剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和轉(zhuǎn)動(dòng)定理課件

第七章剛體力學(xué)（Chapter7Mechanicsofarigidbody）前言剛體運(yùn)動(dòng)的描述剛體的動(dòng)量和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量?轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)剛體的平衡自轉(zhuǎn)與旋進(jìn)第七章剛體力學(xué)前言1前言一、本章的基本內(nèi)容及研究思路前面幾章討論了質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，本章將討論具有一定形狀和大小的物體的運(yùn)動(dòng)。具有形狀和大小的實(shí)際物體的運(yùn)動(dòng)一般是較復(fù)雜的，它可以平移、轉(zhuǎn)動(dòng)，還可能發(fā)生形變。為了使問題簡(jiǎn)化，一般假定物體無論受多大外力或轉(zhuǎn)動(dòng)得多快都不變形，并稱這樣的物體為剛體。剛體是力學(xué)中關(guān)于研究對(duì)象的另一個(gè)理想模型。本章的基本內(nèi)容是：剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)→剛體動(dòng)力學(xué)（剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)）→剛體靜力學(xué)（對(duì)剛體受力的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)這兩種效果予以分析，從而得出不使剛體的狀態(tài)產(chǎn)生變化的條件）→剛體三維運(yùn)動(dòng)。研究剛體力學(xué)時(shí)，設(shè)想將它分割成許多部分，每一部分都小到可看作質(zhì)點(diǎn)，叫作剛體的“質(zhì)元”，對(duì)于剛體，它的任意兩質(zhì)元之間的距離保持不變，因此，剛體就像是一個(gè)凍結(jié)的質(zhì)點(diǎn)系，由于每個(gè)質(zhì)元服從質(zhì)點(diǎn)力學(xué)規(guī)律，由此出發(fā)，就能推演出剛體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。前言2這是剛體力學(xué)研究的基本方法。二、本章的基本要求理解描寫剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量（角坐標(biāo)、角位移、角速度和角加速度）并掌握角量與線量的關(guān)系；理解轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概念并會(huì)計(jì)算一些剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；掌握剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)規(guī)律；了解剛體平面平行運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)。三、本章的思考題及練習(xí)題思考題：教材251--252練習(xí)題：7.1.47.2.27.3.17.3.37.3.57.3.67.3.87.4.27.5.17.5.47.5.67.6.1這是剛體力學(xué)研究的基本方法。3§1剛體運(yùn)動(dòng)的描述

剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)的任務(wù)在于研究如何描述剛體運(yùn)動(dòng)但不涉及運(yùn)動(dòng)變化的原因，只有給出剛體上所有質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)狀況，才算完整描述了剛體的運(yùn)動(dòng)。一、剛體的平動(dòng)如果在運(yùn)動(dòng)中，剛體上任意兩質(zhì)元連線的空間方向始終保持不變，這種運(yùn)動(dòng)就稱為剛體的平動(dòng)。例如電梯的升降、活塞的往返等都是平動(dòng)。O§1剛體運(yùn)動(dòng)的描述O4由于i，j是任意兩個(gè)質(zhì)元，所以剛體上所有質(zhì)元均有相同的速度和加速度，各質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)軌跡的形狀也相同。這里很自然想到一個(gè)代表性的質(zhì)元——質(zhì)心。二、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)

如果剛體上各質(zhì)元都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)就稱為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，這直線稱為轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)軸固定于參考系的情況稱為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。例如機(jī)器上齒輪的運(yùn)動(dòng)，門窗等都是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。若轉(zhuǎn)軸上有一點(diǎn)靜止于參考系，而轉(zhuǎn)軸的方向在變動(dòng)，這種轉(zhuǎn)動(dòng)稱為定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。例如玩具陀螺的轉(zhuǎn)動(dòng)就屬于定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。分析表明：剛體的任何復(fù)雜運(yùn)動(dòng)總可以分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)（定軸轉(zhuǎn)動(dòng)或定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)）的疊加，例如車輪的滾動(dòng)。研究剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，通常取任一垂直于定軸的平面作為轉(zhuǎn)動(dòng)平面，如圖所示，通過分析，轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況搞清楚了，整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)情況就知道了。取任一質(zhì)點(diǎn)P，P在這一轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)繞O點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，用矢徑r與Ox軸間由于i，j是任意兩個(gè)質(zhì)元，所以剛體上所有質(zhì)元均有相同的5的夾角θ就能完全確定在空間的位置，θ稱為角坐標(biāo)，規(guī)定逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)的θ為正，順時(shí)針方向?yàn)樨?fù)。θ=θ（t）——?jiǎng)傮w繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。轉(zhuǎn)動(dòng)平面參考方向轉(zhuǎn)軸xzPrθO不同位置質(zhì)元在時(shí)間內(nèi)的角位移都相同，可見，描述的是整個(gè)剛體轉(zhuǎn)過的角度，故稱為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移。式中稱為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。面對(duì)z軸觀察，，剛體逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)；，剛體順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。的夾角θ就能完全確定在空間的位置，θ稱為角坐標(biāo)，規(guī)定逆時(shí)針6式中稱為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度。與的符號(hào)相同時(shí)，剛體作加速運(yùn)動(dòng)；反之，轉(zhuǎn)速減小，作減速運(yùn)動(dòng)。注：對(duì)軸外所有各質(zhì)點(diǎn)在同一時(shí)間間隔內(nèi)走過的弧長雖不同，但角位移，角速度、角加速度（角量）都相同，但各質(zhì)點(diǎn)的位移、速度、加速度（線量）各不相同。由轉(zhuǎn)動(dòng)平面圖很容易得到線量與角量的關(guān)系。可見，角量充分地描述了剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)。三、角速度矢量對(duì)于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，只有“正”“反”兩種轉(zhuǎn)動(dòng)方向，通過的正負(fù)即可指明。但是當(dāng)剛體并非作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其轉(zhuǎn)軸的方位是可能變動(dòng)的。這里為了既描述轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢又能說明轉(zhuǎn)軸的方位，可以統(tǒng)一地用角速度矢量來描述。的大小是，式中稱為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度。與7的方向則由右手螺旋法則確定。角速度矢量的概念不僅適用于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，也適用于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)下，可利用將剛體上任一質(zhì)點(diǎn)P的速度表示為。原點(diǎn)不在圓心的情況圓周運(yùn)動(dòng)中與的關(guān)系作為角速度對(duì)時(shí)間的變化率，角加速度也是矢量：的方向則由右手螺旋法則確定。角速度矢量的概念不僅8角速度和角加速度在直角坐標(biāo)系的正交分解式為其中剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，可令z軸與轉(zhuǎn)軸重合，則，故。前文定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中講到的和正是這里的與，它們分別是角速度矢量和角加速度矢量在轉(zhuǎn)軸（即z軸）上的投影。今后為明確起見，凡涉及角速度投影，均附以角標(biāo)。四、剛體的平面運(yùn)動(dòng)

剛體上各點(diǎn)均在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且這些平面均與一固定平面平行，稱作剛體作平面運(yùn)動(dòng)，其特點(diǎn)是，剛體內(nèi)垂直于固定平面的直線上的各點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)狀況都相同。根據(jù)此特點(diǎn)，可利用與角速度和角加速度在直角坐標(biāo)系的正交分解式為其中剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)9固定平面平行的平面在剛體內(nèi)截出一平面圖形。此平面圖形的位置一經(jīng)確定，剛體的位置便確定了。今后說到“剛體”的時(shí)候，其實(shí)指的就是剖面。在平面平行運(yùn)動(dòng)中，剛體內(nèi)各點(diǎn)的位移、速度和加速度是各不相同的，因此根本談不上什么剛體的位移、速度和加速度。應(yīng)當(dāng)將“剛體的運(yùn)動(dòng)”與“剛體內(nèi)各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)”區(qū)分開來。建立坐標(biāo)系O-xyz，使平面圖形在Oxy面內(nèi)，如圖所示，z軸與紙面垂直，在平面上任選一點(diǎn)B，稱作基點(diǎn)，其位置矢量為還不足以確定剛體位置，因平面圖形還可繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。建立以基點(diǎn)B為原點(diǎn)，坐標(biāo)軸與O-xyz系各相應(yīng)軸保持平行的坐標(biāo)系。若能指出平面圖形繞B點(diǎn)或剛體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角坐標(biāo)，即圖中任意點(diǎn)A的位置矢量與軸的夾角，剛體位置便可固定平面平行的平面在剛體內(nèi)截出一平面圖形。此平面圖形的位置一10唯一確定?？傊瑸槊枋銎矫孢\(yùn)動(dòng)，必須給出即需要三個(gè)標(biāo)量函數(shù)才能描述剛體的平面運(yùn)動(dòng)，與反映任意選定的基點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，刻劃剛體繞通過基點(diǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，基點(diǎn)的選擇是任意的?，F(xiàn)在來研究剛體位置的改變。在時(shí)刻t，剛體的位置為ABC；過了一些時(shí)間，到了時(shí)刻，剛體的位置變?yōu)?。剛體位置的改變可以這樣來描述：剛體先隨基點(diǎn)A平動(dòng)，位移為，再繞基點(diǎn)A轉(zhuǎn)一定的角度。唯一確定?？傊?，為描述平面運(yùn)動(dòng)，必須給出即需要三個(gè)標(biāo)量函數(shù)才11既然基點(diǎn)的選取是任意的，我們完全可以選取另一點(diǎn)，例如C，作為基點(diǎn)。剛體隨C點(diǎn)平動(dòng)，再繞C點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體隨C點(diǎn)平動(dòng)的位移不同于它隨A點(diǎn)平動(dòng)的位移，剛體繞C轉(zhuǎn)動(dòng)的角度則同于剛體繞A轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。就圖而言，不論取A點(diǎn)或取C點(diǎn)為基點(diǎn)，剛體都是逆時(shí)針轉(zhuǎn)90°。這是毫不奇怪的，不論隨A點(diǎn)平動(dòng)或隨C點(diǎn)平動(dòng)，剛體都保持著原來的方位，將它從這種方位轉(zhuǎn)到新的方位所需要轉(zhuǎn)過的角度自然是一定的。令，剛體在一瞬刻的運(yùn)動(dòng)情況可以這樣來描述：剛體隨著基點(diǎn)A以速度平動(dòng)（即基點(diǎn)A的速度），并以角速ω繞基點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)，平動(dòng)的速度即基點(diǎn)的速度，與基點(diǎn)的選取有關(guān)，轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω則與基點(diǎn)的選取無關(guān)?；谝陨险撌觯蓪傮w平面運(yùn)動(dòng)視為隨基點(diǎn)的平動(dòng)與繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)的合成，事實(shí)上，平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)是同時(shí)進(jìn)行的。下面討論作平面運(yùn)動(dòng)的剛體上任一點(diǎn)的速度，以A點(diǎn)為例：既然基點(diǎn)的選取是任意的，我們完全可以選取另一點(diǎn)，例如C，作為12此即作平面運(yùn)動(dòng)的剛體上任一點(diǎn)的速度公式。在每一瞬時(shí)，剛體中總有這么一點(diǎn)，其即時(shí)速度為零。既然基點(diǎn)的選取是任意的，我們當(dāng)然可以選速度為零的這一點(diǎn)C為基點(diǎn)，此時(shí)剛體的運(yùn)動(dòng)情況的描述頗為簡(jiǎn)便，其它各點(diǎn)只是簡(jiǎn)單繞這基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。C點(diǎn)稱為瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心，通過C點(diǎn)而垂直于所研究剖面的直線稱為瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線。怎樣尋找瞬心？1、只要知道剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)的瞬時(shí)速度的方向，即可找到瞬心；2、有些情況，一眼就可看出。例如行駛中的輪輪，若不滑動(dòng)，則輪的著地點(diǎn)的即時(shí)速度為零（如果不為零，則著地點(diǎn)必相對(duì)于地面滑動(dòng)）。在每一瞬時(shí)，輪都是繞著其著地點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。輪心的速度為這就是滾動(dòng)著的物體不“打滑”的運(yùn)動(dòng)學(xué)判據(jù)。此即作平面運(yùn)動(dòng)的剛體上任一點(diǎn)的速度公式。13轉(zhuǎn)動(dòng)中心也可能在剛體的外面，可這樣理解：這個(gè)在剛體外面的瞬心好象剛性地聯(lián)結(jié)于剛體，而剛體則瞬時(shí)地繞它轉(zhuǎn)動(dòng)。

§2剛體的動(dòng)量和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

動(dòng)量是物理學(xué)中重要的守恒量，現(xiàn)將它運(yùn)用于剛體。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量可表示為。剛體為不變質(zhì)點(diǎn)系，此二式仍適用。但因剛體內(nèi)任意二質(zhì)點(diǎn)距離不變，故質(zhì)心相對(duì)于剛體的位置亦不變，對(duì)剛體說，用表示動(dòng)量更方便?，F(xiàn)在先研究剛體質(zhì)心，再討論有關(guān)動(dòng)量的規(guī)律。一、剛體的質(zhì)心

對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系，我們已經(jīng)知道其質(zhì)心坐標(biāo)為轉(zhuǎn)動(dòng)中心也可能在剛體的外面，可這樣理解：這個(gè)在剛體外面的瞬心14對(duì)于剛體當(dāng)然適用，一般而言，剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布的。積分遍及剛體體積V，分幾種情況：1、剛體具有對(duì)稱中心，質(zhì)心就是對(duì)稱中心；2、若剛體無對(duì)稱中心，但可以劃分為幾部分，而每一部分都有對(duì)稱中心，各部分的中心就是各部分的質(zhì)心，這些質(zhì)心形成為分立的質(zhì)點(diǎn)組，則剛體的質(zhì)心就歸結(jié)為這一質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心；3、前二個(gè)條件都不具備，這時(shí)就必須求積分，計(jì)算剛體的質(zhì)心。對(duì)于剛體當(dāng)然適用，一般而言，剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布的。積分遍及15[例題]在半徑為R的均質(zhì)等厚度的大圓板的一側(cè)挖掉半徑為R/2的小圓板，大小圓板相切，求余下部分的質(zhì)心。[解]建立如圖所示的坐標(biāo)系，考慮對(duì)稱性，余下部分質(zhì)心一定在x軸上，即按第2種情況考慮：整體=陰影+小圓，得Oxy[例題]半圓形均勻薄板（半徑為R），試求其質(zhì)心所在。xyyRO[解]建立如圖所示的坐標(biāo)系，由對(duì)稱性可知xc=0,yc=?將半圓劃分為許多平行于x軸的窄條，每一窄條中各點(diǎn)具有相同的y，陰影部分面積[例題]在半徑為R的均質(zhì)等厚度的大圓板的一側(cè)挖掉半徑16剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和轉(zhuǎn)動(dòng)定理課件17質(zhì)點(diǎn)組質(zhì)心的位置完全可以不與組內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的位置重合；剛體質(zhì)心的位置也就完全可以不與剛體內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的位置重合，換句話說：剛體的質(zhì)心完全可以在剛體之外?。ㄈ缬覉D所示）C1C2C由以上例子可看出，求質(zhì)心時(shí)需建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，令坐標(biāo)軸沿對(duì)稱軸且令原點(diǎn)位于其中某一部分質(zhì)心處往往帶來方便。二、剛體的動(dòng)量與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)點(diǎn)系所受外力矢量和為零，則動(dòng)量守恒。剛體受到的外力矢量和為零，動(dòng)量當(dāng)然也守恒，即p=mvc=恒矢量。將質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理用于剛體，亦有表示外力矢量和，ac為質(zhì)心加速度。質(zhì)點(diǎn)組質(zhì)心的位置完全可以不與組內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的位18§3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量?轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能

與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

一、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸上一點(diǎn)的角動(dòng)量

請(qǐng)大家現(xiàn)在閱讀教材201-203頁！動(dòng)量總沿速度方向，而上例表明，當(dāng)剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體的角動(dòng)量矢量并不一定沿角速度方向，它可能和角速度成某一角度。從這兩個(gè)最簡(jiǎn)單的例子推而廣之，不難想到質(zhì)量分布與幾何形狀有共同對(duì)稱軸的剛體，當(dāng)繞該對(duì)稱軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)剛體對(duì)軸上任一點(diǎn)的角動(dòng)量與角速度方向相同。但就一般情況，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸上一點(diǎn)的角動(dòng)量并不一定沿角速度的方向，而是與之成一定夾角?！?剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量?轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能

與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量19二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量整個(gè)剛體的動(dòng)能是所有各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能之和，即括號(hào)內(nèi)的量常用I來表示，叫做剛體對(duì)給定z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。通過上面討論還知道：二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量括號(hào)內(nèi)的量常用I來表示，叫20與平動(dòng)公式相比較，可知轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相當(dāng)于平動(dòng)時(shí)的質(zhì)量，是物體在轉(zhuǎn)動(dòng)中慣性大小的量度。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義式：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量決定于剛體各部分質(zhì)量距轉(zhuǎn)軸遠(yuǎn)近的分布情況。因此質(zhì)量大的剛體不一定有較大的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，另外，就一定的剛體來說，對(duì)不同轉(zhuǎn)軸，各質(zhì)元距軸的距離不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也可能不同，因此，一談到轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，必先明確是哪一個(gè)剛體對(duì)哪一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。下面舉幾個(gè)簡(jiǎn)單而又非常重要的例子。[例題]均勻細(xì)棒繞垂直于通過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。[解]任取一質(zhì)元xxdxl/2l/2O與平動(dòng)公式相比較，可知轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相當(dāng)于平動(dòng)時(shí)的質(zhì)量，是物體在轉(zhuǎn)21[例題]均勻薄圓環(huán)繞垂直于環(huán)面通過中心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。[解]由于所有質(zhì)元都離軸等遠(yuǎn)R[例題]均勻圓盤繞垂直盤面通過中心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。參考教材P204頁，求得此結(jié)論也適用于圓柱體。注意：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是可加的。即剛體對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于其各個(gè)部分對(duì)同一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的和。這一點(diǎn)可從定義式直接看出來。[例題]均勻薄圓環(huán)繞垂直于環(huán)面通過中心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量22例如，求空心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量=大圓柱轉(zhuǎn)動(dòng)慣量－小

圓柱轉(zhuǎn)動(dòng)慣量=

教材224頁表中結(jié)果要能推出并記?。∫陨侠又修D(zhuǎn)軸都是通過剛體質(zhì)心的對(duì)稱軸，若轉(zhuǎn)軸平移，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如何變化？下面兩個(gè)定理對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算往往很有幫助，特別是定理一。

[定理一]平行軸定理：設(shè)剛體繞通過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Ic，將軸朝任何方向平行移動(dòng)一個(gè)距離d，則繞此軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量ID為ID=Ic+md2[證]CDIcIDd例如，求空心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量=大圓柱轉(zhuǎn)動(dòng)慣量－小23[定理二]垂直軸定理：設(shè)剛性薄板平面為xy面，z軸與之垂直，則對(duì)于任何原點(diǎn)O繞三個(gè)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為[定理二]垂直軸定理：設(shè)剛性薄板平面為xy面，z軸與之24

應(yīng)用它很容易求出圓環(huán)或圓盤繞直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。提一個(gè)問題：通過剛體中的某個(gè)點(diǎn)，可以引很多軸線，怎樣求剛體對(duì)于通過某個(gè)點(diǎn)各根軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量？在理論力學(xué)中我們可以找到一個(gè)一般的公式——用到張量的概念。三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和轉(zhuǎn)動(dòng)定理根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)z軸的角動(dòng)量定理及

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸的角動(dòng)量定理：——用沖量矩表示的角動(dòng)量定理對(duì)一定軸線I為常量：應(yīng)用它很容易求出圓環(huán)或圓盤繞直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。25它表明：剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體對(duì)該轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積在數(shù)量上等于外力對(duì)此轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的合力矩——?jiǎng)傮w定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理。[例題]如圖所示的裝置叫做阿特伍德（Atwood）機(jī)，用一細(xì)繩跨過定滑輪，而在繩的兩端各懸質(zhì)量為m1和m2的物體，其中m1>m2，求它們的加速度及繩兩端的張力T1和T2，設(shè)繩不可伸長，質(zhì)量可忽略，它與滑輪之間無相對(duì)滑動(dòng)；滑輪的半徑為R，質(zhì)量為m，且分布均勻。[解]選取固定于地面的坐標(biāo)系，令x軸堅(jiān)直向上，取逆時(shí)針方向?yàn)檎霓D(zhuǎn)動(dòng)方向。列運(yùn)動(dòng)方程式：m1m2T1T2a1a2xmgN它表明：剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體對(duì)該轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加26由于繩子不可伸長且不打滑，因不計(jì)繩的質(zhì)量上述方程聯(lián)立求解可得：本題有利于理解“理想滑輪”的條件。由于繩子不可伸長且不打滑，上述方程聯(lián)立求解可得：本題有利于27[例題]如圖所示，一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射入一靜止懸于頂端長棒的下端，穿出后速度損失3/4，求子彈穿出后，棒的角速度，已知棒長為l，質(zhì)量為M.[解]以f代表棒對(duì)子彈的阻力，對(duì)于子彈有子彈對(duì)棒的反作用力對(duì)棒的沖量矩為[例題]如圖所示，一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射入28思考題（一）：

1、此題可否用子彈和棒的總角動(dòng)量守恒來作？2、子彈和棒的總動(dòng)量在水方向上是否守恒？3、若將桿換成軟繩系一質(zhì)量為M的重物，在水平方向上動(dòng)量是否守恒？4、機(jī)械能是否守恒？思考題（二）：

若剛體車輪在地面上不作純滾動(dòng)，試判斷輪與地面的滑動(dòng)摩擦力方向。設(shè)輪的半徑、角速度和質(zhì)心的速度分別為R思考題（一）：思考題（二）：R29§4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理

在某些問題中，應(yīng)用動(dòng)能定理及其在特殊情況下的表達(dá)式，即機(jī)械能守恒定律或功能原理，常使問題解決得簡(jiǎn)便迅速。為了闡述的方便，與教材順序不一樣。一、剛體的重力勢(shì)能當(dāng)把剛體和地球視作一系統(tǒng)時(shí)，則可考慮該系統(tǒng)的重力勢(shì)能或簡(jiǎn)稱剛體的重力勢(shì)能=各質(zhì)元重力勢(shì)能之和。——它決定于剛體質(zhì)量和其質(zhì)心距離勢(shì)能零點(diǎn)的高度，亦即，相當(dāng)于總質(zhì)量m集中在質(zhì)心C的高度yc上。§4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理——它決定于剛體質(zhì)量和其質(zhì)心距30二、剛體的動(dòng)能剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能等于剛體對(duì)此軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角

速度平方乘積之半。三、力矩的功設(shè)是作用在質(zhì)元上的外力，則在時(shí)間間隔內(nèi)，外力對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所作的元功為

由于功是用力矩和角位移表示，所以叫力矩的功，本質(zhì)上仍然是力作功，是在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)情況下力作功的表現(xiàn)形式。二、剛體的動(dòng)能由于功是用力矩和角位移表示，所31四、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理將質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理應(yīng)用于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，由于剛體內(nèi)力作功的代數(shù)和為零，即得剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量等于剛體所受外力矩做功的代數(shù)和，這就是剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理。[例題]長為l的均勻細(xì)桿，繞過其一端O并與桿垂直的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)桿從水平位置由靜止釋放，求當(dāng)桿與水平線成角時(shí)，桿的質(zhì)心的速度，設(shè)轉(zhuǎn)軸光滑。[解]解法一：應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理以桿為研究對(duì)象，它受到重力mg和轉(zhuǎn)軸的作用力N。由四、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量等32于轉(zhuǎn)軸光滑，N不作功，所以只有mg作功。當(dāng)桿從水平位置落至題設(shè)的位置時(shí)，重力作功為

mg

mgON在此期間，桿的動(dòng)能的增量由動(dòng)能定理質(zhì)心的速度為于轉(zhuǎn)軸光滑，N不作功，所以只有mg作功。當(dāng)桿從水平位置落33解法二：應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)械能守恒定律以桿和地球?yàn)橐幌到y(tǒng)。由于軸光滑，使作用于桿的外力N不作功，而地球和桿的相互作用力為保守內(nèi)力，所以桿的機(jī)械能守恒。選擇水平位置為桿的勢(shì)能零點(diǎn)，開始時(shí)至桿與水平線夾角為時(shí)所以解法二：應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)械能守恒定律至桿與水平線夾角為34[例題]如圖所示，一勻質(zhì)細(xì)棒可繞水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，已知棒長為l，質(zhì)量為m，開始時(shí)將棒置于水平狀態(tài)，然后由靜止擺下，求棒擺到豎直的瞬間：（1）棒的角速度；（2）棒的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能；（3）質(zhì)心的加速度（不計(jì)摩擦阻力）。cOcOFyFx[例題]如圖所示，一勻質(zhì)細(xì)棒可繞水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，已35[解]

（1）棒的角速度對(duì)轉(zhuǎn)軸O，細(xì)棒除受重力矩外不受其他外力矩（O軸上的反力通過軸），故細(xì)棒的機(jī)械能守恒。設(shè)細(xì)棒在水平位置時(shí)的重力勢(shì)能為勢(shì)能零點(diǎn)，則總機(jī)械能細(xì)棒擺到豎直位置時(shí)的角速度設(shè)為，則機(jī)械能[解]（1）棒的角速度細(xì)棒擺到豎直位置時(shí)的角速度設(shè)為36（2）棒的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能必須注意，在這里不能把棒的動(dòng)能寫成（3）質(zhì)心的加速度由線量和角量的關(guān)系可算出又因棒在豎直位置時(shí)的角加速度，故（2）棒的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能必須注意，在這里不能把棒的動(dòng)能寫成（3）質(zhì)37還可以由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律求出棒在豎直位置時(shí)，O軸對(duì)棒的反力Fx和Fy：思考題：利用剛體力學(xué)知識(shí)簡(jiǎn)要分析花樣滑冰、跳水運(yùn)動(dòng)過程還可以由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律求出棒在豎直位置時(shí)，O軸對(duì)棒的反力F38§5剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)

一、剛體平面運(yùn)動(dòng)的基本動(dòng)力學(xué)方程在運(yùn)動(dòng)學(xué)，可將剛體平面運(yùn)動(dòng)視作隨任意選定的基點(diǎn)的平動(dòng)和繞基點(diǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。討論動(dòng)力學(xué)問題時(shí)，這基點(diǎn)選在質(zhì)心上，以便應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量定理。在慣性系中建立直角坐標(biāo)系O-xyz，Oxy坐標(biāo)平面與討論剛體平面運(yùn)動(dòng)時(shí)提到的固定平面平行。又選擇剛體質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立質(zhì)心坐標(biāo)系，二坐標(biāo)系對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸始終兩兩平行。一般說來，質(zhì)心作變速運(yùn)動(dòng)，故質(zhì)心系為平動(dòng)的非慣性系。圖中，兩坐標(biāo)標(biāo)系的z和軸均與紙面垂直且指向讀者。首先，在O系中對(duì)剛體應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，（1）§5剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)（1）39

m為剛體的質(zhì)量。設(shè)作用于剛體的力均在Oxy坐標(biāo)面內(nèi)，得投影式再從C系研究剛體繞軸的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率。將它投影于軸，得將它應(yīng)用于剛體，剛體對(duì)軸角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率即和分別表示剛體對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角加速度。于是有即作用于剛體各力對(duì)質(zhì)心軸的合力矩等于剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體角加速度的乘積，這與慣性系中剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理有完全（2）（3）（4）OCm為剛體的質(zhì)量。設(shè)作用于剛體的力均在Oxy坐標(biāo)面內(nèi)，40相同的形式，叫作剛體對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理。（1）式給出了剛體隨質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)力學(xué)，（3）式描述剛體繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)。兩者合在一起稱剛體平面運(yùn)動(dòng)的基本動(dòng)力學(xué)方程。二、作用于剛體力的力（自學(xué)）產(chǎn)生兩種效果：使質(zhì)心作加速運(yùn)動(dòng)，使剛體產(chǎn)生角加速度。由此可判斷作用于剛體的力是滑移矢量。力偶和力偶矩。三、剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能按克尼希定理，質(zhì)點(diǎn)組的總動(dòng)能Ek等于相對(duì)于質(zhì)心系的動(dòng)

能，加上整體隨質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)能。相同的形式，叫作剛體對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理。41[例題]如圖所示，將一根質(zhì)量為m的長桿用細(xì)繩從兩端水平地掛起來，其中一根繩子突然斷了，另一根繩內(nèi)的張力是多少？[解]設(shè)桿長為2l，質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和角動(dòng)量定理給出繩斷的一剎那的運(yùn)動(dòng)方程：式中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。因在此

時(shí)刻懸繩未斷的一端加速度為0，從而在質(zhì)心的加速度和角加速度之間有[例題]如圖所示，將一根質(zhì)量為m的長桿用細(xì)繩從兩42如下關(guān)系：得繩中張力[例題]一質(zhì)量為m，長為l的勻質(zhì)細(xì)桿，鉛直地放置在光滑的水平地面上。當(dāng)桿自靜止倒下時(shí)，求地面對(duì)桿端的支撐力。[解]由機(jī)械能守恒知，當(dāng)桿與鉛直線成角時(shí)，由于沒有摩擦力，質(zhì)心C鉛直下落?？疾旒?xì)桿著地點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)。它的運(yùn)動(dòng)可看成一方面隨質(zhì)心以速度vc下CNmg如下關(guān)系：得繩中張力[例題]一質(zhì)量為m，長為l43降，另一方面又以線速度繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)。后者在鉛直方向上

的分量為，方向向上。實(shí)際上A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)限制在水平

面上，鉛直速度為0，即上述兩個(gè)鉛直速度應(yīng)相互抵消。故有降，另一方面又以線速度繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)。后者在鉛44A端受地面的支撐力為A端受地面的支撐力為45§6剛體的平衡（自學(xué)）§7自轉(zhuǎn)與旋進(jìn)（自學(xué)）

前面我們討論的是剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平面平行運(yùn)動(dòng)。而剛體繞定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)一般是非常復(fù)雜的，在這里我們只就典型例子作些簡(jiǎn)單的分析。由于現(xiàn)在并不是繞固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，我們應(yīng)當(dāng)用轉(zhuǎn)動(dòng)方程作為研究的起點(diǎn)，即一、常平架回轉(zhuǎn)儀（不受外力矩的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)）均質(zhì)剛體繞幾何對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，稱自轉(zhuǎn)或自旋，其角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于參考點(diǎn)O的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率等于各質(zhì)點(diǎn)所受外力對(duì)該點(diǎn)力矩的矢量和?！?剛體的平衡（自學(xué)）一、常平架回轉(zhuǎn)儀（不受外力矩的回46為。若絲毫不受外力矩作用，則角動(dòng)量守恒不僅表現(xiàn)為轉(zhuǎn)動(dòng)快慢不變，也表現(xiàn)為角速度方向不變。因角速度沿轉(zhuǎn)軸，故角動(dòng)量守恒也表現(xiàn)于轉(zhuǎn)軸不變方向。常平架回轉(zhuǎn)儀利用了這一道理。若先使飛輪高速旋轉(zhuǎn)，由角動(dòng)量守恒可知，飛輪將保持自轉(zhuǎn)軸的方向不變。即這時(shí)無論我們?cè)鯓尤ジ淖兛蚣艿姆较?，都不能使飛輪的轉(zhuǎn)軸在空間的取向發(fā)生變化，利用這一特性，可應(yīng)用在輪船，飛機(jī)或?qū)椛?，以回轉(zhuǎn)儀自轉(zhuǎn)軸線方向?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)，加上控制設(shè)備可以隨時(shí)糾正運(yùn)行方向可能發(fā)生的偏離。二、回轉(zhuǎn)儀的旋進(jìn)（受到外力矩作用所產(chǎn)生的效應(yīng)）

由一個(gè)厚而重、形狀對(duì)稱的剛體繞對(duì)稱軸高速自轉(zhuǎn)的裝置稱為回轉(zhuǎn)儀。玩具陀螺是一種簡(jiǎn)單的回轉(zhuǎn)儀，下面解釋為什么高速旋轉(zhuǎn)的陀螺能夠立而不倒(或產(chǎn)生進(jìn)動(dòng)的原因)？為。若絲毫不受外力矩作用，則角動(dòng)量守恒不僅表現(xiàn)47如圖所示的玩具陀螺，如果陀螺不繞自身對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)，則它將在其自重力對(duì)支點(diǎn)O的力矩作用下翻倒，但是當(dāng)陀螺以很高的轉(zhuǎn)速繞自身對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)（自轉(zhuǎn)或自旋）時(shí)，盡管陀螺仍然受重力矩的作用，陀螺卻不會(huì)翻倒，而是在自轉(zhuǎn)的同時(shí)，其自轉(zhuǎn)軸又繞通過定點(diǎn)O的豎直軸沿著虛線所示的錐面緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)。這種剛體繞自身對(duì)稱軸高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，其自轉(zhuǎn)軸繞另一豎直軸的緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)稱為旋進(jìn)（又稱進(jìn)動(dòng)）。下面利用角動(dòng)量定理對(duì)陀螺的進(jìn)動(dòng)作簡(jiǎn)單分析。設(shè)陀螺自轉(zhuǎn)角速度大小為，自轉(zhuǎn)軸的旋進(jìn)角速度大小為，陀螺對(duì)定點(diǎn)O的角動(dòng)量=自轉(zhuǎn)角動(dòng)量+進(jìn)動(dòng)角動(dòng)量。OmgCL式中Ic是陀螺相對(duì)于自轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，L與同方向，是沿如圖所示的玩具陀螺，如果陀螺不繞自身對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)，則它將在其自48自轉(zhuǎn)軸的，陀螺受到的重力矩為是質(zhì)心C相對(duì)定點(diǎn)O的位矢，方向垂直于、mg

組成的平面，顯然也垂直于角動(dòng)量L，對(duì)于定點(diǎn)O應(yīng)用可見在極短時(shí)間dt內(nèi)，角動(dòng)量增量也垂直于

L，這表明，在dt時(shí)間內(nèi)，重力矩未改變角動(dòng)量L的大小而只改變了L的方向，使L繞豎直軸轉(zhuǎn)過于角，由于與L時(shí)刻保持垂直，故L

方向不斷發(fā)生改變，以致迫使陀螺的自轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生繞豎直軸的進(jìn)動(dòng)。自轉(zhuǎn)軸的，49由上式可知，若陀螺自轉(zhuǎn)角速度保持不變，則旋進(jìn)角速度也應(yīng)保持不變。實(shí)際上由于各種摩擦阻力矩的作用，將使不斷減小，與此同時(shí)將逐漸增大，旋進(jìn)將變得不穩(wěn)定，最后會(huì)倒下來。教材228頁的杠桿陀螺儀，當(dāng)它的自轉(zhuǎn)軸正在進(jìn)動(dòng)的時(shí)侯，若我們加一水平力于杠桿之上，企圖加速它的進(jìn)動(dòng)，結(jié)果杠桿又出乎意料地向下偏轉(zhuǎn)。就這樣，給陀螺儀鉛直方向的力，結(jié)果它沿水平方向運(yùn)動(dòng)，而給水平方向的力，結(jié)果它沿鉛直方向運(yùn)動(dòng)。陀螺儀的這種“不聽話”的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，同樣可以利用角動(dòng)量和力矩的矢量性來說明。請(qǐng)同學(xué)們思考！由上式可知，若陀螺自轉(zhuǎn)角速度保持不變，則旋進(jìn)角速50高速旋轉(zhuǎn)的物體在外力矩作用下產(chǎn)生旋進(jìn)效應(yīng)（又稱回轉(zhuǎn)效應(yīng)）有著十分廣泛的應(yīng)用。三、章動(dòng)陀螺儀“不屈服”于重力的作用而傾倒，無論怎樣分析，總讓人感到有點(diǎn)不自在。實(shí)際上它也不是完全不屈服。如圖所示，如果先把一個(gè)快速旋轉(zhuǎn)的陀螺儀兩端都支撐起來，然后撤去一AO端（A點(diǎn)）的支持，首先出現(xiàn)的現(xiàn)象是這一端確實(shí)下沉。然而，此后就立刻在水平面內(nèi)進(jìn)動(dòng)了，與此同時(shí)下沉運(yùn)動(dòng)放慢，直到A點(diǎn)完全沿水平方向運(yùn)動(dòng)。但事情并不就此了結(jié)，緊接著出現(xiàn)的是進(jìn)動(dòng)放慢，A點(diǎn)重新高速旋轉(zhuǎn)的物體在外力矩作用下產(chǎn)生旋進(jìn)效應(yīng)51抬起，在理想的情況下可以達(dá)到它的初始高度。這樣的過程周而復(fù)始地繼續(xù)下去，端點(diǎn)A描繪出如圖中所示的擺線軌跡。陀螺的這種運(yùn)動(dòng)叫做章動(dòng)（nutation），拉丁語中是“點(diǎn)頭”的意思。地軸除進(jìn)動(dòng)外，也有章動(dòng)。地軸的章動(dòng)是英國天文學(xué)家布拉得雷（J.Bradley）于是1748年分析了20年的觀測(cè)資料后發(fā)現(xiàn)的。地軸章動(dòng)的周期為18.6年，近似地說，就是19年。在我國古代歷法中把19年稱為一“章”，這便是中譯名“章動(dòng)”的來源。抬起，在理想的情況下可以達(dá)到它的初始高度。這樣的過程周而復(fù)始52第七章剛體力學(xué)（Chapter7Mechanicsofarigidbody）前言剛體運(yùn)動(dòng)的描述剛體的動(dòng)量和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量?轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)剛體的平衡自轉(zhuǎn)與旋進(jìn)第七章剛體力學(xué)前言53前言一、本章的基本內(nèi)容及研究思路前面幾章討論了質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，本章將討論具有一定形狀和大小的物體的運(yùn)動(dòng)。具有形狀和大小的實(shí)際物體的運(yùn)動(dòng)一般是較復(fù)雜的，它可以平移、轉(zhuǎn)動(dòng)，還可能發(fā)生形變。為了使問題簡(jiǎn)化，一般假定物體無論受多大外力或轉(zhuǎn)動(dòng)得多快都不變形，并稱這樣的物體為剛體。剛體是力學(xué)中關(guān)于研究對(duì)象的另一個(gè)理想模型。本章的基本內(nèi)容是：剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)→剛體動(dòng)力學(xué)（剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)）→剛體靜力學(xué)（對(duì)剛體受力的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)這兩種效果予以分析，從而得出不使剛體的狀態(tài)產(chǎn)生變化的條件）→剛體三維運(yùn)動(dòng)。研究剛體力學(xué)時(shí)，設(shè)想將它分割成許多部分，每一部分都小到可看作質(zhì)點(diǎn)，叫作剛體的“質(zhì)元”，對(duì)于剛體，它的任意兩質(zhì)元之間的距離保持不變，因此，剛體就像是一個(gè)凍結(jié)的質(zhì)點(diǎn)系，由于每個(gè)質(zhì)元服從質(zhì)點(diǎn)力學(xué)規(guī)律，由此出發(fā)，就能推演出剛體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。前言54這是剛體力學(xué)研究的基本方法。二、本章的基本要求理解描寫剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量（角坐標(biāo)、角位移、角速度和角加速度）并掌握角量與線量的關(guān)系；理解轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概念并會(huì)計(jì)算一些剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；掌握剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)規(guī)律；了解剛體平面平行運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)。三、本章的思考題及練習(xí)題思考題：教材251--252練習(xí)題：7.1.47.2.27.3.17.3.37.3.57.3.67.3.87.4.27.5.17.5.47.5.67.6.1這是剛體力學(xué)研究的基本方法。55§1剛體運(yùn)動(dòng)的描述

剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)的任務(wù)在于研究如何描述剛體運(yùn)動(dòng)但不涉及運(yùn)動(dòng)變化的原因，只有給出剛體上所有質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)狀況，才算完整描述了剛體的運(yùn)動(dòng)。一、剛體的平動(dòng)如果在運(yùn)動(dòng)中，剛體上任意兩質(zhì)元連線的空間方向始終保持不變，這種運(yùn)動(dòng)就稱為剛體的平動(dòng)。例如電梯的升降、活塞的往返等都是平動(dòng)。O§1剛體運(yùn)動(dòng)的描述O56由于i，j是任意兩個(gè)質(zhì)元，所以剛體上所有質(zhì)元均有相同的速度和加速度，各質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)軌跡的形狀也相同。這里很自然想到一個(gè)代表性的質(zhì)元——質(zhì)心。二、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)

如果剛體上各質(zhì)元都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)就稱為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，這直線稱為轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)軸固定于參考系的情況稱為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。例如機(jī)器上齒輪的運(yùn)動(dòng)，門窗等都是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。若轉(zhuǎn)軸上有一點(diǎn)靜止于參考系，而轉(zhuǎn)軸的方向在變動(dòng)，這種轉(zhuǎn)動(dòng)稱為定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。例如玩具陀螺的轉(zhuǎn)動(dòng)就屬于定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。分析表明：剛體的任何復(fù)雜運(yùn)動(dòng)總可以分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)（定軸轉(zhuǎn)動(dòng)或定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)）的疊加，例如車輪的滾動(dòng)。研究剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，通常取任一垂直于定軸的平面作為轉(zhuǎn)動(dòng)平面，如圖所示，通過分析，轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況搞清楚了，整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)情況就知道了。取任一質(zhì)點(diǎn)P，P在這一轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)繞O點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，用矢徑r與Ox軸間由于i，j是任意兩個(gè)質(zhì)元，所以剛體上所有質(zhì)元均有相同的57的夾角θ就能完全確定在空間的位置，θ稱為角坐標(biāo)，規(guī)定逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)的θ為正，順時(shí)針方向?yàn)樨?fù)。θ=θ（t）——?jiǎng)傮w繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。轉(zhuǎn)動(dòng)平面參考方向轉(zhuǎn)軸xzPrθO不同位置質(zhì)元在時(shí)間內(nèi)的角位移都相同，可見，描述的是整個(gè)剛體轉(zhuǎn)過的角度，故稱為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移。式中稱為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。面對(duì)z軸觀察，，剛體逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)；，剛體順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。的夾角θ就能完全確定在空間的位置，θ稱為角坐標(biāo)，規(guī)定逆時(shí)針58式中稱為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度。與的符號(hào)相同時(shí)，剛體作加速運(yùn)動(dòng)；反之，轉(zhuǎn)速減小，作減速運(yùn)動(dòng)。注：對(duì)軸外所有各質(zhì)點(diǎn)在同一時(shí)間間隔內(nèi)走過的弧長雖不同，但角位移，角速度、角加速度（角量）都相同，但各質(zhì)點(diǎn)的位移、速度、加速度（線量）各不相同。由轉(zhuǎn)動(dòng)平面圖很容易得到線量與角量的關(guān)系。可見，角量充分地描述了剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)。三、角速度矢量對(duì)于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，只有“正”“反”兩種轉(zhuǎn)動(dòng)方向，通過的正負(fù)即可指明。但是當(dāng)剛體并非作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其轉(zhuǎn)軸的方位是可能變動(dòng)的。這里為了既描述轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢又能說明轉(zhuǎn)軸的方位，可以統(tǒng)一地用角速度矢量來描述。的大小是，式中稱為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度。與59的方向則由右手螺旋法則確定。角速度矢量的概念不僅適用于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，也適用于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)下，可利用將剛體上任一質(zhì)點(diǎn)P的速度表示為。原點(diǎn)不在圓心的情況圓周運(yùn)動(dòng)中與的關(guān)系作為角速度對(duì)時(shí)間的變化率，角加速度也是矢量：的方向則由右手螺旋法則確定。角速度矢量的概念不僅60角速度和角加速度在直角坐標(biāo)系的正交分解式為其中剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，可令z軸與轉(zhuǎn)軸重合，則，故。前文定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中講到的和正是這里的與，它們分別是角速度矢量和角加速度矢量在轉(zhuǎn)軸（即z軸）上的投影。今后為明確起見，凡涉及角速度投影，均附以角標(biāo)。四、剛體的平面運(yùn)動(dòng)

剛體上各點(diǎn)均在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且這些平面均與一固定平面平行，稱作剛體作平面運(yùn)動(dòng)，其特點(diǎn)是，剛體內(nèi)垂直于固定平面的直線上的各點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)狀況都相同。根據(jù)此特點(diǎn)，可利用與角速度和角加速度在直角坐標(biāo)系的正交分解式為其中剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)61固定平面平行的平面在剛體內(nèi)截出一平面圖形。此平面圖形的位置一經(jīng)確定，剛體的位置便確定了。今后說到“剛體”的時(shí)候，其實(shí)指的就是剖面。在平面平行運(yùn)動(dòng)中，剛體內(nèi)各點(diǎn)的位移、速度和加速度是各不相同的，因此根本談不上什么剛體的位移、速度和加速度。應(yīng)當(dāng)將“剛體的運(yùn)動(dòng)”與“剛體內(nèi)各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)”區(qū)分開來。建立坐標(biāo)系O-xyz，使平面圖形在Oxy面內(nèi)，如圖所示，z軸與紙面垂直，在平面上任選一點(diǎn)B，稱作基點(diǎn)，其位置矢量為還不足以確定剛體位置，因平面圖形還可繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。建立以基點(diǎn)B為原點(diǎn)，坐標(biāo)軸與O-xyz系各相應(yīng)軸保持平行的坐標(biāo)系。若能指出平面圖形繞B點(diǎn)或剛體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角坐標(biāo)，即圖中任意點(diǎn)A的位置矢量與軸的夾角，剛體位置便可固定平面平行的平面在剛體內(nèi)截出一平面圖形。此平面圖形的位置一62唯一確定?？傊?，為描述平面運(yùn)動(dòng)，必須給出即需要三個(gè)標(biāo)量函數(shù)才能描述剛體的平面運(yùn)動(dòng)，與反映任意選定的基點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，刻劃剛體繞通過基點(diǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，基點(diǎn)的選擇是任意的。現(xiàn)在來研究剛體位置的改變。在時(shí)刻t，剛體的位置為ABC；過了一些時(shí)間，到了時(shí)刻，剛體的位置變?yōu)?。剛體位置的改變可以這樣來描述：剛體先隨基點(diǎn)A平動(dòng)，位移為，再繞基點(diǎn)A轉(zhuǎn)一定的角度。唯一確定?？傊?，為描述平面運(yùn)動(dòng)，必須給出即需要三個(gè)標(biāo)量函數(shù)才63既然基點(diǎn)的選取是任意的，我們完全可以選取另一點(diǎn)，例如C，作為基點(diǎn)。剛體隨C點(diǎn)平動(dòng)，再繞C點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體隨C點(diǎn)平動(dòng)的位移不同于它隨A點(diǎn)平動(dòng)的位移，剛體繞C轉(zhuǎn)動(dòng)的角度則同于剛體繞A轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。就圖而言，不論取A點(diǎn)或取C點(diǎn)為基點(diǎn)，剛體都是逆時(shí)針轉(zhuǎn)90°。這是毫不奇怪的，不論隨A點(diǎn)平動(dòng)或隨C點(diǎn)平動(dòng)，剛體都保持著原來的方位，將它從這種方位轉(zhuǎn)到新的方位所需要轉(zhuǎn)過的角度自然是一定的。令，剛體在一瞬刻的運(yùn)動(dòng)情況可以這樣來描述：剛體隨著基點(diǎn)A以速度平動(dòng)（即基點(diǎn)A的速度），并以角速ω繞基點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)，平動(dòng)的速度即基點(diǎn)的速度，與基點(diǎn)的選取有關(guān)，轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω則與基點(diǎn)的選取無關(guān)?；谝陨险撌?，可將剛體平面運(yùn)動(dòng)視為隨基點(diǎn)的平動(dòng)與繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)的合成，事實(shí)上，平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)是同時(shí)進(jìn)行的。下面討論作平面運(yùn)動(dòng)的剛體上任一點(diǎn)的速度，以A點(diǎn)為例：既然基點(diǎn)的選取是任意的，我們完全可以選取另一點(diǎn)，例如C，作為64此即作平面運(yùn)動(dòng)的剛體上任一點(diǎn)的速度公式。在每一瞬時(shí)，剛體中總有這么一點(diǎn)，其即時(shí)速度為零。既然基點(diǎn)的選取是任意的，我們當(dāng)然可以選速度為零的這一點(diǎn)C為基點(diǎn)，此時(shí)剛體的運(yùn)動(dòng)情況的描述頗為簡(jiǎn)便，其它各點(diǎn)只是簡(jiǎn)單繞這基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。C點(diǎn)稱為瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心，通過C點(diǎn)而垂直于所研究剖面的直線稱為瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線。怎樣尋找瞬心？1、只要知道剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)的瞬時(shí)速度的方向，即可找到瞬心；2、有些情況，一眼就可看出。例如行駛中的輪輪，若不滑動(dòng)，則輪的著地點(diǎn)的即時(shí)速度為零（如果不為零，則著地點(diǎn)必相對(duì)于地面滑動(dòng)）。在每一瞬時(shí)，輪都是繞著其著地點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。輪心的速度為這就是滾動(dòng)著的物體不“打滑”的運(yùn)動(dòng)學(xué)判據(jù)。此即作平面運(yùn)動(dòng)的剛體上任一點(diǎn)的速度公式。65轉(zhuǎn)動(dòng)中心也可能在剛體的外面，可這樣理解：這個(gè)在剛體外面的瞬心好象剛性地聯(lián)結(jié)于剛體，而剛體則瞬時(shí)地繞它轉(zhuǎn)動(dòng)。

§2剛體的動(dòng)量和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

動(dòng)量是物理學(xué)中重要的守恒量，現(xiàn)將它運(yùn)用于剛體。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量可表示為。剛體為不變質(zhì)點(diǎn)系，此二式仍適用。但因剛體內(nèi)任意二質(zhì)點(diǎn)距離不變，故質(zhì)心相對(duì)于剛體的位置亦不變，對(duì)剛體說，用表示動(dòng)量更方便?，F(xiàn)在先研究剛體質(zhì)心，再討論有關(guān)動(dòng)量的規(guī)律。一、剛體的質(zhì)心

對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系，我們已經(jīng)知道其質(zhì)心坐標(biāo)為轉(zhuǎn)動(dòng)中心也可能在剛體的外面，可這樣理解：這個(gè)在剛體外面的瞬心66對(duì)于剛體當(dāng)然適用，一般而言，剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布的。積分遍及剛體體積V，分幾種情況：1、剛體具有對(duì)稱中心，質(zhì)心就是對(duì)稱中心；2、若剛體無對(duì)稱中心，但可以劃分為幾部分，而每一部分都有對(duì)稱中心，各部分的中心就是各部分的質(zhì)心，這些質(zhì)心形成為分立的質(zhì)點(diǎn)組，則剛體的質(zhì)心就歸結(jié)為這一質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心；3、前二個(gè)條件都不具備，這時(shí)就必須求積分，計(jì)算剛體的質(zhì)心。對(duì)于剛體當(dāng)然適用，一般而言，剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布的。積分遍及67[例題]在半徑為R的均質(zhì)等厚度的大圓板的一側(cè)挖掉半徑為R/2的小圓板，大小圓板相切，求余下部分的質(zhì)心。[解]建立如圖所示的坐標(biāo)系，考慮對(duì)稱性，余下部分質(zhì)心一定在x軸上，即按第2種情況考慮：整體=陰影+小圓，得Oxy[例題]半圓形均勻薄板（半徑為R），試求其質(zhì)心所在。xyyRO[解]建立如圖所示的坐標(biāo)系，由對(duì)稱性可知xc=0,yc=?將半圓劃分為許多平行于x軸的窄條，每一窄條中各點(diǎn)具有相同的y，陰影部分面積[例題]在半徑為R的均質(zhì)等厚度的大圓板的一側(cè)挖掉半徑68剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和轉(zhuǎn)動(dòng)定理課件69質(zhì)點(diǎn)組質(zhì)心的位置完全可以不與組內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的位置重合；剛體質(zhì)心的位置也就完全可以不與剛體內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的位置重合，換句話說：剛體的質(zhì)心完全可以在剛體之外?。ㄈ缬覉D所示）C1C2C由以上例子可看出，求質(zhì)心時(shí)需建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，令坐標(biāo)軸沿對(duì)稱軸且令原點(diǎn)位于其中某一部分質(zhì)心處往往帶來方便。二、剛體的動(dòng)量與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)點(diǎn)系所受外力矢量和為零，則動(dòng)量守恒。剛體受到的外力矢量和為零，動(dòng)量當(dāng)然也守恒，即p=mvc=恒矢量。將質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理用于剛體，亦有表示外力矢量和，ac為質(zhì)心加速度。質(zhì)點(diǎn)組質(zhì)心的位置完全可以不與組內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的位70§3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量?轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能

與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

一、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸上一點(diǎn)的角動(dòng)量

請(qǐng)大家現(xiàn)在閱讀教材201-203頁！動(dòng)量總沿速度方向，而上例表明，當(dāng)剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體的角動(dòng)量矢量并不一定沿角速度方向，它可能和角速度成某一角度。從這兩個(gè)最簡(jiǎn)單的例子推而廣之，不難想到質(zhì)量分布與幾何形狀有共同對(duì)稱軸的剛體，當(dāng)繞該對(duì)稱軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)剛體對(duì)軸上任一點(diǎn)的角動(dòng)量與角速度方向相同。但就一般情況，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸上一點(diǎn)的角動(dòng)量并不一定沿角速度的方向，而是與之成一定夾角?！?剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量?轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能

與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量71二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量整個(gè)剛體的動(dòng)能是所有各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能之和，即括號(hào)內(nèi)的量常用I來表示，叫做剛體對(duì)給定z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。通過上面討論還知道：二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量括號(hào)內(nèi)的量常用I來表示，叫72與平動(dòng)公式相比較，可知轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相當(dāng)于平動(dòng)時(shí)的質(zhì)量，是物體在轉(zhuǎn)動(dòng)中慣性大小的量度。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義式：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量決定于剛體各部分質(zhì)量距轉(zhuǎn)軸遠(yuǎn)近的分布情況。因此質(zhì)量大的剛體不一定有較大的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，另外，就一定的剛體來說，對(duì)不同轉(zhuǎn)軸，各質(zhì)元距軸的距離不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也可能不同，因此，一談到轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，必先明確是哪一個(gè)剛體對(duì)哪一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。下面舉幾個(gè)簡(jiǎn)單而又非常重要的例子。[例題]均勻細(xì)棒繞垂直于通過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。[解]任取一質(zhì)元xxdxl/2l/2O與平動(dòng)公式相比較，可知轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相當(dāng)于平動(dòng)時(shí)的質(zhì)量，是物體在轉(zhuǎn)73[例題]均勻薄圓環(huán)繞垂直于環(huán)面通過中心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。[解]由于所有質(zhì)元都離軸等遠(yuǎn)R[例題]均勻圓盤繞垂直盤面通過中心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。參考教材P204頁，求得此結(jié)論也適用于圓柱體。注意：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是可加的。即剛體對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于其各個(gè)部分對(duì)同一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的和。這一點(diǎn)可從定義式直接看出來。[例題]均勻薄圓環(huán)繞垂直于環(huán)面通過中心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量74例如，求空心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量=大圓柱轉(zhuǎn)動(dòng)慣量－小

圓柱轉(zhuǎn)動(dòng)慣量=

教材224頁表中結(jié)果要能推出并記??！以上例子中轉(zhuǎn)軸都是通過剛體質(zhì)心的對(duì)稱軸，若轉(zhuǎn)軸平移，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如何變化？下面兩個(gè)定理對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算往往很有幫助，特別是定理一。

[定理一]平行軸定理：設(shè)剛體繞通過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Ic，將軸朝任何方向平行移動(dòng)一個(gè)距離d，則繞此軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量ID為ID=Ic+md2[證]CDIcIDd例如，求空心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量=大圓柱轉(zhuǎn)動(dòng)慣量－小75[定理二]垂直軸定理：設(shè)剛性薄板平面為xy面，z軸與之垂直，則對(duì)于任何原點(diǎn)O繞三個(gè)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為[定理二]垂直軸定理：設(shè)剛性薄板平面為xy面，z軸與之76

應(yīng)用它很容易求出圓環(huán)或圓盤繞直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。提一個(gè)問題：通過剛體中的某個(gè)點(diǎn)，可以引很多軸線，怎樣求剛體對(duì)于通過某個(gè)點(diǎn)各根軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量？在理論力學(xué)中我們可以找到一個(gè)一般的公式——用到張量的概念。三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和轉(zhuǎn)動(dòng)定理根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)z軸的角動(dòng)量定理及

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸的角動(dòng)量定理：——用沖量矩表示的角動(dòng)量定理對(duì)一定軸線I為常量：應(yīng)用它很容易求出圓環(huán)或圓盤繞直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。77它表明：剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體對(duì)該轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積在數(shù)量上等于外力對(duì)此轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的合力矩——?jiǎng)傮w定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理。[例題]如圖所示的裝置叫做阿特伍德（Atwood）機(jī)，用一細(xì)繩跨過定滑輪，而在繩的兩端各懸質(zhì)量為m1和m2的物體，其中m1>m2，求它們的加速度及繩兩端的張力T1和T2，設(shè)繩不可伸長，質(zhì)量可忽略，它與滑輪之間無相對(duì)滑動(dòng)；滑輪的半徑為R，質(zhì)量為m，且分布均勻。[解]選取固定于地面的坐標(biāo)系，令x軸堅(jiān)直向上，取逆時(shí)針方向?yàn)檎霓D(zhuǎn)動(dòng)方向。列運(yùn)動(dòng)方程式：m1m2T1T2a1a2xmgN它表明：剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體對(duì)該轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加78由于繩子不可伸長且不打滑，因不計(jì)繩的質(zhì)量上述方程聯(lián)立求解可得：本題有利于理解“理想滑輪”的條件。由于繩子不可伸長且不打滑，上述方程聯(lián)立求解可得：本題有利于79[例題]如圖所示，一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射入一靜止懸于頂端長棒的下端，穿出后速度損失3/4，求子彈穿出后，棒的角速度，已知棒長為l，質(zhì)量為M.[解]以f代表棒對(duì)子彈的阻力，對(duì)于子彈有子彈對(duì)棒的反作用力對(duì)棒的沖量矩為[例題]如圖所示，一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射入80思考題（一）：

1、此題可否用子彈和棒的總角動(dòng)量守恒來作？2、子彈和棒的總動(dòng)量在水方向上是否守恒？3、若將桿換成軟繩系一質(zhì)量為M的重物，在水平方向上動(dòng)量是否守恒？4、機(jī)械能是否守恒？思考題（二）：

若剛體車輪在地面上不作純滾動(dòng)，試判斷輪與地面的滑動(dòng)摩擦力方向。設(shè)輪的半徑、角速度和質(zhì)心的速度分別為R思考題（一）：思考題（二）：R81§4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理

在某些問題中，應(yīng)用動(dòng)能定理及其在特殊情況下的表達(dá)式，即機(jī)械能守恒定律或功能原理，常使問題解決得簡(jiǎn)便迅速。為了闡述的方便，與教材順序不一樣。一、剛體的重力勢(shì)能當(dāng)把剛體和地球視作一系統(tǒng)時(shí)，則可考慮該系統(tǒng)的重力勢(shì)能或簡(jiǎn)稱剛體的重力勢(shì)能=各質(zhì)元重力勢(shì)能之和?！鼪Q定于剛體質(zhì)量和其質(zhì)心距離勢(shì)能零點(diǎn)的高度，亦即，相當(dāng)于總質(zhì)量m集中在質(zhì)心C的高度yc上?！?剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理——它決定于剛體質(zhì)量和其質(zhì)心距82二、剛體的動(dòng)能剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能等于剛體對(duì)此軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角

速度平方乘積之半。三、力矩的功設(shè)是作用在質(zhì)元上的外力，則在時(shí)間間隔內(nèi)，外力對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所作的元功為

由于功是用力矩和角位移表示，所以叫力矩的功，本質(zhì)上仍然是力作功，是在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)情況下力作功的表現(xiàn)形式。二、剛體的動(dòng)能由于功是用力矩和角位移表示，所83四、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理將質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理應(yīng)用于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，由于剛體內(nèi)力作功的代數(shù)和為零，即得剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量等于剛體所受外力矩做功的代數(shù)和，這就是剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理。[例題]長為l的均勻細(xì)桿，繞過其一端O并與桿垂直的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)桿從水平位置由靜止釋放，求當(dāng)桿與水平線成角時(shí)，桿的質(zhì)心的速度，設(shè)轉(zhuǎn)軸光滑。[解]解法一：應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理以桿為研究對(duì)象，它受到重力mg和轉(zhuǎn)軸的作用力N。由四、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量等84于轉(zhuǎn)軸光滑，N不作功，所以只有mg作功。當(dāng)桿從水平位置落至題設(shè)的位置時(shí)，重力作功為

mg

mgON在此期間，桿的動(dòng)能的增量由動(dòng)能定理質(zhì)心的速度為于轉(zhuǎn)軸光滑，N不作功，所以只有mg作功。當(dāng)桿從水平位置落85解法二：應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)械能守恒定律以桿和地球?yàn)橐幌到y(tǒng)。由于軸光滑，使作用于桿的外力N不作功，而地球和桿的相互作用力為保守內(nèi)力，所以桿的機(jī)械能守恒。選擇水平位置為桿的勢(shì)能零點(diǎn)，開始時(shí)至桿與水平線夾角為時(shí)所以解法二：應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)械能守恒定律至桿與水平線夾角為86[例題]如圖所示，一勻質(zhì)細(xì)棒可繞水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，已知棒長為l，質(zhì)量為m，開始時(shí)將棒置于水平狀態(tài)，然后由靜止擺下，求棒擺到豎直的瞬間：（1）棒的角速度；（2）棒的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能；（3）質(zhì)心的加速度（不計(jì)摩擦阻力）。cOcOFyFx[例題]如圖所示，一勻質(zhì)細(xì)棒可繞水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，已87[解]

（1）棒的角速度對(duì)轉(zhuǎn)軸O，細(xì)棒除受重力矩外不受其他外力矩（O軸上的反力通過軸），故細(xì)棒的機(jī)械能守恒。設(shè)細(xì)棒在水平位置時(shí)的重力勢(shì)能為勢(shì)能零點(diǎn)，則總機(jī)械能細(xì)棒擺到豎直位置時(shí)的角速度設(shè)為，則機(jī)械能[解]（1）棒的角速度細(xì)棒擺到豎直位置時(shí)的角速度設(shè)為88（2）棒的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能必須注意，在這里不能把棒的動(dòng)能寫成（3）質(zhì)心的加速度由線量和角量的關(guān)系可算出又因棒在豎直位置時(shí)的角加速度，故（2）棒的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能必須注意，在這里不能把棒的動(dòng)能寫成（3）質(zhì)89還可以由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律求出棒在豎直位置時(shí)，O軸對(duì)棒的反力Fx和Fy：思考題：利用剛體力學(xué)知識(shí)簡(jiǎn)要分析花樣滑冰、跳水運(yùn)動(dòng)過程還可以由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律求出棒在豎直位置時(shí)，O軸對(duì)棒的反力F90§5剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)

一、剛體平面運(yùn)動(dòng)的基本動(dòng)力學(xué)方程在運(yùn)動(dòng)學(xué)，可將剛體平面運(yùn)動(dòng)視作隨任意選定的基點(diǎn)的平動(dòng)和繞基點(diǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。討論動(dòng)力學(xué)問題時(shí)，這基點(diǎn)選在質(zhì)心上，以便應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量定理。在慣性系中建立直角坐標(biāo)系O-xyz，Oxy坐標(biāo)平面與討論剛體平面運(yùn)動(dòng)時(shí)提到的固定平面平行。又選擇剛體質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立質(zhì)心坐標(biāo)系，二坐標(biāo)系對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸始終兩兩平行。一般說來，質(zhì)心作變速運(yùn)動(dòng)，故質(zhì)心系為平動(dòng)的非慣性系。圖中，兩坐標(biāo)標(biāo)系的z和軸均與紙面垂直且指向讀者。首先，在O系中對(duì)剛體應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，（1）§5剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)（1）91

m為剛體的質(zhì)量。設(shè)作用于剛體的力均在Oxy坐標(biāo)面內(nèi)，得投影式再從C系研究剛體繞軸的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率。將它投影于軸，得將它應(yīng)用于剛體，剛體對(duì)軸角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率即和分別表示剛體對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角加速度。于是有即作用于剛體各力對(duì)質(zhì)心軸的合力矩等于剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體角加速度的乘積，這與慣性系中剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理有完全（2）（3）（4）OCm為剛體的質(zhì)量。設(shè)作用于剛體的力均在Oxy坐標(biāo)面內(nèi)，92相同的形式，叫作剛體對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理。（1）式給出了剛體隨質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)力學(xué)，（3）式描述剛體繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)。兩者合在一起稱剛體平面運(yùn)動(dòng)的基本動(dòng)力學(xué)方程。二、作用于剛體力的力（自學(xué)）產(chǎn)生兩種效果：使質(zhì)心作加速運(yùn)動(dòng)，使剛體產(chǎn)生角加速度。由此可判斷作用于剛體的力是滑移矢量。力偶和力偶矩。三、剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能按克尼希定理，質(zhì)點(diǎn)組的總動(dòng)能Ek等于相對(duì)于質(zhì)心系的動(dòng)

能，加上整體隨質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)能。相同的形式，叫作剛體對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理。93[例題]如圖所示，將一根質(zhì)量為m的長桿用細(xì)繩從兩端水平地掛起來，其中一根繩子突然斷了，另一根繩內(nèi)的張力是多少？[解]設(shè)桿長為2l，質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和角動(dòng)量定理給出繩斷的一剎那的運(yùn)動(dòng)