。假定希望得到每年平均年薪95%的置信區(qū)間，在允許誤差為500元時，樣本容量應為多大？5.5.1總體均值區(qū)間估計時樣本容量的確定第五章區(qū)間估計5.5樣本容量的確定解：已知查表得根據(jù)公式5-13，得需要的樣本容量：5.5.1總體均值區(qū)間估計時樣本容量的確定61.4656由于人數(shù)不能為分數(shù)，所以至少要抽取容量為62的樣本?！纠?-7