高等數(shù)學(xué)經(jīng)管類專升本-第一章-向量課件

數(shù)量關(guān)系

—第一章第一部分向量代數(shù)第二部分空間解析幾何

在三維空間中:空間形式

—點,

線,

面基本方法

—坐標(biāo)法;向量法坐標(biāo),方程（組）向量與空間解析幾何數(shù)量關(guān)系—第一章第一部分向量代數(shù)第二部分空間解析幾何1四、空間直線方程一、空間直角坐標(biāo)系二、向量及其運(yùn)算三、空間平面方程五、曲面方程機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第一章六、曲線方程四、空間直線方程一、空間直角坐標(biāo)系二、向量及其運(yùn)算三、空間2ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ一、空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標(biāo)系.

坐標(biāo)原點

坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z軸(豎軸)過空間一定點o,

坐標(biāo)面

卦限(八個)zox面1.空間直角坐標(biāo)系的基本概念機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束ⅠⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ一、空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)3坐標(biāo)軸:坐標(biāo)面:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束兩點間的距離公式:坐標(biāo)軸:坐標(biāo)面:機(jī)動目錄上頁下頁4記作:模:向量的大小,二、向量1.向量:(又稱矢量).既有大小,又有方向的量稱為向量單位向量:模為1的向量,有向線段M1

M2,或a,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束若向量a與b方向相同或相反,

a∥b;平行向量:記作:模:向量的大小,二、向量1.向量:(又稱矢量).既52、向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運(yùn)算規(guī)律:交換律結(jié)合律機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束向量的減法2、向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運(yùn)算規(guī)律:交換律63.向量與數(shù)的乘法規(guī)定:總之:運(yùn)算律:結(jié)合律分配律機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.向量與數(shù)的乘法規(guī)定:總之:運(yùn)算律:結(jié)合律分配律機(jī)動74.向量的坐標(biāo)表示則沿三個坐標(biāo)軸方向的分向量.設(shè)點M的坐標(biāo)為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束沿三個坐標(biāo)軸方向的投影.4.向量的坐標(biāo)表示則沿三個坐標(biāo)軸方向的分向量.設(shè)點M的坐85、向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)則(4)平行向量對應(yīng)坐標(biāo)成比例:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(1)(2)(3)設(shè)點則向量5、向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)則(4)平行向量對應(yīng)坐標(biāo)成比例:機(jī)96.向量的方向余弦與三坐標(biāo)軸的夾角,,為其方向角.方向角的余弦稱為其方向余弦.

記作機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束的夾角:6.向量的方向余弦與三坐標(biāo)軸的夾角,,為10注:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束注:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束117、向量的數(shù)量積(1)定義:(點積)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束引例(2)性質(zhì)7、向量的數(shù)量積(1)定義:(點積)機(jī)動目錄12(3)運(yùn)算律交換律結(jié)合律分配律機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(3)運(yùn)算律交換律結(jié)合律分配律機(jī)動目錄上頁13例1.

求與兩點等距離的點軌跡.解:

設(shè)該點為解得及機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束（垂直平分面）例2.已知兩點和解:求例1.求與兩點等距離的點軌跡.解:設(shè)該點為解得及機(jī)動14例3.已知兩點和的模、方向余弦和方向角.解:計算向量機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.已知兩點和的模、方向余弦和方向角.解:計算向量15解:

因例5.

設(shè)求其在x軸上的投影及在y軸上的分向量.在y軸上的分向量為故在x軸上的投影為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:因例5.設(shè)求其在x軸上的投影及在y軸上的分向量16且垂直于非零向量的平面的方程為法向量.三、平面方程1、點法式方程2、一般式方程注：(1)

D=0平面過原點；(2)

A=0(3)A=0，B=0

平面平行于xoy面；平面平行于x軸；(4)A=0，D=0

平面過x軸.且垂直于非零向量的平面的方程為法向量.三、平面方程1、點法17例1.

求通過x軸和點(4,–3,–1)的平面方程.解:因平面通過

x軸,設(shè)所求平面方程為代入已知點得化簡,得所求平面方程機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.求通過x軸和點(4,–3,–1)的18因此有例2.一平面通過兩點垂直于平面∏:x+y+z=0,

求其方程.解:

設(shè)所求平面的法向量為即的法向量約去C,得即和則所求平面故方程為且機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束因此有例2.一平面通過兩點垂直于平面∏:x+y+19四、空間直線方程因此其一般式方程1.一般式方程直線可視為兩平面交線，機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束且平行于非零向量的直線l的方程為2、點向式方程3、參數(shù)式方程四、空間直線方程因此其一般式方程1.一般式方程直線可視為20注:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束注:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束21解:取已知平面的法向量則直線的對稱式方程為直的直線方程.

為所求直線的方向向量.垂例1.求過點(1,－2,4)

且與平面機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:取已知平面的法向量則直線的對稱式方程為直的直線方程.22例2.求過解:令交點為由于從而L方程為則L方向向量為且與直線垂直相交的直線L方程.所以故得則交點為又例2.求過解:令交點為由于從而L方程為則L方向向量為且與23五、曲面方程求到兩定點A(1,2,3)

和B(2,-1,4)等距離的點的化簡得即說明:動點軌跡為線段

AB的垂直平分面.引例:顯然在此平面上的點的坐標(biāo)都滿足此方程,不在此平面上的點的坐標(biāo)不滿足此方程.解:設(shè)軌跡上的動點為軌跡方程.

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束五、曲面方程求到兩定點A(1,2,3)和B(2,-1,4)24定義1.如果曲面

S

與方程

F(x,y,z)=0有下述關(guān)系:(1)曲面

S上的任意點的坐標(biāo)都滿足此方程;則F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,(2)不在曲面S上的點的坐標(biāo)不滿足此方程,例1.

求動點到定點距離為

R

的軌跡方程.解:

設(shè)軌跡上動點為(球面)(一)曲面定義

定義1.如果曲面S與方程F(x,y,z)=25(二)柱面引例.分析方程的坐標(biāo)也滿足方程解:在xoy面上，表示圓C,沿曲線C平行于z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓柱面.過此點作對任意

z,平行z

軸的直線l,在圓C上任取一點

定義2.平行定直線并沿定曲線C移動的直線l形成的軌跡叫做柱面.C叫做準(zhǔn)線,l

叫做母線.(二)柱面引例.分析方程的坐標(biāo)也滿足方程解:在xoy面26如

表示拋物柱面,母線平行于z軸;準(zhǔn)線為xoy面上的拋物線.

z軸的橢圓柱面.表示母線平行于機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束如表示拋物柱面,母線平行于z軸;準(zhǔn)線為xoy面上的27定義3.一條平面曲線(三)旋轉(zhuǎn)曲面

繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.例如:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定義3.一條平面曲線(三)旋轉(zhuǎn)曲面繞其平面上一條定28注：故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當(dāng)繞

z軸旋轉(zhuǎn)時,若點給定yoz

面上曲線

C:則有則有該點轉(zhuǎn)到機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束給定yoz面上曲線C

繞

z

軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:注：故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當(dāng)繞z軸旋轉(zhuǎn)時,若點給定yoz面29例1.試求yoz面上直線所得曲面方程.解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束繞z軸旋轉(zhuǎn)一周--------圓錐面例1.試求yoz面上直線所得曲面方程.解:機(jī)動目30例2.

求坐標(biāo)面xoz

上的雙曲線分別繞

x軸和

z

軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:繞

x

軸旋轉(zhuǎn)繞

z

軸旋轉(zhuǎn)這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(雙葉)(單葉)例2.求坐標(biāo)面xoz上的雙曲線分別繞x軸和z軸旋31注：常見二次曲面(1)（球面）(2)(3)(5)(4)（橢球面）（錐面）（旋轉(zhuǎn)拋物面）（圓柱面）作圖：(1)所圍成的曲面，(2)所圍成的曲面，注：常見二次曲面(1)（球面）(2)(3)(5)(4)（橢32六、空間曲線1.一般方程空間曲線可視為兩曲面的交線,例如,方程組表示圓柱面與平面的交線

C.C機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束六、空間曲線(一)曲線方程六、空間曲線1.一般方程空間曲線可視為兩曲面的交線33將曲線C上的動點坐標(biāo)x,y,z表示成參數(shù)t

的函數(shù):稱它為空間曲線的參數(shù)方程.例如,圓柱螺旋線的參數(shù)方程為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.參數(shù)方程將曲線C上的動點坐標(biāo)x,y,z表示成參數(shù)t的函數(shù):稱它34設(shè)空間曲線C的一般方程為消去z

得投影柱面則C在xoy面上的投影曲線C′為消去x得C在yoz

面上的投影曲線方程消去y得C在zox面上的投影曲線方程機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(3)曲線在坐標(biāo)面的投影設(shè)空間曲線C的一般方程為消去z得投影柱面則C在xo35在xoy面上的投影曲線如所圍圓域:在xoy面上的投影曲線如所圍圓域:36數(shù)量關(guān)系

—第一章第一部分向量代數(shù)第二部分空間解析幾何

在三維空間中:空間形式

—點,

線,

面基本方法

—坐標(biāo)法;向量法坐標(biāo),方程（組）向量與空間解析幾何數(shù)量關(guān)系—第一章第一部分向量代數(shù)第二部分空間解析幾何37四、空間直線方程一、空間直角坐標(biāo)系二、向量及其運(yùn)算三、空間平面方程五、曲面方程機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第一章六、曲線方程四、空間直線方程一、空間直角坐標(biāo)系二、向量及其運(yùn)算三、空間38ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ一、空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標(biāo)系.

坐標(biāo)原點

坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z軸(豎軸)過空間一定點o,

坐標(biāo)面

卦限(八個)zox面1.空間直角坐標(biāo)系的基本概念機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束ⅠⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ一、空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)39坐標(biāo)軸:坐標(biāo)面:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束兩點間的距離公式:坐標(biāo)軸:坐標(biāo)面:機(jī)動目錄上頁下頁40記作:模:向量的大小,二、向量1.向量:(又稱矢量).既有大小,又有方向的量稱為向量單位向量:模為1的向量,有向線段M1

M2,或a,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束若向量a與b方向相同或相反,

a∥b;平行向量:記作:模:向量的大小,二、向量1.向量:(又稱矢量).既412、向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運(yùn)算規(guī)律:交換律結(jié)合律機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束向量的減法2、向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運(yùn)算規(guī)律:交換律423.向量與數(shù)的乘法規(guī)定:總之:運(yùn)算律:結(jié)合律分配律機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.向量與數(shù)的乘法規(guī)定:總之:運(yùn)算律:結(jié)合律分配律機(jī)動434.向量的坐標(biāo)表示則沿三個坐標(biāo)軸方向的分向量.設(shè)點M的坐標(biāo)為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束沿三個坐標(biāo)軸方向的投影.4.向量的坐標(biāo)表示則沿三個坐標(biāo)軸方向的分向量.設(shè)點M的坐445、向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)則(4)平行向量對應(yīng)坐標(biāo)成比例:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(1)(2)(3)設(shè)點則向量5、向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)則(4)平行向量對應(yīng)坐標(biāo)成比例:機(jī)456.向量的方向余弦與三坐標(biāo)軸的夾角,,為其方向角.方向角的余弦稱為其方向余弦.

記作機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束的夾角:6.向量的方向余弦與三坐標(biāo)軸的夾角,,為46注:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束注:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束477、向量的數(shù)量積(1)定義:(點積)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束引例(2)性質(zhì)7、向量的數(shù)量積(1)定義:(點積)機(jī)動目錄48(3)運(yùn)算律交換律結(jié)合律分配律機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(3)運(yùn)算律交換律結(jié)合律分配律機(jī)動目錄上頁49例1.

求與兩點等距離的點軌跡.解:

設(shè)該點為解得及機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束（垂直平分面）例2.已知兩點和解:求例1.求與兩點等距離的點軌跡.解:設(shè)該點為解得及機(jī)動50例3.已知兩點和的模、方向余弦和方向角.解:計算向量機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.已知兩點和的模、方向余弦和方向角.解:計算向量51解:

因例5.

設(shè)求其在x軸上的投影及在y軸上的分向量.在y軸上的分向量為故在x軸上的投影為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:因例5.設(shè)求其在x軸上的投影及在y軸上的分向量52且垂直于非零向量的平面的方程為法向量.三、平面方程1、點法式方程2、一般式方程注：(1)

D=0平面過原點；(2)

A=0(3)A=0，B=0

平面平行于xoy面；平面平行于x軸；(4)A=0，D=0

平面過x軸.且垂直于非零向量的平面的方程為法向量.三、平面方程1、點法53例1.

求通過x軸和點(4,–3,–1)的平面方程.解:因平面通過

x軸,設(shè)所求平面方程為代入已知點得化簡,得所求平面方程機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.求通過x軸和點(4,–3,–1)的54因此有例2.一平面通過兩點垂直于平面∏:x+y+z=0,

求其方程.解:

設(shè)所求平面的法向量為即的法向量約去C,得即和則所求平面故方程為且機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束因此有例2.一平面通過兩點垂直于平面∏:x+y+55四、空間直線方程因此其一般式方程1.一般式方程直線可視為兩平面交線，機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束且平行于非零向量的直線l的方程為2、點向式方程3、參數(shù)式方程四、空間直線方程因此其一般式方程1.一般式方程直線可視為56注:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束注:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束57解:取已知平面的法向量則直線的對稱式方程為直的直線方程.

為所求直線的方向向量.垂例1.求過點(1,－2,4)

且與平面機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:取已知平面的法向量則直線的對稱式方程為直的直線方程.58例2.求過解:令交點為由于從而L方程為則L方向向量為且與直線垂直相交的直線L方程.所以故得則交點為又例2.求過解:令交點為由于從而L方程為則L方向向量為且與59五、曲面方程求到兩定點A(1,2,3)

和B(2,-1,4)等距離的點的化簡得即說明:動點軌跡為線段

AB的垂直平分面.引例:顯然在此平面上的點的坐標(biāo)都滿足此方程,不在此平面上的點的坐標(biāo)不滿足此方程.解:設(shè)軌跡上的動點為軌跡方程.

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束五、曲面方程求到兩定點A(1,2,3)和B(2,-1,4)60定義1.如果曲面

S

與方程

F(x,y,z)=0有下述關(guān)系:(1)曲面

S上的任意點的坐標(biāo)都滿足此方程;則F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,(2)不在曲面S上的點的坐標(biāo)不滿足此方程,例1.

求動點到定點距離為

R

的軌跡方程.解:

設(shè)軌跡上動點為(球面)(一)曲面定義

定義1.如果曲面S與方程F(x,y,z)=61(二)柱面引例.分析方程的坐標(biāo)也滿足方程解:在xoy面上，表示圓C,沿曲線C平行于z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓柱面.過此點作對任意

z,平行z

軸的直線l,在圓C上任取一點

定義2.平行定直線并沿定曲線C移動的直線l形成的軌跡叫做柱面.C叫做準(zhǔn)線,l

叫做母線.(二)柱面引例.分析方程的坐標(biāo)也滿足方程解:在xoy面62如

表示拋物柱面,母線平行于z軸;準(zhǔn)線為xoy面上的拋物線.

z軸的橢圓柱面.表示母線平行于機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束如表示拋物柱面,母線平行于z軸;準(zhǔn)線為xoy面上的63定義3.一條平面曲線(三)旋轉(zhuǎn)曲面

繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.例如:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定義3.一條平面曲線(三)旋轉(zhuǎn)曲面繞其平面上一條定64注：故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當(dāng)繞

z軸旋轉(zhuǎn)時,若點給定yoz

面上曲線

C:則有則有該點轉(zhuǎn)到機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束給定yoz面上曲線C

繞

z

軸